گاما رو نصب کن!

{{ number }}
اعلان ها
اعلان جدیدی وجود ندارد!
کاربر جدید

جستجو

پربازدیدها: #{{ tag.title }}

میتونی لایو بذاری!

اگر $\left| \overrightarrow{a} \right|=3$ و اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار $a$ و $b$ به‌ترتیب $3$ و $5$ باشند، حاصل $\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})$ کدام است؟

1 ) 

4-

2 ) 

4

3 ) 

5

4 ) 

13

پاسخ تشریحی :
نمایش پاسخ

روابط اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار $a$ و $b$ را به احتمال زیاد دیده‌ایم.

$\begin{align}  & (1)\,\,\,{{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}+2\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha  \\  & (2)\,\,\,{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}-2\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha  \\ \end{align}$

از جمع و تفاضل دو رابطهٔ بالا نتایج جالبی به دست می‌آید.

$\begin{align}  & (1)+(2)\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=2({{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}) \\  & (1)+(2)\Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|\cos \alpha =4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\ \end{align}$

در سؤال رابطهٔ بین اندازهٔ مجموع و تفاضل دو بردار با ضرب داخلی را داریم.

پس:

$\begin{align}  & {{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b} \right|}^{2}}-{{\left| \overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|}^{2}}=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\Rightarrow 9-25=4\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} \\  & \Rightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=-4 \\  & \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}={{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=9-(-4)=13 \\ \end{align}$

تحلیل ویدئویی تست

محسن ذوالفقاری