اگر طول تنها نقطهٔ اکسترمم نسبی تابع باشد، مقدار چقدر است؟

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

بنظر میرسد شما قادر به دریافت پیامکهای ما نیستید!
لطفا برای فعال سازی کد
{{ receive_code }}
را از طریق شماره
{{ identity }}
به شماره
100078000
ارسال کنید.

منتظر بمانید تا فعال سازی انجام شود!

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

قوانین و مقررات را خواندم و می پذیرم.

قبلا ثبت نام کرده اید؟ وارد شوید!

موبایل یا ایمیل

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد! )

منتظر دریافت پیامک شما ...

یه رمز خوب که یادت بمونه بزن:

ورود | ثبت نام

لطفا کمی صبر کنید ...

دوست خوبم!
برای نگهداری سابقه خریدتان، نیاز به شماره موبایل (یا ایمیل) شما داریم.

موبایل یا ایمیل

رمزعبور اگه یادت نیس نزن :)

یه کد به {{ identity }} فرستادم، لطفا بگو:

ارسال دوباره کد ( {{ countDown }} ثانیه صبر کن شاید اومد!)

منتظر دریافت پیامک شما ...

ورود با رمزعبور

گزینه انتخاب شده در پاسخنامه درست نیست.

بیش از یک گزینه درست وجود دارد.

هیچ گزینه ای درست نیست.

اشکال تایپی در صورت سوال یا در گزینه ها وجود دارد.

این تست با تست دیگری در همین آزمون تشابه دارد.

در پاسخ تشریحی اشکال وجود دارد.

این تست خارج از بودجه بندی یا مبحث مورد نظر است.

سایر موارد

حداقل 25 کاراکتر باید وارد کنید.

درس 1: اکسترمم‌های یک تابع و توابع صعودی و نزولی حسابان (2) دوازدهم دوره دوم متوسطه- نظری علوم ریاضی درسنامه آموزشی این مبحث

اگر $x=2$ طول تنها نقطهٔ اکسترمم نسبی تابع $f(x)=3{{x}^{4}}+a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+10$ باشد، مقدار $f(2)$ چقدر است؟

1 )

2 )

3 )

4 )

نمایش پاسخ

تابع $f$ مشتق‌پذیر و پیوسته است. $x=2$ طول اکسترمم نسبی آن است، پس ${f}'(2)=0$. از طرفی ${f}'$ تابعی از درجهٔ سه است، چون $x=2$ تنها اکسترمم تابع است، پس تابع ${f}'$ فقط باید یک ریشهٔ $x=2$ داشته باشد. مشتق تابع را به‌دست می‌آوریم:

${f}'(x)=12{{x}^{3}}+3a{{x}^{2}}+2bx=x(12{{x}^{2}}+3ax+2b)$

به‌دلیل اینکه $x=0$ تابع مشتق را صفر می‌کند، برای اینکه طول نقطهٔ اکسترمم نباشد باید به‌صورت ریشهٔ مضاعف باشد (زیرا قبل و بعد از ریشه هم‌علامت می‌شود و شرط اکسترمم بودن را ندارد) پس عبارت داخل پرانتز به‌ازای $x=0$ باید صفر شود، یعنی $2b=0\Rightarrow b=0$ پس:

${f}'(x)=x(12{{x}^{2}}+3ax)=3{{x}^{2}}(4x+a)\xrightarrow{{f}'(2)=0}a=-8$

بنابراین $f(2)$ برابر است با:

$f(2)=48+8a+10=48-64+10=-6$

گزارش اشکال