به ازای چه مقداری از a، تابع دو ضابطهای $f\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix}
-{{x}^{2}}+1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\ge -1 \\
ax+a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\lt -1 \\
\end{matrix} \right.$ در $x=-1$ مشتق پذیر است؟
نمایش پاسخ
مقدار حد چپ و راست تابع در $x=-1$ و $f\left( -1 \right)$ برابر صفر هستند. پس: تابع f در $x=-1$ پیوسته است. در صورت مشتق پذیر بودن تابع در $x=-1$، مشتق هر کدام از ضابطهها در $x=-1$ که مرز بین دو ضابطه است یکسان خواهد بود. یعنی اگر فرض کنیم $h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+1$ و $g\left( x \right)=ax+a$، در این صورت باید ${g}'\left( -1 \right)={h}'\left( -1 \right)$. بنابراین داریم:
$\begin{align}
& h\left( x \right)=-{{x}^{2}}+1\Rightarrow {h}'\left( x \right)=-2x\Rightarrow {h}'\left( -1 \right)=-2\left( -1 \right)=2 \\
& g\left( x \right)=ax+a\Rightarrow {g}'\left( x \right)=a\Rightarrow {g}'\left( -1 \right)=a\Rightarrow a=2 \\
\end{align}$