شرط لازم برای آن که نمودار سهمی $y=(a-3)x^2 + ax - 1 $ از ناحیه‌ی اول محورهای مختصات نگذرد، آن است که دهانه‌ی سهمی به سمت پایین باز شود و در نتیجه ضریب $x^2$ یعنی $a-3$ منفی باشد.

پس:

$a-3\lt 0 \to a\lt 3 (1)$

برای به دست آوردن شرط کافی، دو حالت زیر را در نظر می‌گیریم:

حالت اول: اگر منحنی تابع درجه دوم، محور xها را حداکثر در یک نقطه قطع کند، در این حالت دلتای معادله منفی یا صفر است. بنابراین داریم:

$\Delta \le 0 \to a^2-4(a-3)\times (-1)\le 0 \to a^2+4a-12\le 0 \to (a-2)(a+6)\le 0 \to -6\ge a\le 2 $ 

اشتراک این فاصله با بازه‌ی (۱):

$ -6\ge a\le 2 $

حالت دوم: اگر منحنی تابع درجه دوم، محور xها را در دو نقطه قطع کند. در این حالت معادله دو ریشه‌ی منفی دارد. در نتیجه حاصل ضرب ریشه‌ها مثبت و حاصل جمع آن‌ها منفی است.

$P=x_1x_2=\frac{-1}{a-3}\gt 0\to a-3\lt 0 \to a\lt 3 (2)$

$S=x_1+x_2=\frac{-a}{a-3}\lt 0 \to a\lt 0 , a \gt 3$ 

توجه شود که در این حالت  $\Delta\gt 0$ است، داریم:

$\Delta gt 0 \to a^2-4(a-3)(-1)\gt 0 \to a^2-4a+12\gt 0 \to a\gt 2 , a\lt -6 (4)$

اشتراک (۲) و (۳) و (۴) و اشتراک حاصل با (۱)

$a\lt -6$ 

اجتماع جواب‌های دو حالت برابر با جواب نهایی مساله است.

$a\le 2$