می‌دانیم:

$\left( \begin{matrix} n \\ k \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n-1 \\ k \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} n-1 \\ k-1 \\ \end{matrix} \right)$

حال به عبارت صورت سؤال $\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$ را اضافه و کم می‌کنیم، بنابراین:

$\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 5 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix} 6 \\ 1 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 6 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix} 7 \\ 2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7 \\ 3 \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)$

.......

$=\left( \begin{matrix} 14 \\ 9 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 14 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15 \\ 10 \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5 \\ 0 \\ \end{matrix} \right)=\frac{15!}{10!5!}-1=3002$

حاصل عبارت $\left( \begin{matrix} ۵ \\ ۱ \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} ۶ \\ ۲ \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} ۷ \\ ۳ \\ \end{matrix} \right)+....+\left( \begin{matrix} ۱۴ \\ ۱۰ \\ \end{matrix} \right)$ کدام است؟