برای آنکه بتوانیم بزرگ ‌ترین درجهٔ صورت و مخرج را مشخص کنیم، $n$ را در $3$ حالت زیر در نظر می‌گیریم:

$n=1\Rightarrow A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}+6x-1}{{{x}^{2}}+x+3}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}}=4$

$n=2\Rightarrow A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{9{{x}^{2}}+x-1}{2{{x}^{2}}+3}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{9{{x}^{2}}}{2{{x}^{2}}}=\frac{9}{2}=4/5$

$n \gt 2\Rightarrow A=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{n}}+4{{x}^{2}}+x-1}{{{x}^{n}}+{{x}^{2}}+3}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{5{{x}^{n}}}{{{x}^{2}}}=5$

بنابراین به ‌ازای مقادیر مختلف طبیعی برای $n$، حاصل $A$ می‌تواند یکی از اعداد $4$، $4/5$ باشد، پس گزینهٔ $3$ پاسخ است.