نكته: اگر $A$ و $B$ دو ماتريس تعويض‌پذير باشند؛ يعنی $AB=BA$، آنگاه همۀ اتحادهای جبری برای آن‌ها برقرار است.

نكته: ماتريس همانی $(I)$ با هر ماتريس ديگری تعويض‌پذير است.

نکته: ${{(a+b)}^{n}}=\left( \begin{matrix} n  \\ 0  \\ \end{matrix} \right){{a}^{n}}+\left( \begin{matrix} n  \\ 1  \\ \end{matrix} \right){{a}^{n-1}}b+\left( \begin{matrix} n  \\ 2  \\ \end{matrix} \right){{a}^{n-2}}{{b}^{2}}+...+\left( \begin{matrix} n  \\ n  \\ \end{matrix} \right){{b}^{n}}$

طبق فرض داریم:

$A(A-I)=\overline{O}\Rightarrow {{A}^{2}}-A=\overline{O}\Rightarrow {{A}^{2}}=A$

${{A}^{2}}=A\Rightarrow {{A}^{3}}={{A}^{2}}=A\Rightarrow {{A}^{4}}={{A}^{3}}=A$

 پس همۀ توان‌های $A$ برابر خود $A$ است (به اين ماتريس‌ها، خود توان می‌گوييم). اكنون داريم:

${{(A+I)}^{4}}=\left( \begin{matrix} 4  \\ 0  \\ \end{matrix} \right){{A}^{4}}+\left( \begin{matrix} 4  \\ 1  \\ \end{matrix} \right){{A}^{3}}I+\left( \begin{matrix} 4  \\ 2  \\ \end{matrix} \right){{A}^{2}}{{I}^{2}}+\left( \begin{matrix} 4  \\ 3  \\ \end{matrix} \right)A{{I}^{3}}+\left( \begin{matrix} 4  \\ 4  \\ \end{matrix} \right){{I}^{4}}=$$\left[ \left( \begin{matrix} 4  \\ 0  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4  \\ 1  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4  \\ 2  \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4  \\ 3  \\ \end{matrix} \right) \right]A+\left( \begin{matrix} 4  \\ 4  \\ \end{matrix} \right)I=({{2}^{4}}-1)A+I=15A+I$