درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- جدول‌های زیر را کامل کنید.

اگر $x$ طول ضلع یک مربع باشد، مساحت آن تابعی از$x$ است و به صورت $f(x)={{x}^{2}}$ قابل نمایش است.
اگر$r$ شعاع یک دایره باشد، مساحت دایره تابعی از ………… است و به صورت *** قابل نمایش است.
چون$r$ و $g$ به صورت یک چند جمله‌ای درجهٔ دوم به ترتیب از $x$ و $r$ بیان شده‌اند، آنها را توابع درجه دوم می‌نامیم.
حجم یک کره را برحسب یک تابع درجهٔ سوم از $r$ (شعاع کره) بنویسید:

$V(r)=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}$

توابع زیر همگی توابع چند جمله‌ای‌اند:

$f(x)=2{{x}^{2}}+5x+1$

$g(x)=4{{x}^{2}}-3$ 

$h(a)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-4a-9$ 

$r(t)=-\frac{3}{5}{{t}^{4}}+t+\sqrt{2}$

تابع $f$ را به صورت $y=2{{x}^{2}}+5x+1$ نیز نمایش می‌دهند. بقیهٔ توابع رانیز به این صورت نمایش دهید.

$g(x)=4{{x}^{2}}-3\Rightarrow y=4{{x}^{2}}-3$ 
$h(a)={{a}^{3}}+2{{a}^{2}}-4a-9\Rightarrow y={{x}^{3}}+2{{a}^{2}}-4a-9$ 
$r(t)=-\frac{3}{5}{{t}^{4}}+t+\sqrt{2}\Rightarrow y=-\frac{3}{5}{{x}^{4}}+x+\sqrt{2}$

2- دامنه و برد توابع زیر را به دست آورید. این سه تابع چه شباهت و چه تفاوتی با هم دارند؟

$f=\{(a,a),(b,b),(c,c)\}$ 

$=\{a,b,c\}$ دامنه $f$

$=\{a,b,c\}$ برد $f$

شباهت این سه تابع در آن جاست که در هر سه تابع به هر عضو از دامنه همان عضو نسبت داده شده است و دامنه و برد در هر کدام از آنها با هم برابر است. تفاوت آنها در اعضای دامنه و بردهایشان است.
اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشند و هر عضو از دامنهٔ تابع دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، تابع را همانی می‌نامند. اگر دامنهٔ تابع همانی را $\mathbb{R}$ در نظر بگیریم، نمودار آن همان $y=x$ است که با معادلهٔ $f(x)=x$ هم نمایش داده می‌شود.

3- سه تابع زیر را با هم مقایسه کنید و دامنه و برد آنها را بنویسید. این سه تابع در چه ویژگی‌ای مشترک‌اند؟

${8,9,10}$ = دامنه
${9}$ = برد

در هر سه تابع به هر عضو از دامنه‌شان تنها یک عدد خاص نسبت داده شده است. یعنی برد هر سه تابع مجموعه‌ای تک عضوی است. در واقع در هر سه همه اعضای دامنه به یک مقدار ثابت متناظر هستند. تفاوت این توابع در اعضای دامنه‌ها و بردهایشان است.

1- برای هر مورد مثالی به دلخواه ارائه کنید.
مثالی از یک تابع چند جمله‌ای ارائه کنید.

$f(x)=2{{x}^{3}}+3x-1$ 

یک تابع همانی مثال بزنید که دامنهٔ آن $\{\alpha ,\beta ,2,5\}$ باشد.

$f=\left\{ (\alpha ,\alpha ),(\beta ,\beta ),(2,2),(5,5) \right\}$ 

یک تابع مثال بزنید که دامنه و برد آن برابر باشند؛ ولی تابع همانی نباشد.

$g=\left\{ (1,1),(2,3)(3,2) \right\}$ 

مثالی از یک تابع ثابت ارائه کنید که دامنهٔ آن 5 عضوی باشد.

$f=\left\{ (1,2),(2,2)(3,2)(4,2)(5,2) \right\}$  روی

مثالی از تابع ثابت در دنیای واقعی ارائه کنید.
ارتفاع 2 متری ساعت دیوار از سطح زمین نسبت به زمان همواره ثابت است. یعنی به صورت $f(t)=2$ است که در آن $t$ زمان را نشان می‌دهد.
2- نمودارهای توابع داده شده را رسم و با یکدیگر مقایسه کنید. نمودار تابع $h$ رسم شده است. جدول را کامل کنید.

دامنه و برد را روی شکل نیز نشان دهید.

تذکر: اگر نمایش جبری تابعی داده شده باشد؛ ولی دامنهٔ آن مشخص نشده باشد، معمولاً بزرگ‌ترین مجموعهٔ ممکن را دامنه در نظر می‌گیریم. مثلاً دامنهٔ تابع $f(x)={{x}^{2}}$ را مجموعهٔ اعداد حقیقی در نظر می‌گیریم. در غیراین صورت باید دامنه را به طور دقیق مشخص کنیم.

جدول زیر تابعی را نشان می‌دهد که اعداد داده شده را به قدر مطلق آن نظیر می‌کند. جاهای خالی را پر و نمودار تابع را رسم کنید. دامنه و برد این تابع را معلوم کنید.

$=\{-2,-\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},\frac{3}{4},5\}$ دامنه $f$

$=\{0,\frac{1}{2},2,\frac{3}{4},5\}$ برد $f$

اگر دامنهٔ یک تابع قدرمطلق مجموعهٔ اعداد حقیقی باشد، نمودار آن را رسم کنید.

تابع قدرمطلق را به صورت $f(x)=\left\{ \begin{matrix}
   x\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}x\ge 0  \\
   -x\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}x \lt 0  \\
\end{matrix} \right.$ نیز نمایش می‌دهند.
با توجه به اینکه برای $x\ge 0$ و $x \lt 0$ تابع دارای معادله‌های مختلفی است، این تابع یک تابع چند ضابطه‌ای (قطعه ای) نامیده می‌شود.

توابع $f$، $g$، $h$ و نیز قسمتی از نمودارهای آنها داده شده‌اند. نمودارها را کامل و مشخص کنید هر نمودار به کدام تابع تعلق دارد؟ دامنه و برد هر تابع را نیز مشخص کنید.

مقادیر $f(3)$، $g(-2)$، $f(-\frac{1}{5})$، $h(\sqrt{5})$ و $g(0)$ را بیابید.

$f(3)=-1$ ، $f(-2)=2$ ، $f(-\frac{1}{5})=2$ ، $h(\sqrt{5})=2\sqrt{5}$ ، $g(0)=0$ 

1- نمودار تابع‌های زیر را رسم و دامنه و برد آنها را مشخص کنید.

مقادیر $f(0)$، $g(0)$، $f(5)$، $g(2)$، $f(-2)$ و $g(-\frac{1}{5})$ را به دست آورید.

$f(0)=3(0)+1=1$ 
$g(0)=1$ 
$f(5)={{5}^{2}}=25$ 
$g(2)=1$ 
$f(-2)=3(-2)+1=-5$ 
$g(-\frac{1}{5})=1$ 

2- نمودار تابع قطعه‌ای $f$ داده شده است. ضابطهٔ آن را به دست آورید. دامنه و برد این تابع را به دست آورید.

نمودارهای توابع $f(x)=2x$ و $g(x)=\left| x \right|$  و $h(x)={{x}^{2}}$ و توابع $f(x)=2x+3$ و $g(x)=\left| x \right|+3$  و $h(x)={{x}^{2}}+3$ داده شده‌اند. توضیح دهید که سه تابع آخر چگونه به کمک سه تابع اول رسم شده‌اند. سپس توابع $f(x)=2x-\frac{3}{4}$ و $g(x)=\left| x \right|-\frac{3}{4}$  و $h(x)={{x}^{2}}-\frac{3}{4}$  را به همین روش رسم کنید.

تابع $f(x)=2x+3$ با سه واحد انتقال تابع $f(x)=2x$ در راستای $y$ به سمت بالا به دست می‌آید. تابع‌های $f(x)=\left| x \right|+3$ و $f(x)={{x}^{2}}+3$ نیز به همین ترتیب از روی $f(x)=\left| x \right|$ و $f(x)={{x}^{2}}$ رسم می‌شوند.

1- در شکل زیر دامنه و برد توابعی را که به کمک تابع $f(x)=\left| x \right|$ رسم شده‌اند، بیابید. آیا می‌توانید توضیح دهید نمودار این توابع چگونه رسم شده‌اند؟
تابع  $f(x)=\left| x-3 \right|$ از انتقال سه واحدی تابع $f(x)=\left| x \right|$ در راستای محور $x$ به سمت راست رسم شده است و تابع $f(x)=\left| x+4 \right|$ با انتقال 4 واحدی تابع $f(x)=\left| x \right|$  به سمت چپ رسم شده است.

2- در شکل‌های زیر به کمک نمودار تابع $f(x)={{x}^{2}}$  و $f(x)=-{{x}^{2}}$ نمودار توابع دیگری رسم شده‌اند. دامنه و برد آنها را بیابید. نمودار $f(x)={{(x+1)}^{2}}$  را نیز رسم کنید.

در شکل‌های زیر نمودار توابع درجهٔ دوم $f$، $t$، $h$، $g$ رسم شده‌اند.

$f(x)={{(x-5)}^{2}}-2$ 

$g(x)={{(x+1)}^{2}}-1$ 

$h(x)={{(x-3)}^{2}}+1$ 

$t(x)=-{{(x+1)}^{2}}+3$ 

الف) هر یک از نمودارها کدام تابع را نشان می‌دهند؟
ب) دامنه و برد هر یک از این توابع را به دست آورید:

1- تابع $f(x)=3x-1$ را که دامنهٔ آن مجموعه $\{\frac{1}{2},0,5\}$ است، رسم کنید. برد این تابع را به دست آورید و نمایش زوج مرتبی و نمودار پیکانی آن را ارائه دهید. اگر دامنهٔ این تابع $\mathbb{R}$ باشد، پاسخ‌ها چگونه خواهد بود؟ 

$f=\{-1,\frac{1}{2},14\}$ برد
$f=\{(0,-1),(\frac{1}{2},\frac{1}{2}),(5,14)\}$ 

اگر دامنه $\mathbb{R}$ باشد، برد $f$ هم $\mathbb{R}$ خواهد بود و نمودار تابع $f$ یک خط راست پیوسته خواهد بود.
2- در شکل‌های زیر نمودار تعدادی از توابع رسم شده‌اند. دامنه و برد هر یک از این توابع را به کمک نمودار آنها مشخص کنید. در هر مورد که امکان دارد، دامنه و برد را به صورت یک بازه نمایش دهید. نمایش جبری توابع (الف) و (ج) را بنویسید.

3- درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را بررسی کنید.
الف) دامنهٔ تابع $f(x)={{x}^{2}}-1$  برابر $(0,+\infty )$ و بُرد آن نیز $(0,+\infty )$ است.
نادرست است. دامنه‌ی این تابع $\mathbb{R}$ و بُرد آن $[-1,+\infty )$ است.

ب) دامنهٔ تابع $f(x)=\left| x \right|-\frac{1}{3}$  همهٔ اعداد حقیقی و بُرد آن $(2,+\infty )$ است.
نادرست است. برد این تابع $[-\frac{1}{3},+\infty )$ است.

پ) دامنهٔ تابع ثابت $f(x)=2$  برابر $(-\infty ,+\infty )$ است.
درست است.
ت) اگر $f(x)=2x+1$  آنگاه، $f(1)=\frac{f(2)}{2}$.
نادرست است. زیرا: $f(1)=2\times 1+1=3,\frac{f(2)}{2}=\frac{2\times 2+1}{2}=\frac{5}{2}\Rightarrow f(1)\ne \frac{f(2)}{2}$
4- یک تانکر گاز از یک استوانه و دو نیم کره به شعاع $r$ در دو انتهای استوانه، تشکیل شده است. اگر ارتفاع استوانه 30 متر باشد، حجم تانکر را بر حسب تابعی از $r$ بنویسید.

حجم استوانه + حجم نیم کره $V(r)=2\times $ 
$V(r)=2\times \frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+\pi {{r}^{2}}\times 30=\frac{4}{3}\pi {{r}^{3}}+30\pi {{r}^{2}}$

5- هریک از نمودارهای زیر کدام یک از تابع های (الف) تا (ر) را نمایش می‌دهد؟ دامنه و برد این توابع چیست؟

دامنه‌ی همه‌ی توابع داده شده در قسمت‌های (الف) تا (ر) برابر $\mathbb{R}$ است.
6- فرض کنیم دامنهٔ هریک از توابع تمرین ٥ به بازهٔ $[-2,3]$ محدود شده باشد. در این صورت برد هر تابع را پیدا کنید. از نمودارها کمک بگیرید.

7- نمودار تابع $f$ داده شده است. ضابطهٔ این تابع را بنویسید و مقادیر خواسته شده را حساب کنید.

8- نمودار یک تابع خطی از نقاط $(4,3)$ و $(0,3)$ می‌گذرد. $f(-4)$ و $f(-1)$ را به دست آورید.
چون f خطی است پس $f(x)=ax+b$ و چون از نقاط $(4,3)$  و $(0,3)$  می‌گذرد، پس:

$3=a(4)+b\xrightarrow{b=3}4a+3=3\Rightarrow a=0$ 

$3=a(0)+b\Rightarrow b=3$ 

$\Rightarrow f(x)=3\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   f(-1)=3  \\
   f(-4)=3  \\
\end{matrix} \right.$ 

9- هزینهٔ مکالمهٔ تلفنی با کشور دیگر، از زمان برقراری تماس برای 3 دقیقه یا کمتر، 2 هزار تومان است و پس از آن برای هر دقیقه یک هزار تومان به هزینهٔ آن اضافه می‌شود. مثلاً برای زمان بیشتر از 3 دقیقه تا دقیقاً 4 دقیقه، 3 هزار تومان دریافت می‌شود. نمودار هزینه را بر حسب زمان تا پایان زمان 6 دقیقه رسم کنید.

10- کدام یک از رابطه‌های زیر یک تابع را نمایش می‌دهد؟ چرا؟ نمودار هر دو معادله را رسم کنید.

	$f(x)=\left\{ \begin{matrix}    x\begin{matrix}    {} & {}  \\ \end{matrix}x \gt 0  \\    x+2\begin{matrix}    {} & {}  \\ \end{matrix}x\le 0  \\ \end{matrix} \right.$  تابع نیست، زیرا مقدار $f(1)$ با ضابطه بالایی برابر 1 است و با ضابطه پایینی برابر 3 است.
	$g(x)=\left\{ \begin{matrix}    2x\begin{matrix}    {} & {}  \\ \end{matrix}x \lt 0  \\    x+1\begin{matrix}    {} & {}  \\ \end{matrix}x\ge 0  \\ \end{matrix} \right.$ تابع است

11- الگوی زیر از تعدادی ذوزنقه تشکیل شده است.

الف) جدول زیر را کامل کنید.

ب) چرا رابطهٔ بین تعداد ذوزنقه‌ها و محیط شکل، یک تابع را معلوم می‌کند؟ دامنه و برد این تابع چیست؟ نمودار آن را رسم کنید.
این رابطه یک تابع است زیرا به هر شکل (به هر تعداد ذوزنقه) یک عدد را به عنوان محیط نسبت می‌دهد. ضابطه‌ی آن به شکل $f(n)=an+b$ است. به عبارت دیگر نسبت تفاضل عرض‌های دو نقطه از تابع به تفاضل طول‌های همان دو نقطه عددی ثابت برابر 3 است.

12- نمودار تابعی، یک سهمی است که از نقاط $(1,-2)$ و$(2,-3)$ می‌گذرد و محور $y$ها را در نقطه‌ای به عرض ١ قطع می‌کند. نمایش جبری این تابع را بیابید و نمودار آن را رسم و دامنه و برد تابع را مشخص کنید.