درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی
فصل ششم: درس 1: شمارش
شاید شمارش در نظر برخی افراد، یک مهارت با اهمیت ریاضی نباشد و تنها یک عمل ساده باشد؛ امّا آیا واقعاً شمردن همیشه آسان است؟ میدانید که دو اتومبیل نباید پلاک یکسان داشته باشند. با پلاکهایی به صورت مقابل، با استفاده از حروف و اعداد، چند اتومبیل را میتوان شماره گذاری کرد؟
اصل جمع و اصل ضرب
فعالیت (صفحهٔ ۱۱۹ کتاب درسی)
1- امین قصد دارد به خاطر قبولی در یک آزمون به دوستش پوریا، شیرینی بدهد. او با خود فکر میکند که پوریا را به یکی از دو مکان رستوران «یا» آب میوه فروشی دعوت کند. اگر به رستوران برود، تنها یکی از 2 نوع غذای چلوخورشت قورمه سبزی و قیمه را میتواند انتخاب کند و اگر به آب میوه فروشی برود، تنها یکی از سه نوع آب میوهٔ هویج، سیب و پرتقال را میتواند انتخاب کند. چند انتخاب برای پوریا وجود دارد؟
پنج انتخاب وجود دارد.
2- هفتهٔ بعد پوریا قصد دارد به خاطر تولدش امین را دعوت کند. اما او میخواهد امین را هم به آن رستوران «و» هم به آن آب میوه فروشی ببرد و در رستوران یک انتخاب و در آب میوه فروشی هم یک انتخاب به او بدهد. امین چند نوع انتخاب خواهد داشت؟
شش انتخاب خواهد داشت.
3- چه تفاوتی در دو سؤال بالا وجود داشت که باعث شد تعداد حالتهای موجود در دو مثال متفاوت باشد؟
این تفاوت که پوریا میبایست از میان غذاها یا آبمیوهها فقط یکی را انتخاب کند اما امین هم یک غذا و هم یک آبمیوه باید انتخاب کند.
4- در هر یک از دو سؤال بالا چه رابطهای بین تعداد گزینههای فهرستهای انتخابی رستوران و آب میوه فروشی و تعداد حالات جواب وجود دارد؟ چرا؟
در حالت اول تعداد حالتهای جواب با مجموع انتخابها برابر است اما در حالت دوم با حاصل ضرب انتخابها برابر است.
اصل جمع: اگر کاری را بتوان به دو روش انجام داد، به طوری که در روش اول $m$ انتخاب و در روش دوم $n$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار موردنظر $m+n$ روش وجود دارد.
«توجه کنید که نهایتاً قرار است کار مورد نظر فقط با یکی از شیوهها انجام شود. مثلاً در قسمت اول فعالیت قبل، امین فقط یکی از کارهای «دعوت به رستوران یا دعوت به آب میوه فروشی» را انجام میدهد».
تعمیم اصل جمع: اگر کاری را بتوان به $k$ روش انجام داد، به طوری که در روش اول ${{m}_{1}}$ انتخاب، در روش دوم ${{m}_{2}}$ انتخاب، … و در روش $k$ام ${{m}_{k}}$ انتخاب وجود داشته باشد، برای انجام کار مورد نظر ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}+...+{{m}_{k}}$ روش وجود دارد.
«توجه کنید که هر دو مرحله باید انجام پذیرد. مثلا در مثال 2 هم دعوت به رستوران که مرحلهٔ اولاست انجام میگیرد و هم دعوت به آب میوه فروشی که مرحلهٔ دوم است، صورت میپذیرد».
مثال
فردی میخواهد با اتومبیل خود از تهران به اصفهان برود و برای این کار قصد دارد از قم عبور کند. اگر از تهران به قم دو مسیر $a$ و $b$ و از قم به اصفهان سه مسیر 1 و 2 و 3 وجود داشته باشند، این فرد به چند طریق میتواند از تهران به اصفهان سفر کند؟
حل: طبق اصل ضرب تعداد حالتها $2\times 3=6$ است که عبارتاند از:
$\begin{matrix}
a,1\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}a,2\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}a,3 \\
b,1\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}b,2\begin{matrix}
{} & {} \\
\end{matrix}b,3 \\
\end{matrix}$
تعمیم اصل ضرب: اگر انجام کاری شامل $k$ مرحله باشد؛ به طوری که برای انجام مرحلهٔ اول روش، برای انجام مرحلهٔ دوم ${{m}_{2}}$ روش ، … و برای انجام مرحلهٔ $k$ام ${{m}_{k}}$ روش وجودداشته باشد (با فرض اینکه در هر مرحله انتخاب تمام روشهای آن مرحله ممکن باشد)، کار مورد نظر با ${{m}_{1}}\times {{m}_{2}}\times ...\times {{m}_{k}}$ روش قابل انجام است.
***
کار در کلاس (صفحهٔ ۱۲۱ کتاب درسی)
1- پژمان قصد دارد به عیادت دوستش برود. او به یکی از دو انتخاب «یک شاخهٔ گل» یا «یک نوع شیرینی» برای بردن به خانهٔ دوستش فکر میکند. گلهایی که او در نظر دارد، عبارتاند از: مریم، گلایل، زنبق و رُز. شیرینیهایی که او در نظر دارد، عبارتاند از: گردویی، نارگیلی و کشمشی. او چند انتخاب دارد؟
هفت انتخاب دارد. زیرا طبق اصل جمع $(3+4=7)$.
2-هفتهٔ بعد پژمان میخواهد به دیدن خانهٔ جدید یکی از دوستانش برود. او این بار میخواهد یک شاخه گل» و «یک نوع شیرینی» بخرد و همان گزینهها را در ذهن دارد. او این بار به چند حالت میتواند خرید کند؟ آنها را بنویسید.
او این بار 12 انتخاب دارد.
3- در هر یک از قسمتهای (1) و (2) از چه اصلی استفاده کردید؟ چرا؟
در مسئلهی 1 قرار است تنها یکی از انتخابها صورت گیرد و طبق اصل جمع باید پاسخ داده میشد و در مسئله 2 قرار است هم شیرینی و هم گل انتخاب شود که بنابراین طبق اصل ضرب پاسخ داده میشود. $(3\times 4=12)$
4- دو مسئله طرح کنید که یکی با اصل جمع و یکی با اصل ضرب حل شود.
مسئله برای اصل جمع:
فرض کنید شما برای انجام کاری در بیرون از خانه هستید و مجبورید ناهار خود را از بیرون تهیه کنید. در اطراف شما یک رستوران ایرانی با 5 نوع غذا و یک فستفود با 3 نوع غذا وجود دارد. شما به چند طریق میتوانید غذای امروز خود را تهیه کنید؟
پاسخ: غذای ما یا از رستوران ایرانی تهیه خواهد شد یا از فستفود، پس روش برای انجام این کار وجود دارد.
مسئله برای اصل ضرب:
برای رفتن از شهر $A$ به $C$ ابتدا باید از $B$ عبور کرد. اگر رفتن از $A$ به $B$ از سه راه و رفتن از $B$ به $C$ از دو راه امکانپذیر باشد، در اینصورت برای رفتن از $A$ به $C$ چند راه امکانپذیر است؟
پاسخ: کلاً 6 راه امکانپذیر است. شکل زیر این مطلب را نشان میدهد.
در برخی مسائل لازم است از هر دو اصل جمع و ضرب استفاده شود.
کار در کلاس (صفحهٔ ۱۲۲ کتاب درسی)
الف) با سه رقم 5 و 3 و 2 چند عدد سه رقمی میتوان نوشت؟ به طور مثال 235 و 352 و 335 سه نمونه از این اعدادند. برای این کار میتوان نوشتن عدد سه رقمی را به صورت پرکردن سه جایگاه مقابل با ارقام مذکور در نظر گرفت.
پس این کار سه مرحله دارد و هر سه مرحلهٔ آن باید انجام شود، برای به دست آوردن جواب، تعداد راههای پرکردن هر جایگاه باید مشخص شود و با استفاده از اصل ضرب در هم ضرب شود.
هر جایگاه را به سه حالت میتوان پر کرد؛ لذا 27 عدد وجود دارد.
با نمودار درختی در سالهای پیش آشنا شدهاید. از این نمودار نیز میتوان برای به دست آوردن تعداد اعداد مورد نظر و نیز نوعی از نمایش آنها استفاده کرد. به نمودار درختی کشیده شده در حاشیهٔ صفحه دقت و آن را تکمیل کنید.
ب) با همان سه رقم چند عدد سه رقمی میتوان ساخت که رقم تکراری نداشته باشد؟
1- برای پرکردن جایگاه اول از سمت چپ (صدگان) چند حالت امکان دارد؟
2- حال فرض کنیم یکی از اعداد را در اولین جایگاه گذاشتهایم. برای پرکردن جایگاه دوم چند حالت امکان دارد؟
جایگاه دوم 2 انتخاب دارد. زیرا یکی از اعداد در انتخاب قبل حذف شده و مجاز به استفاده از آن نیستیم.
3- برای پرکردن جایگاه سوم چند حالت وجود دارد؟
لذا $3\times 2\times 1=6$ سه عدد سه رقمی توسط 2 و 3 و 5 با ارقام غیر تکراری وجود دارد.
پ) با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج میتوان نوشت؟
1- جایگاه سمت راست به چند روش میتواند پر شود، به گونهای که عدد ساخته شده زوج باشد؟
به 1 روش میتواند پر شود. (توسط عدد 2)
2- دو جایگاه دیگر هر یک به چند روش میتوانند، پر شوند؟
دو جایگاه دیگر هر یک به 3 طریق میتوانند پر شوند.
لذا تعداد اعداد در این حالت برابر است با $3\times 3\times 1=9$
ت) با همان سه عدد چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری میتوان نوشت؟
1- جايگاه سمت راست به چند روش ميتواند پر شود به گونهاي که عدد ساخته شده زوج باشد؟
به یک طریق میتواند پر شود. (توسط عدد 2)
2- پس از پرکردن جايگاه سمت راست، جايگاه سمت چپ، به چند طريق ميتواند پر شود؟ به 2 طریق.
3- حال جايگاه وسط به چند طريق ميتواند پر شود؟ به 1 طریق.
4- لذا تعداد اعداد مورد نظر در اين حالت برابر است با $1\times 2\times 1=2$
مثال
با ارقام 7 و 3 و 2 و 0
الف) چند عدد سه رقمی میتوان نوشت؟
ب) چند عدد سه رقمی با ارقام غیرتکراری میتوان نوشت؟
پ)چند عدد سه رقمی فرد با ارقام غیرتکراری میتوان نوشت؟
ت) چند عدد سه رقمی زوج با ارقام غیرتکراری میتوان نوشت؟
حل:
الف) با توجه به اصل ضرب و چون رقم صفر در جایگاه صدگان نمیتواند باشد؛ بنابراین تعداد حالتها مطابق شکل مقابل است.
لذا 48 عدد سه رقمی با ارقام مذکور میتوان نوشت.
$3\times 4\times 4=48$
ب) طبق اصل ضرب و با توجه به اینکه رقم صفر در سمت چپ نمیتواند بیاید و ارقام نباید تکراری باشند؛ لذا تعداد حالتها مطابق شکل مقابل است؛ بنابراین 18 عدد میتوان نوشت.
$3\times 3\times 2=18$
پ) با توجه به اینکه رقم سمت راست باید 3 یا 7 باشد و رقم صفر هم نمیتواند رقم سمت چپ باشد؛ لذا تعداد حالتها به صورت مقابل است.
$2\times 2\times 2=8$
ت) چون عدد مورد نظر باید زوج باشد؛ لذا رقم سمت راست باید 0 یا 2 باشد و چون در حالتی که رقم 2سمت راست باشد، رقم 0 سمت چپ هم نمیتواند باشد، لذا باید دو حالت زیر را در نظر بگیریم و طبق اصل جمع تعداد حاصل در دو حالت را با هم جمع کنیم.
حالت اول: اگر رقم سمت راست 2 باشد؛ یعنی رقم سمت راست یک حالت میتواند باشد؛
لذا طبق اصل ضرب تعداد حالتها به صورت مقابل است.
$2\times 2\times 1=4$
حالت دوم: اگر رقم سمت راست 0 باشد، حالتهای جایگاهها به صورت مقابل است.
$3\times 2\times 1=6$
لذا در کل 10 عدد میتوان نوشت.
راه حل دوم: با توجه به صورت سؤالهای (ب)، (پ) و (ت) میتوان به صورت زیر جواب را حساب کرد:
$=18-8=10$ جواب قسمت (پ) - جواب قسمت (ب) = جواب قسمت (ت)
تمرین (صفحهٔ ۱۲۴، ۱۲۵ و ۱۲۶ کتاب درسی)
1- تعداد حالتهای ممکن برای رمز یک دستگاه را در حالتهای زیر به دست آورید. مشخص کنید برای این کار از اصل جمع استفاده میشود یا از اصل ضرب یا از هر دو.
الف) این رمز از یک گزینه تشکیل شده، که یک عدد یا یک حرف الفبای فارسی است.
طبق اصل جمع پاسخ $10+32=42$ حالت است. زیرا ده عدد $9,...,2,1,0$ یا 32 حرف میتوان انتخاب کرد.
ب) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که گزینهٔ اول یک عدد و گزینهٔ دوم یک حرف الفبای فارسی است.
این رمز طبق اصل ضرب $10\times 32=320$ حالت دارد. چون هر دو گزینه باید انتخاب شوند از اصل ضرب استفاده کردیم.
پ) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یکی از گزینهها یک عدد و گزینهٔ دیگر یک حرف الفبای فارسی است.
این رمز دو حالت دارد، یا گزینه اول عدد و گزینه دوم حرف الفبای فارسی است و یا گزینه اول یک حرف الفبای فارسی و گزینه دوم یک عدد است.
ت) این رمز از دو گزینه تشکیل شده است که یا هر دو گزینه عددند یا هر دو گزینه حروف انگلیسیاند.
ث) این رمز از 4 گزینه تشکیل شده است که دو گزینهٔ اول اعداد غیرتکراری و دو گزینهٔ دوم حروف انگلیسی غیرتکراریاند.
2- در یک شهرک صنعتی 5 بلوار اصلی و در هر بلوار، بین 8 تا 10 خیابان، و در هر خیابان بین 10 تا 12 کوچه و در هر کوچه بین 20 تا 30 کارخانه وجود دارد. حداقل و حداکثر تعداد کارخانههایی که ممکن است در این شهرک وجود داشته باشد، چندتاست؟
3- میخواهیم رأسهای مثلث زیر را با دو رنگ قرمز و آبی رنگ کنیم.
الف) به چند طریق این کار امکان پذیر است؟
ب) به چند طریق میتوان این رنگ آمیزی را انجام داد، به گونهای که رأسهایی که به هم وصلاند، هم رنگ نباشند.
برای رأس $A$ دو انتخاب داریم. برای رأس $B$ یک انتخاب داریم زیرا به $A$ وصل است. حال برای رأس $C$ انتخاب نداریم زیرا رأس $C$ هم به $A$ و هم به $B$ وصل است و دیگر رنگی متفاوت با آبی و قرمز نداریم که بخواهیم $C$ را با آن رنگ کنیم. پس به هیچ طریقی نمیشود این کار را انجام داد.
پ) هر دو قسمت (الف) و (ب) را در حالتی که از سه رنگ مختلف استفاده میکنیم، بررسی کنید.
4- با پلاکهایی به صورت زیر که عدد دو رقمی سمت راست آنها از مجموعهٔ $A$ انتخاب شوند و سایر ارقام از مجموعهٔ $B$ انتخاب شوند و حرف استفاده شده در آن از مجموعهٔ $C$ انتخاب شود، چند ماشین را میتوان شماره گذاری کرد؟
$A=\{11,22,...,99\}$
$B=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
{ی، ه، و، ن، م، ل، ق، ط، ص، س، د، ج، ب} = C
5- در یک کشور نوعی اتومبیل در 5 مدل، 10 رنگ، 3 حجم موتور مختلف و 2 نوع دنده (اتوماتیک و غیر اتوماتیک) تولید میشود.
الف) چند نوع مختلف از این اتومبیل تولید میشود؟
ب) اگر یکی از رنگهای تولید شده مشکی باشد، چند نوع از این اتومبیل بارنگ مشکی تولید میشود؟
چون نوع رنگ مشخص شده پس یک انتخاب برای رنگ داریم:
پ) چند نوع از این اتومبیل مشکی دنده اتوماتیک تولید میشود؟
چون نوع رنگ مشخص شده پس یک انتخاب برای رنگ داریم:
6- یک آزمون چند گزینهای شامل 10 سؤال 4 گزینهای و 5 سؤال 2 گزینهای (بله - خیر) است. فردی قصد دارد به سؤالها به صورت تصادفی جواب دهد. او به چند روش میتواند این کار را انجام دهد اگر:
الف) اگر مجبور باشد به همهٔ سؤالها جواب دهد؟
ب) بتواند سؤالها را بدون جواب هم بگذارد؟
چون میتواند جواب هم ندهد پس یک انتخاب دیگر به جز آن گزینه خواهد داشت:
$5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 5\times 3\times 3\times 3\times 3\times 3={{5}^{10}}\times {{3}^{5}}$
7- اگر شکل مقابل نشان دهندۀ جادههای بین شهرهای $A$ و $B$ و$C$ و $D$ و $E$ و باشد و همهٔ جادهها یک طرفه باشند، به چند طریق میتوان از شهر $A$ به شهر $E$ رفت؟
8- مسئله زیر را به گونهای کامل کنید که جواب ارائه شده، درست باشد.
مسئله: چند عدد دو رقمی زوج میتوان نوشت؛ به طوری که دهگان عددی اول باشد؟
حل: تعداد راههای نوشتن یکان برابر 5 تاست و تعداد راههای نوشتن دهگان برابر 4 تاست. لذا با توجه به اصل ضرب 20 عدد با شرایط مورد نظر وجود دارد.
9- مسئلهای طرح کنید که با استفاده از اصل جمع یا اصل ضرب و یا هردوی آنها حل شود و جواب آن به صورت زیر باشد.
«پرسشنامهای دارای سه سؤال 2 گزینهای و سه سؤال 3 گزینهای است. اگر شخصی موظف باشد حتماً به هر شش سؤال پاسخ دهد به چند طریق میتواند پرسشنامه را پر کند؟
