اگر خطی بر یک منحنی مماس باشد، معادلهٔ حاصل از تقاطع آنها دارای ریشهٔ مضاعف است.
$\begin{align}
& \left\{ \begin{matrix}
x+3y=0\Rightarrow x=-3y\,\,\,\,(*) \\
{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+a=0 \\
\end{matrix} \right. \\
& \xrightarrow{(*)}{{(-3y)}^{2}}+{{y}^{2}}-2(-3y)+4y+a=0 \\
& \Rightarrow 10{{y}^{2}}+10y+a=0\,\,\,\,(moadeley\,taghatoee) \\
\end{align}$
معادلهٔ تقاطع، یک معادلهٔ درجه دوم است، پس برای آنکه دارای ریشهٔ مضاعف باشد، باید:
$\begin{align}
& \Delta =0\Rightarrow {{10}^{2}}-4(10)(a)=0\Rightarrow 100-40a=0 \\
& \Rightarrow a=\frac{100}{40}=\frac{5}{2} \\
\end{align}$
عباس ابراهیمی علویجه 
