برای یافتن $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$، باید بدانیم که داخل پرانتز $f(\frac{x+1}{2-x})$ چه موقع به‌سمت $+\infty $ میل می‌کند. اگر $x\to {{2}^{-}}$ (ریشه‌ی مخرج) میل کند، داریم:

$\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{2-x}=\frac{3}{{{0}^{+}}}=+\infty \Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(\frac{x+1}{2-x})=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \pi x}{\left| x-2 \right|}$ 

$\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \pi x}{\left| \underbrace{x-2}_{Manfi} \right|}=\underset{x\to {{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \pi x}{2-x}$ 

از تغییر متغیر $2-x=t$ استفاده می‌کنیم:

$\left( \begin{matrix}    2-x=t\Rightarrow x=2-t  \\    x\to {{2}^{-}}\Rightarrow t\to {{0}^{+}}  \\ \end{matrix} \right)$ 

$\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan \pi (2-t)}{t}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\tan (2\pi -\pi t)}{t}=\underset{t\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-\tan \pi t}{t}=-\pi $