تابع پيوسته و مشتقپذير $f(x)$ اكيداً صعودی است اگر و فقط اگر ${f}'(x)\ge 0$ باشد، به شرط آنكه نقاطی كه در آن ${f}'$ صفر است، تشكيل پارهخط ندهند.
${f}'(x)=m{{x}^{2}}+(m+1)x+m\ge 0$
برای اينكه نامساوی فوق همواره صحيح باشد، بايد داشته باشيم:
$\left\{ \begin{matrix} m\gt 0 \\ \Delta \le 0\Rightarrow {{(m+1)}^{2}}-4{{m}^{2}}\le 0\Rightarrow -3{{m}^{2}}+2m+1\le 0 \\ \end{matrix} \right.$ (1)
$\Rightarrow (m-1)(3m+1)\ge 0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -\frac{1}{3} \\ \end{matrix} \right.$ (2)
$\xrightarrow{(1),(2)}m\in \left[ 1,+\infty \right)$