خروج از مرکز بیضی : $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow c=\frac{\sqrt{3}}{2}a(I)$

در یک بیضی داریم:

$\begin{align}
  & {{a}^{2}}={{b}^{2}}+{{c}^{2}}\xrightarrow{(I)}{{a}^{2}}={{b}^{2}}+\frac{3}{4}{{a}^{2}} \\ 
 & \Rightarrow {{b}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\Rightarrow b=\frac{1}{2}a(II) \\ 
\end{align}$

با توجه به شکل، ارتفاع مثلث ABF برابر OB و قاعدۀ آن برابر AF است:

$\begin{align}
  & \left. \begin{matrix}
   OB=b  \\
   AF=a-c  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow {{S}_{ABF}}=\frac{1}{2}\times AF\times OB=\frac{1}{2}\times \left( a-c \right)\times \left( b \right) \\ 
 & \xrightarrow{(I),(II)}{{S}_{ABF}}=\frac{1}{2}\times (a-\frac{\sqrt{3}}{2}a)\times (\frac{1}{2}a)=4-2\sqrt{3} \\ 
 & \Rightarrow \frac{1}{8}(2-\sqrt{3}){{a}^{2}}=2(2-\sqrt{3}) \\ 
 & \Rightarrow {{a}^{2}}=16\Rightarrow a=4\xrightarrow{(II)}b=2 \\ 
\end{align}$

قطر کوچک بیضی : 2b = 4                                                                                                           :در نتیجه