درسنامه آموزشی فیزیک (3) دوازدهم علوم تجربی

ثابت گرانشی $G$ را اولین بار هنری کاوندیش در سال 1798 اندازه گیری کرد. در مورد روش اندازه گیری $G$ توسط هنری کاوندیش تحقیق کنید و نتیجه را به کلاس گزارش دهید.
ثابت جهانی $G$ نخستین بار توسط هاندری کاوندیش دانشمند انگلیسی با یک آزمایش بسیار دقیق به دست آمد. او با استفاده از ابزاری به نام  ترازوی پیچشی، توانست به دقت، ثابت جهانی اندازه‌گیری کند.
ترازوی کاوندیش از قسمت‌های زیر تشکیل شده است:
۱- دو گلوله به جرم $m$ که به انتهای دو میله سبکی متصل می‌شوند. این میله دمبل صلبی است که محورش افقی است و توسط یک رشتهٔ نازک قائم از سقف آویزان است. (سقف آزمایشگاه کاوندیش بسیار بلند بود)
۲- دو گلوله بزرگ به جرم $M$ که هر یک در نزدیکی دو گلوله به جرم $m$ قرار می‌گیرند. این دو گلوله نیز مطابق شکل بر روی یک میله افقی قرار می‌گیرند و میله بر روی یک تکیه گاه قرار دارد. (دو گلوله فلزی بزرگ، سنگین و سربی هستند)
۳- آینه کوچکی که بر روی رشته نازک و کمی بالاتر از دمبل قرار دارد.
از طریق یک چشمه نور بر این آینه نور تابیده می‌شود. نور منعکس شده از آینه بر روی یک مقیاس شیشه‌ای می‌افتد و به این وسیله میزان انحراف میله (یا زاویه چرخش) آن قابل اندازه‌گیری است.

نشان دهید که شتاب گرانشی در سطح زمین از رابطهٔ $g=G\frac{{{M}_{e}}}{\operatorname{R}_{e}^{2}}$ به دست می‌آید.

$\left. \begin{matrix}
   W=G\frac{{{M}_{e}}m}{R_{e}^{2}}  \\
   W=mg\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow W=G\frac{{{M}_{e}}m}{R_{e}^{2}}=mg\Rightarrow g=G\frac{{{M}_{e}}}{R_{e}^{2}}$

تلسکوپ فضایی هابل در ارتفاع تقریبی 600 کیلومتری از سطح زمین به دور زمین می‌چرخد.
الف) شتاب گرانشی در این فاصله چقدر است؟

$g=G\frac{{{M}_{e}}}{{{r}^{2}}}=G\frac{{{M}_{e}}}{{{({{R}_{e}}+h)}^{2}}}=\frac{(6/67\times {{10}^{-11}})(5/98\times {{10}^{24}})}{{{(6400\times {{10}^{3}}+600\times {{10}^{3}})}^{2}}}=8/14m/{{s}^{2}}$

ب) وزن این تلسکوپ در این ارتفاع چند برابر وزن آن روی سطح زمین است؟

$\frac{{{W}_{h}}}{W}=\frac{G\frac{{{M}_{e}}}{{{r}^{2}}}}{G\frac{{{M}_{e}}}{R_{e}^{2}}}={{(\frac{{{\operatorname{R}}_{e}}}{{{\operatorname{R}}_{e}}+h})}^{2}}={{(\frac{6400}{6400+600})}^{2}}=0/84$

1-2 و 2-2 قوانین حرکت نیوتون و معرفی برخی از نیروهای خاص
1- سیبی را در نظر بگیرید که به شاخهٔ درختی آویزان است و سپس از درخت جدا می‌شود.
الف) با رسم شکل نیروهای وارد بر سیب را قبل و بعد از جداشدن از درخت نشان دهید.
هنگامی که سیب به شاخه آویزان است، چون در حال تعادل است، به سیب دو نیروی وزن و نیروی شاخهٔ درخت وارد می‌شود که اثر یکدیگر را خنثی می‌کنند.
بعد از جدا شدن سیب از درخت فقط نیروی وزن به سیب اثر می‌کند و سیب به سمت پائین شتاب می‌گیرد.

ب) در هر حالت واکنش این نیروها بر چه اجسامی وارد می‌شود؟
نیروی کنش وزن نیرویی است که از طرف زمین به سیب اثر می‌کند و نیروی واکنش وزن نیرویی است که از طرف سیب به زمین (مرکز زمین) اثر می‌کند.
نیروی کنش $F$ نیرویی است که از طرف شاخه درخت به سیب اثر می‌کند و واکنش نیروی $F$ نیرویی است که از طرف سیب به شاخه درخت اثر می‌کند.

2- دانش آموزی به جرم $50/0kg$ روی یک ترازوی فنری در آسانسور ایستاده است. در هر یک از حالت‌های زیر این ترازو چند نیوتون را نشان می‌دهد؟ $(g=9/80N/kg)$
الف) آسانسور ساکن است.
نقشهٔ راه: نیروهای وارد بر دانش آموز را رسم می‌کنیم که دو نیروی مقابل می‌شود.
چون آسانسور ساکن است می‌توانیم بنویسیم:

${{F}_{N}}-W=0\Rightarrow {{F}_{N}}=W\Rightarrow {{F}_{N}}=mg=50\times 9/8=490N$

ب) آسانسور با سرعت ثابت حرکت می‌کند.
نقشهٔ راه: چون شتاب آسانسور صفر است، مانند قسمت الف می‌شود، یعنی: ${{F}_{N}}-W=0\Rightarrow {{F}_{N}}=490N$
پ) آسانسور با شتاب $1/2m/{{s}^{2}}$ به طرف بالا شروع به حرکت می‌کند.
نقشهٔ راه: ${{F}_{N}}$ در جهت شتاب و $W$ در خلاف جهت شتاب است و می‌توانیم چنین بنویسیم:

${{F}_{N}}-W=ma\Rightarrow {{F}_{N}}=mg+ma=m(g+a)\Rightarrow {{F}_{N}}=50\times (9/8+1/2)=550N$

ت) آسانسور با شتاب $1/2m/{{s}^{2}}$ به طرف پایین شروع به حرکت می‌کند.
نقشهٔ راه: چون شتاب آسانسور به طرف پائین است، $W$ در جهت شتاب و ${{F}_{N}}$ در خلاف جهت شتاب است، بنابراین:

$W-{{F}_{N}}=ma\Rightarrow {{F}_{N}}=mg-ma=m(g-a)\Rightarrow {{F}_{N}}=50\times (9/8-1/2)=430N$

3- در شکل نشان داده شده، شخص با نیروی $200N$ جسم $90/0$ کیلوگرمی را هُل می‌دهد، اما جسم ساکن می‌ماند. ولی وقتی با نیروی $300N$ جسم را هُل می‌دهد، جسم در آستانهٔ حرکت قرار می‌گیرد.

الف) نیروی اصطکاک ایستایی بین جسم و سطح در هر حالت چقدر است؟
نقشهٔ راه: شکل ساده‌ای از جسم رسم کرده و نیروهای وارد بر آن را مشخص می‌کنیم. چون شتاب صفر و جسم ساکن است $\overrightarrow{F}$ و ${{\overrightarrow{f}}_{s}}$ هم‌اندازه‌اند، یعنی:

${{a}_{1}}=0\Rightarrow {{F}_{1}}-{{f}_{s}}=0\xrightarrow{{{F}_{1}}=200N}{{f}_{s}}=200N$

${{a}_{2}}=0\Rightarrow {{F}_{2}}-{{f}_{s,\max }}=0\xrightarrow{{{F}_{2}}=300}{{f}_{s,\max }}=300N$

ب) ضریب اصطکاک ایستایی بین جسم و سطح چقدر است؟

${{f}_{s,\max }}={{\mu }_{s}}{{F}_{N}}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}=W=mg=90\times 9/8=882N\Rightarrow {{\mu }_{s}}=\frac{{{f}_{s,\max }}}{{{F}_{N}}}=\frac{300}{882}=0/34$

پ) اگر پس از حرکت، شخص با نیروی $200N$ جسم را هُل دهد و ضریب اصطکاک جنبشی بین سطح و جسم $0/20$ باشد، شتاب حرکت جسم چقدر خواهد شد؟

${{f}_{k}}={{\mu }_{k}}{{F}_{N}}=0/2\times 9/8=176/4N$
$F={{f}_{k}}=ma\Rightarrow 200-176/4=90\times a\Rightarrow a=0/26m/{{s}^{2}}$

4- در شکل روبه رو وقتی وزنهٔ $4/0kg$ را به فنر آویزان می‌کنیم، طول فنر $14/0cm$ می‌شود، و وقتی وزنهٔ $5/0cm$ را به فنر آویزان می‌کنیم، طول فنر $15/0cm$ می‌شود.

الف) ثابت فنر چقدر است؟
نقشهٔ راه: شکل ساده‌ای از جسم رسم کرده و نیروهای وارد بر آن را مشخص می‌کنیم، چون جسم شتاب ندارد با استفاده از قانون دوم نیوتون می‌توانیم چنین بنویسیم:

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{e}}-W=0\Rightarrow {{F}_{e}}=W\xrightarrow[W=mg]{{{F}_{e}}=k(L-{{L}_{0}})}k(L-{{L}_{0}})=mg$

$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   k(0/14-{{L}_{0}})=4\times 9/8(1)  \\
   k(0/15-{{L}_{0}})=5\times 9/8(2)  \\
\end{matrix} \right.\xrightarrow{(2)-(1)}0/01\times k=9/8\Rightarrow k=980N/m$

 ب) طول عادی فنر (بدون وزنه) چند سانتی متر است؟
نقشهٔ راه: اگر مقدار $k$ را در معادلهٔ (۱) قرار دهیم مقدار ${{L}_{0}}$ را به دست می‌آوریم:

$980\times (0/14-{{L}_{0}})=4\times 9/8\Rightarrow 14-100{{L}_{0}}=4\Rightarrow {{L}_{0}}=0/1m=10cm$

5- در هر یک از موارد زیر، نیروهای وارد بر جسم را مشخص کنید. واکنش هر یک از این نیروها به چه جسمی وارد می‌شود؟
الف) خودرویی با سرعت ثابت در یک مسیر مستقیم افقی در حال حرکت است.
نیروهای وارد بر خودرو عبارت‌اند از نیروی وزن خودرو و نیروی عمودی سطح و نیروی پیشران و نیروی مقاومت هوا و اصطکاک واکنش نیروی وزن به مرکز زمین اثر می‌کند، واکنش نیروی عمودی سطح جاده بر سطح جاده اثر می‌کند و واکنش نیروی پیشران به موتور خودرو اثر می‌کند و واکنش نیروی اصطکاک به سطح جاده اثر می‌کند.
ب) کشتی‌ای با سرعت ثابت در حال حرکت است.
نیروهای وارد بر کشتی عبارت‌اند از: نیروی وزن، نیروی شناوری، نیروی پیشران و نیروی مقاومت.
واکنش نیروس وزن به مرکز زمین اثر می‌کند، واکنش نیروی شناوری به آب اثر می‌کند، واکنش نیروی پیشران به موتور کشتی اثر می‌کند و واکنش نیروی مقاومت به هوا و آب اثر می‌کند.
پ) قایقرانی در حال پارو زدن است.
نیروهای وارد بر قایق عبارت‌اند از: نیروی وزن قایق و سرنشینان، نیروی شناوری، نیروی پاروها به قایق و نیروی مقاومت هوا و آب. واکنش نیروی وزن به مرکز زمین، واکنش نیروی شناوری به آب و واکنش نیروی پاروها از قایق به پاروها و واکنش نیروی مقاومت هوا و آب به هوا و آب اثر می‌کند.
ت) چتربازی در هوای آرام و در امتداد قائم در حال سقوط است.
به چترباز نیروی وزن و نیروی مقاومت هوا بر چتر و شخص اثر می‌کند و عکس‌العمل وزن به مرکز زمین و عکس‌العمل نیروی مقاومت هوا وارد بر چتر به هوا اثر می‌کند.
ث) هواپیمایی در یک سطح پروازی افقی با سرعت ثابت در حال حرکت است.
نیروهای وارد بر هواپیما عبارت‌اند از: نیروی وزن هواپیما، نیروی بالابری، نیروی پیشران و نیروی مقاومت هوا.
واکنش نیروی وزن به مرکز زمین، واکنش نیروی بالابری به هوا، واکنش نیروی پیشران به موتور و واکنش نیروی مقاومت هوا به هوا وارد می‌شود.
ج) توپی در راستای قائم به زمین برخورد می‌کند و بر می‌گردد.
در لحظهٔ برخورد توپ با زمین دو نیرو بر توپ اثر می‌کند که عبارات‌اند از نیروی وزن و نیروی عمودی سطح، واکنش نیروی وزن به مرکز زمین و واکنش نیروی عمودی سطح به زمین اثر می‌کند.

۶- رانندهٔ خودرویی که با سرعت $72/0km/h$ در یک مسیر مستقیم در حال حرکت است، با دیدن مانعی اقدام به ترمز می‌کند و خودرو پس از طی مسافت $20/0m$ متوقف می‌شود.
الف) شتاب خودرو در مدت ترمز چقدر است؟

${{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2a\Delta x\Rightarrow {{0}^{2}}-{{(20)}^{2}}=2\times 20\times a\Rightarrow a=-10m/{{s}^{2}}$

ب) از لحظهٔ ترمز تا توقف کامل خودرو، چقدر طول می‌کشد؟

$v=at+{{v}_{0}}\Rightarrow 0=-10t+20\Rightarrow 10t=20\Rightarrow t=2s$

پ) نیروی اصطکاک بین لاستیک‌ها و سطح چقدر است؟
جرم خودرو را 1200kg در نظر بگیرید.

$-{{f}_{k}}=ma\to -{{f}_{k}}=1200\times (-10)\to -{{f}_{k}}=1200N$

7- چتربازی از یک بالگرد تقریباً ساکن که در ارتفاع نسبتاً زیادی قرار دارد، به بیرون می‌پرد و پس از مدتی چتر خود را باز می‌کند و در امتداد قائم سقوط می‌کند. حرکت چترباز را از لحظهٔ پرش تا رسیدن به زمین تحلیل کنید و نموداری تقریبی از تندی آن بر حسب زمان رسم کنید.
در ابتدا نیروی وزن از نیروی مقاومت هوا بیشتر است و چترباز تقریباً با شتاب ثابت سقوط می‌کند و تندی چترباز افزایش می‌یابد. به محض باز کردن چتر، نیروی مقاومت هوا رو به بالا، یعنی در خلاف جهت حرکت آن به چتر باز وارد می‌شود و به تدریج تندی چترباز کاهش پیدا می‌کند و در نتیجه نیروی مقاومت هوانیز کم می‌شود تا اینکه نیروی مقاومت هوا و وزن هم‌اندازه شده و نیروهای وارد بر چترباز متوازن شوند. پس از این چترباز با تندی ثابتی موسوم به تندی حدی، به طرف پایین حرکت می‌کند.

8- در شکل زیر، نیروی ${{F}_{1}}$ به بزرگی $20/0N$ بر جعبه وارد شده است، اما جعبه همچنان ساکن است. اگر در همین حالت بزرگی نیروی قائم ${{\overrightarrow{F}}_{2}}$ که جعبه را به زمین می‌فشارد از صفر شروع به افزایش کند، کمیت‌های زیر چگونه تغییر می‌کنند؟
شکل ساده‌ای از جسم را رسم کرده و کلیهٔ نیروهای وارد بر جسم را مشخص می‌کنیم:

الف) اندازهٔ نیروی عمودی سطح وارد بر جعبه افزایش می‌یابد، زیرا: ${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}={{F}_{2}}+W$
با افزایش ${{F}_{2}}$ اندازهٔ ${{F}_{N}}$ نیز زیاد می‌شود.

ب) اندازهٔ نیروی اصطکاک ایستایی وارد بر جعبه ثابت می‌ماند، زیرا: ${{a}_{x}}=0\Rightarrow {{F}_{1}}={{f}_{s}}$
اندازهٔ ${{f}_{s}}$ برابرا با ${{F}_{1}}$ است و به ${{F}_{2}}$ بستگی ندارد.
پ) اندازهٔ بیشینهٔ نیروی اصطکاک ایستایی
افزایش می‌یابد، زیرا ${{f}_{s,\max }}={{\mu }_{s}}{{F}_{N}}$ و در قسمت الف توضیح دادیم که ${{F}_{N}}$ افزایش می‌یابد، پس ${{f}_{s,\max }}$ نیز افزایش خواهد یافت.
ت) نیروی خالص وارد بر جسم
ثابت می‌ماند، زیرا نیروی خالص وارد بر جسم متناسب با شتاب است و شتاب صفر است و تغییری نمی‌کند.

9- می‌خواهیم به جسمی که جرم آن $5/0kg$ است، شتاب $2/0m/{{s}^{2}}$ بدهیم. در هر یک از حالت‌های زیر، نیرویی را که باید به جسم وارد کنیم محاسبه کنید. از مقاومت هوا صرف‌نظر می‌شود.
الف) جسم روی سطح افقی بدون اصطکاک حرکت کند.
نیروهای وارد بر جسم را رسم می‌کنیم.

$F=ma=5\times 2=10N$

ب) جسم روی سطح افقی با ضریب اصطکاک $0/20$ به طرف راست حرکت کند، و شتابش نیز به طرف راست باشد.

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}=W=mg\Rightarrow FN=5\times 9/8=49N$

${{f}_{k}}={{\mu }_{k}}{{F}_{N}}=0/2\times 49=9/8N$

$F-{{f}_{k}}={{\operatorname{ma}}_{x}}\Rightarrow F={{f}_{k}}+ma\Rightarrow F=9/8+5\times 2=19/8N$

پ) جسم در راستای قائم با شتاب رو به بالا شروع به حرکت کند.

$F-W=ma\Rightarrow F=m(g+a)=5\times (9/8+2)\Rightarrow F=59N$

ت) جسم در راستای قائم با شتاب رو به پایین شروع به حرکت کند.

$W-F=ma\Rightarrow F=m(g-a)=5\times (9/8-2)\Rightarrow F=39N$

10- قطعه چوبی را با سرعت افقی $10/0m/s$ روی سطحی افقی پرتاب می‌کنیم. ضریب اصطکاک جنبشی بین چوب و سطح $0/20$ است.

الف) چوب پس از پیمودن چه مسافتی می‌ایستد؟
نقشهٔ راه: شکل ساده‌ای برای قطعه چوب رسم کرده و نیروهای وارد بر آن را مشخص می‌کنیم.

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{F}_{N}}=W=mg\Rightarrow {{f}_{k}}={{\mu }_{k}}{{F}_{N}}={{\mu }_{k}}mg$

$-{{f}_{k}}={{\operatorname{ma}}_{x}}\Rightarrow -{{\mu }_{k}}\not{m}g=\not{m}a\Rightarrow a=-{{\mu }_{k}}g=-0/2\times 9/8=-1/96m/{{s}^{2}}$

${{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2aL\Rightarrow 0-{{(10)}^{2}}=-2\times 1/96\times L\Rightarrow L=25/51m$

ب) اگر از یک قطعه چوب دیگر استفاده کنیم که جرم آن دو برابر جرم قطعه چوب اول و ضریب اصطکاک جنبشی آن با سطح افقی با اولی یکسان باشد و با همان سرعت پرتاب شود، مسافت پیموده شدهٔ آن چند برابر می‌شود؟
تغییری نمی‌کند، زیرا طبق محاسبات قسمت اول شتاب به جرم بستگی ندارد و فقط به ضریب اصطکاک بستگی دارد. و با ثابت ماندن ضریب اصطکاک و سرعت اولیه، مسافت پیموده شده نیز ثابت می‌ماند.

11- وزنه‌ای به جرم $2/0kg$ را به انتهای فنری به طول $12cm$ که ثابت آن $20N/cm$ است می‌بندیم و فنر را از سقف یک آسانسور آویزان می‌کنیم. طول فنر را در حالت‌های الف تا ت محاسبه کنید.
الف) آسانسور ساکن است.

${{a}_{y}}=0\Rightarrow Fe=W\Rightarrow kx=mg\to 20x=2\times 9/8$

$\to x=0/98cm\to L-{{L}_{0}}+x=12+0/98=12/98cm$

ب) آسانسور با سرعت ثابت $2/0m/s$ رو به پایین در حرکت است.
چون شتاب صفر است، مانند قسمت (الف) حل می‌شود یعنی $L=12/98cm$
پ) آسانسور با شتاب ثابت $2/0m/{{s}^{2}}$ از حال سکون رو به پایین شروع به حرکت کند.

$W-{{F}_{e}}=ma\Rightarrow kx=mg-ma\to kx=m(g-a)$

$20x=2\times (9/8-2)\to x=0/78cm\to L={{L}_{0}}+x=12+0/78=12/78cm$

ت) آسانسور با شتاب ثابت $2/0m/{{s}^{2}}$ از حال سکون رو به بالا شروع به حرکت کند.

${{F}_{e}}-W=ma\Rightarrow kx=mg+ma=m(g+a)$

$\Rightarrow 20x=2\times (9/8+2)\Rightarrow x=1/18cm\to L={{L}_{0}}+x=12+1/18=13/18cm$

1۲- برای یک راننده دانستن کل مسافت توقف خودرو اهمیت دارد. همان طور که شکل نشان می‌دهد کل مسافت توقف، دو قسمت دارد؛ مسافت واکنش (مسافتی که خودرو از لحظهٔ دیدن مانع تا ترمزگرفتن طی می‌کند) و مسافت ترمز (مسافتی که خودرو از لحظه ترمزگرفتن تا توقف کامل طی می‌کند).

الف) دو عامل مؤثر در مسافت واکنش را بنویسید. سرعت خودرو، دقت راننده و زمان واکنش راننده
ب) زمان واکنش راننده‌ای $0/60s$ است. در طی این زمان، خودرو مسافت $18m$ را طی می‌کند. با فرض ثابت بودن سرعت در این مدت، اندازهٔ آن را حساب کنید.

${{v}_{0}}=\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{18}{0/6}=30m/s$

پ) اگر در این سرعت راننده ترمز کند و خودرو پس از $5/0s$ متوقف شود، مسافت ترمز و شتاب خودرو را حساب کنید.

$v=at+{{v}_{0}}\to 0=a(5)+30\to a=\frac{-30}{5}=-6m/{{s}^{2}}$

${{v}^{2}}-v_{0}^{2}=2a\Delta x\to {{0}^{2}}-{{(30)}^{2}}=2(-6)\times \Delta x\to \Delta x=75m$

ت) وقتی خودرو ترمز می‌کند، نیروی خالص وارد بر آن چقدر است؟ جرم خودرو را $1500kg$ فرض کنید.

${{F}_{net}}=ma=1500\times (-6)=-9000N$

13- یک خودروی باری با طناب افقی محکمی، یک خودروی سواری به جرم $1500kg$ را می‌کشد. نیروی اصطکاک و مقاومت هوا در مقابل حرکت خودروی سواری $220N$ و $380N$ است.

برای مسئله شکلی ساده رسم کرده و نیروهای وارد بر خودرو را مشخص می‌کنیم.
الف) اگر سرعت خودرو ثابت باشد نیروی کشش طناب T چقدر است؟

$f=380+220=600N$

${{a}_{x}}=0\Rightarrow T=f\Rightarrow T=600N$

ب) اگر خودرو با شتاب ثابت $2/0m/{{s}^{2}}$ به طرف راست کشیده شود، نیروی کشش طناب چقدر است؟

$T-f=ma\Rightarrow T=f+ma=600+1500\times 2\Rightarrow T=3600N$

14- کتابی را مانند شکل با نیروی عمودی $F$ به دیوار قائمی فشرده و ثابت نگه داشته‌ایم.
الف) نیروهای وارد بر کتاب را رسم کنید. به کتاب چهار نیرو مطابق شکل اثر می‌کند.
ب) اگر جرم کتاب $2/5kg$ باشد، اندازهٔ نیروی اصطکاک را به دست آورید.

${{a}_{y}}=0\Rightarrow {{f}_{s}}=W=mg\to {{f}_{s}}=2/5\times 9/8=24/5N$

پ) اگر کتاب را بیشتر به دیوار بفشاریم، آیا نیروی اصطکاک تغییر می‌کند؟ با این کار چه نیروهایی افزایش می‌یابد؟
خیر، زیرا طبق محاسبات قسمت (ب) نیروی اصطکک فقط به وزن بستگی دارد و با افزایش $F$، اندازهٔ ${{F}_{N}}$ و ${{f}_{s,\max }}$ زیاد می‌شود.

3-2 تکانه و قانون دوم نیوتون
15- وقتی در خودروی ساکنی نشسته‌اید و خودرو ناگهان شروع به حرکت می‌کند، به صندلی فشرده می‌شوید. همچنین اگر در خودروی در حال حرکتی نشسته باشید، در توقف ناگهانی به جلو پرتاب می‌شوید.

الف) علت این پدیده‌ها را توضیح دهید.
علت لختی است. لختی خاصیتی است که اجسام میل دارند وضعیت حرکت خود را هنگامی که نیروی خالص وارد بر آنها صفر است، حفظ کنند.
بنابراین هنگامی که خودرو ناگهان شروع به حرکت می‌کند، بدن تمایل دارد ساکن بماند، ولی خودرو در حال حرکت است و به صندلی فشرده می‌شویم و یا هنگام توقف ناگهانی خودرو، به سمت جلو پرتاب می‌شویم.
ب) نقش کمربند ایمنی و کیسهٔ هوا در کم شدن آسیب‌ها در تصادف‌ها را بیان کنید.
کمربند ایمنی و کیسهٔ هوا، آسیب در تصادف‌ها را کاهش می‌دهند، زیرا هنگام تصادف، خودرو ناگهان متوقف می‌شود و بدن به سمت جلو پرتاب می‌شود و کمربند ایمنی از پرتاب بدن به سمت جلو ممانعت می‌کند. همچنین در هنگام تصادف و باز شدن کیسهٔ هوا و برخورد راننده یا سرنشین به کیسهٔ هوا، مدت زمان تغییر سرعت یا زمان توقف آن‌ها بسیار طولانی‌تر می‌شود و در نتیجه طبق رابطهٔ ${{\overrightarrow{F}}_{av}}=\frac{\overrightarrow{\Delta p}}{\Delta t}$، با افزایش $\Delta t$ نیروی وارد بر سرنشینان  کاهش می‌یابد و بدن ترتیب از وارد آمدن آسیب جدی به آنها جلوگیری می‌شود.

16- توپی به جرم $280g$ با تندی $15/0m/s$ به طور افقی به بازیکنی نزدیک می‌شود. بازیکن با مشت به توپ ضربه می‌زند و باعث می‌شود توپ با تندی $22/0m/s$ در جهت مخالف برگردد.
الف) اندازهٔ تغییر تکانهٔ توپ را محاسبه کنید.

$\Delta p=m({{v}_{2}}-{{v}_{1}})=280\times {{10}^{-3}}\times (22-(-15))=10/36kg.m/s$

ب) اگر مشت بازیکن $0/0600s$ با توپ در تماس باشد، اندازهٔ نیروی متوسط وارد بر مشت بازیکن از طرف توپ را به دست آورید.

${{F}_{av}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{10/36}{0/06}=172/67N$

17- شکل زیر، منحنی نیروی خالص برحسب زمان را برای توپ بیسبالی که با چوب بیسبال به آن ضربه زده شده است، نشان می‌دهد. تغییر تکانهٔ توپ و نیروی خالص متوسط وارد بر آن را به دست آورید.

نقشهٔ راه: تغییر تکانهٔ توپ را می‌توان از سطح زیر نمودار نیرو - زمان به دست آورد. یعنی

$\Delta p={{F}_{av}}\Delta t\Rightarrow \Delta p=\frac{20\times 1/5\times {{10}^{-3}}\times {{10}^{3}}}{2}\Rightarrow \Delta p=15kg.m/s$

${{F}_{av}}=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{15}{1/5\times {{10}^{-3}}}=10000N=10KN$

4-۲ نیروی گرانشی
18- دو جسم در فاصلهٔ $20/0m$ از هم، یکدیگر را با نیروی گرانشی کوچک $1/00\times {{10}^{-8}}N$، جذب می‌کنند. اگر جرم یکی از اجسام $50/0kg$ باشد، جرم جسم دیگر چقدر است؟

$F=G\frac{{{m}_{1}}{{m}_{2}}}{{{r}^{2}}}\xrightarrow[{{m}_{1}}=50kg,F={{10}^{-8}}N]{G=6/67\times {{10}^{-11}}N.{{m}^{2}}/k{{g}^{2}},r=20m}{{m}_{2}}=\frac{F{{r}^{2}}}{G{{m}_{1}}}$

$\to {{m}_{2}}=\frac{{{10}^{-8}}\times {{(20)}^{2}}}{6/67\times {{10}^{-11}}\times 50}\simeq 12\times {{10}^{3}}kg=12000kg$

19- الف) در چه ارتفاعی از سطح زمین، وزن یک شخص به نصف مقدار خود در سطح زمین می‌رسد؟

$\Rightarrow \sqrt{2}=\frac{{{R}_{e}}+h}{{{R}_{e}}}\Rightarrow h=6400(\sqrt{2}-1)=2560km$

ب) اگر جرم ماهواره‌ای $250kg$ باشد، وزن آن در ارتفاع $36000$ کیلومتری از سطح زمین چقدر خواهد شد؟
(${{R}_{e}}=6400km$ و ${{M}_{e}}=5/98\times {{10}^{24}}kg$)

$W=G\frac{{{M}_{e}}m}{{{({{R}_{e}}+h)}^{2}}}=\frac{(6/67\times {{10}^{-11}})(5/98\times {{10}^{24}}\times 250)}{{{(6400\times {{10}^{3}}+3600\times {{10}^{3}})}^{2}}}\to W=55/46N$

20- الف) شتاب گرانشی ناشی از خورشید در سطح زمین چقدر است؟

خورشید: $Sun$

${{g}_{sun}}=G\frac{{{M}_{sun}}}{{{r}^{2}}}=\frac{(6/67\times {{10}^{-11}})(1/99\times {{10}^{30}})}{{{(149/6\times {{10}^{9}})}^{2}}}=0/0059m/{{s}^{2}}$

ب) شتاب گرانشی ناشی از ماه در سطح زمین چقدر است؟

خورشید: $Sun$ / ماه: $Month$

${{M}_{\text{Month}}}=7/36\times {{10}^{22}}kg$  و  ${{M}_{\text{Sun}}}=1/99\times {{10}^{30}}kg$

$=149/6\times {{10}^{6}}km$ فاصلهٔ زمین تا خورشید
$=3/84\times {{10}^{5}}km$ فاصلهٔ زمین تا ماه

ماه: $Month$

${{g}_{Month}}=G\frac{{{M}_{Month}}}{{{r}^{2}}}=\frac{(6/67\times {{10}^{-11}})(7/36\times {{10}^{22}})}{{{(3/84\times {{10}^{8}})}^{2}}}=3/33\times {{10}^{-5}}m/{{s}^{2}}$

21- الف) سفینه‌ای به جرم $=3/00\times {{10}^{4}}km$ در وسط فاصلهٔ بین زمین و ماه قرار دارد. نیروی گرانشی خالصی را که از طرف زمین و ماه به این سفینه در این مکان وارد می‌شود به دست آورید (از داده‌های مسئله‌های قبل استفاده کنید).

${{F}_{net}}={{F}_{1}}-{{F}_{2}}=G\frac{{{M}_{e}}m}{{{r}^{2}}}-G\frac{{{M}_{m}}m}{{{r}^{2}}}=G\frac{m}{{{r}^{2}}}[{{M}_{e}}-{{M}_{m}}]$

$\to {{F}_{net}}=\frac{6/67\times {{10}^{-11}}\times 3\times {{10}^{4}}}{{{(1/92\times {{10}^{8}})}^{2}}}[5/98\times {{10}^{24}}-7/36\times {{10}^{22}}]\to {{F}_{net}}=320/6N$

ب) در چه فاصله‌ای از زمین، نیروی گرانشی ماه و زمین بر سفینه، یکدیگر را خنثی می‌کنند؟

${{F}_{1}}={{F}_{2}}\to G\frac{{{M}_{e}}m}{r_{1}^{2}}=G\frac{{{M}_{m}}m}{r_{2}^{2}}\Rightarrow \frac{{{M}_{e}}}{r_{1}^{2}}=\frac{{{M}_{m}}}{r_{2}^{2}}$

$\to \frac{598\times {{10}^{22}}}{r_{1}^{2}}=\frac{7/36\times {{10}^{22}}}{{{(3/84\times {{10}^{8}}-{{r}_{1}})}^{2}}}\to {{r}_{1}}=3/46\times {{10}^{8}}m$