گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

اگر $f\left( x \right)=\sqrt{{{x}^{2}}-\left[ x \right]+\left| x \right|}$ باشد، آنگاه $\displaystyle{\lim_{h \to 0^+}} \frac{f\left( 1+h \right)-f\left( 1 \right)}{h}$ کدام است؟

1 ) 

$\frac{1}{2}$ 

2 ) 

$\frac{5}{4}$

3 ) 

$\frac{3}{2}$ 

4 ) 

$\frac{5}{2}$

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

حد داده شده، $\displaystyle{\lim_{h \to 0^+}} \frac{f\left( 1+h \right)-f\left( 1 \right)}{h}$ ، تعریف مشتق راست (در صورت وجود) تابع  $f$ در نقطه‌ی $x=1$ است، بنابراین کافی است ${f}'+\left( 1 \right)$ را محاسبه کنیم:

${f}'+\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{f\left( x \right)-f\left( 1 \right)}{x-1}= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\sqrt{{{x}^{2}}-\left[ x \right]+\left| x \right|}-1}{x-1}$

در همسایگی راست $\left| x \right|=x,\left[ x \right]=1,x=1$ ، بنابراین:

${f}'+\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}}\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1+x}-1}{x-1}$

برای رفع ابهام صورت و مخرج را در مزدوج صورت ضرب می‌کنیم:

${f}'+\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1+x}-1}{x-1}\times \frac{\sqrt{{{x}^{2}}-1+x}+1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1+x}+1}$

$\Rightarrow {f}'+\left( 1 \right)= \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\left( {{x}^{2}}-1+x \right)-1}{x-1}\times \frac{1}{\underbrace{\sqrt{{{x}^{2}}-1+x}+1}_{2}}$

$\Rightarrow {f}'+\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}}  \frac{{{x}^{2}}+x-2}{x-1}=\frac{1}{2} \displaystyle{\lim_{x \to 1^+}} \frac{\left( \not{x-1} \right)\left( x+2 \right)}{\not{x-1}}$

$\Rightarrow {f}'+\left( 1 \right)=\frac{1}{2} \left( x+2 \right)=\frac{3}{2}$

تحلیل ویدئویی تست

سید حجت طبائی