می‌دانیم:

$\left( \begin{matrix} n  \\ k  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} n-1  \\ k  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} n-1  \\ k-1  \\ \end{matrix} \right)$

حال به عبارت صورت سؤال $\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)$ را اضافه و کم می‌کنیم، بنابراین:

$\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 5  \\ 1  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 6  \\ 2  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7  \\ 3  \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14  \\ 10  \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix} 6  \\ 1  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 6  \\ 2  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7  \\ 3  \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14  \\ 10  \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)$

$=\left( \begin{matrix} 7  \\ 2  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 7  \\ 3  \\ \end{matrix} \right)+.....+\left( \begin{matrix} 14  \\ 10  \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)$

.......

$=\left( \begin{matrix} 14  \\ 9  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 14  \\ 10  \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} 15  \\ 10  \\ \end{matrix} \right)-\left( \begin{matrix} 5  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)=\frac{15!}{10!5!}-1=3002$