با جایگذاری جواب معادله در خود معادله داریم:

$\frac{x}{{ - {x^2} + k}} - \frac{2}{{x + k}} = 3 \to x =  - 2 \to \frac{{ - 2}}{{ - {{( - 2)}^2} + k}} - \frac{2}{{ - 2 + k}} = 3$

$ \Rightarrow \frac{{ - 2}}{{k - 4}} - \frac{2}{{k - 2}} = 3 \Rightarrow \frac{1}{{k - 4}} + \frac{1}{{k - 2}} =  - \frac{3}{2}$

از طرف چپ معادلهٔ مخرج مشترک می‌گیریم:

$\frac{{k - 2}}{{(k - 4)(k - 2)}} + \frac{{k - 4}}{{(k - 4)(k - 2)}} =  - \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{{k - 2 + k - 4}}{{(k - 4)(k - 2)}} =  - \frac{3}{2}$

$\frac{{2k - 6}}{{(k - 4)(k - 2)}} =  - \frac{3}{2} \Rightarrow  - 3({k^2} - 6k + 8) = 2(2k - 6)$

$ \Rightarrow  - 3{k^2} + 18k - 24 = 4k - 12 \Rightarrow 3{k^2} - 14k + 12 = 0$

حال شرط $\Delta $ را برای معادلهٔ به‌دست آمده بررسی می‌کنیم:

$3{k^2} - 14k + 12 = 0 \to a{x^2} + bx + c = 0 \to $

$\eqalign{
  & a = 3  \cr 
  & b =  - 14  \cr 
  & c = 12 \cr} $

$\Delta  = {b^2} - 4ac \Rightarrow \Delta  = {( - 14)^2} - 4 \times (3) \times 12 = 196 - 144 = 52$

$\eqalign{
  &  \Rightarrow {k_1} = \frac{{14 + \sqrt {52} }}{6} = \frac{{7 + \sqrt {13} }}{3}  \cr 
  & {k_2} = \frac{{14 - \sqrt {52} }}{6} = \frac{{7 - \sqrt {13} }}{3} \cr} $