روابط اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار $a$ و $b$ را به احتمال زیاد دیده‌ایم.

$\begin{align} & (1)\,\,\,{{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}+2\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha \\ & (2)\,\,\,{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}-2\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha \\ \end{align}$

از جمع و تفاضل دو رابطهٔ بالا نتایج جالبی به دست می‌آید.

$\begin{align} & (1)+(2)\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=2({{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}) \\ & (1)+(2)\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha =4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ \end{align}$

در سؤال رابطهٔ بین اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار با ضرب داخلی را داریم.

پس:

$\begin{align} & {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\Rightarrow 9-25=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ & \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-4 \\ & \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=9-(-4)=13 \\ \end{align}$

اگر $\left| \overrightarrow{a} \right|=۳$ و اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار $a$ و $b$ به‌ترتیب $۳$ و $۵$ باشند، حاصل $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ کدام است؟