نکته: فرض کنیم $f$ بر بازهٔ $\left[ a,b \right]$ پیوسته و بر بازهٔ $(a,b)$ مشتق‌پذیر باشد، در این صورت:

الف) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)\gt 0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ صعودی اکید است.

ب) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)\lt 0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ نزولی اکید است.

ج) اگر به‌ازای هر $x$ در بازهٔ $(a,b)$، ${f}'(x)= 0$، آنگاه تابع $f$ بر $\left[ a,b \right]$ یک تابع ثابت است.

مطابق نكته، مشتق تابع بايد همواره مثبت باشد. از طرفی $f$ در $\mathbb{R}$ پيوسته است. به‌دليل وجود قدرمطلق در مخرج تابع، ابتدا $f$ را به‌صورت يک تابع دوضابطه‌ای می‌نويسيم سپس مشتق هر ضابطه را بزرگ‌تر از صفر در نظر می‌گيريم: 

$\left\{ \begin{matrix} x\gt 0:f(x)=\frac{ax+b}{x+1}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{a-b}{{{(x+1)}^{2}}}\gt 0\Rightarrow a-b\gt 0\Rightarrow a\gt b  \\ x\lt 0:f(x)=\frac{ax+b}{-x+1}\Rightarrow {f}'(x)=\frac{a+b}{{{(1-x)}^{2}}}\gt 0\Rightarrow a+b\gt 0\Rightarrow a\gt -b  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow \left| b \right|\lt a$

دقت كنيد كه چون تابع $f$ پيوسته است، اگر هر دو ضابطه صعودی اكيد باشد، آنگاه $f(x)$ صعودی اكيد خواهد بود.