راه حل اول:

با توجه به این که سهمی داده شده دارای دو ریشه است و ضریب $x^{2}$ در آن مثبت است پس جدول تعیین علامت به صورت زیر می‌باشد:

چون $x=-1$ باید بین دو ریشه باشد، پس با توجه به جدول تعیین علامت باید داشته باشیم:

$f(-1) \lt 0 \Rightarrow 1-m+2m-3 \lt0 \Rightarrow m \lt2$

با توجه به گزینه‌ها، تنها گزینه‌ی ۴ درست است.

راه حل دوم:

از آنجایی که بنابر فرض $x=-1$ بین دو ریشه‌ی معادله‌ی $x^{2}+mx+2m-3=0$ واقع شده است، پس این معادله حتماً‌ دارای دو ریشه‌ی متمایز است، یعنی باید $\Delta \lt 0$ باشد، پس داریم:

$m^{2}-4(2m-3) \gt 0 \Rightarrow m^{2}-8m+12 \gt 0 \Rightarrow (m-2)(m-6) \gt 0$

مجموعه‌ی جواب:

$(- \infty ,2) \bigcup (6,+ \infty)   (1)$

از طرفی نمودار سهمی $f(x)=x^{2}+mx+2m-3$ (با توجه به علامت ضریب $x^{2}$ که مثبت است) رو به بالاست، بنابراین با توجه به نمودار برای آنکه $x=-1$  بین دو ریشه واقع شده باشد، باید $f(-1) \lt0$ در نتیجه:

$f(-1)=1-m+2m-3 \lt 0 \Rightarrow m \lt2 \,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

از مقایسه‌ی (1) و (2) نتیجه می‌شود که $m\in (-\infty ,2)$