گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

در کدام گزینه، دو گزاره هم‌ارز نیستند؟

1 ) 

${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}\ge 0$ و ${{(a+\frac{b}{2})}^{2}}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}\ge 0$ «$a,b\in \mathbb{R}$ »

2 ) 

$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$ و ${{(\sqrt{a}-\sqrt{b})}^{2}}\ge 0$ «$a\gt 0$ و $b\gt 0$ »

3 ) 

$x+\frac{1}{x}\le -2$ و ${{(x+1)}^{2}}\ge 0$ «$x\lt 0$ »

4 ) 

$\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{a}^{2}}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ و $(a+b)\ge 0$ «$a\gt 0$ و $b\gt 0$ »

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

نکته: اگر ارزش دو گزاره یکسان باشد، آن‌ها را گزاره‌های هم‌ارز (هم‌ارزش) می‌نامیم.

$(p\Rightarrow q)=\left[ (p\Rightarrow q)\wedge (q\Rightarrow p) \right]$

گزینه‌های $1$، $2$ و $3$ در اثبات به روش بازگشتی ثابت می‌شود که هم‌ارز هستند. (اثبات‌ها در کتاب درسی آمده‌اند.)

اما در گزینۀ $4$ به روش اثبات بازگشتی داریم:

$\frac{a}{{{b}^{2}}}+\frac{b}{{{a}^{2}}}\ge \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\Leftrightarrow \frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}{{b}^{2}}}\ge \frac{a+b}{ab}\overset{\times ab\gt 0}{\longleftrightarrow}\frac{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}{ab}\ge a+b\Leftrightarrow (a+b)({{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}})\ge ab(a+b)$

$\overset{\div a+b\gt 0}{\longleftrightarrow}{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}\ge ab\Leftrightarrow {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{(a-b)}^{2}}\ge 0\equiv (a+b)\ge 0$

پس گزینۀ $4$ پاسخ است.

تحلیل ویدئویی تست

تحلیل ویدئویی برای این تست ثبت نشده است!

رضا زینی وند