درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- چند جمله‌ای $y=-{{x}^{2}}+x+2$  را با محاسبهٔ ریشه‌ها، در یک جدول تعیین علامت کنید؛ سپس با رسم آن، صحت علامت‌های به دست آمده در جدول را با نمودار، بررسی کنید.

$x=-1$    یا   $-{{x}^{2}}+x+2=0\Rightarrow {{x}^{2}}-x-2=0\Rightarrow (x-2)(x+1)=0\Rightarrow x=2$
طول رأس سهمی:  $x=-\frac{b}{2a}=\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{9}{4}$ 

2- عبارت‌های زیر را تعیین علامت کنید.

$A=({{x}^{2}}-9)(3x-1)$ (الف
${{x}^{2}}-9=0\Rightarrow x=\pm 3$ 
$3x-1=0\Rightarrow x=\frac{+1}{3}$ 

$B=\frac{-{{x}^{2}}+6x-9}{{{x}^{2}}+x+3}$ (ب
ریشه مضاعف   $-{{x}^{2}}+6x-9=0\Rightarrow {{x}^{2}}-6x+9=0\Rightarrow {{(x-3)}^{2}}=0\Rightarrow x=3$ 
ریشه حقیقی ندارد.   ${{x}^{2}}+x+3=0\Rightarrow \Delta ={{1}^{2}}-4\times 1\times 3=-11<0$ 

 فرض کنید $x$ متغیری باشد که همزمان در دو نامعادلهٔ زیر صدق می‌کند:

$-2<3x-1,3x-1\le 8$

1- هر کدام از نامعادله‌های بالا را حل کنید و مجموعه جواب‌های به دست آمده را روی محور مقابل آنها رسم کنید.

$-2<3x-1\Rightarrow $
$-2<3x-1\Rightarrow -3x<-1+2\Rightarrow -3x<1\Rightarrow x>\frac{-1}{3}$

$3x-1\le 8\Rightarrow $
$3x-1\le 8\Rightarrow 3x\le 8+1\Rightarrow 3x\le 9\Rightarrow x\le 3$

به خاطر وجود «و» بین دو نامعادله، اشتراک مجموعه جواب‌های به دست آمده را مشخص و آن را روی محور مقابل رسم کنید.

2- می‌توانیم دو نامعادلهٔ فوق را ترکیب کنیم و به شکل یک نامعادلهٔ دوگانه به صورت $-2<3x-1\le 8$ بنویسیم. از خواص جمع و ضرب نامساوی‌ها استفاده کنید و این نامعادلهٔ دوگانه را حل کنید:

به دو نامعادله 1+ را اضافه می‌کنیم.     $-2<3x-1\le 8$

دو نامعادله را در $\frac{1}{3}$ را ضرب می‌کنیم.          $-1<3x\le 9$

$\frac{-1}{3} \lt x\le 3$

جواب به دست آمده از این روش را با جوابی که در قسمت بالا به آن رسیده‌اید، مقایسه کنید. نامعادلهٔ دوگانهٔ فوق را به صورت دستگاه نامعادله‌های زیر نیز نشان می‌دهیم:

$\left\{ \begin{matrix}
   3x-1>-2  \\
   3x-1\le 8  \\
\end{matrix} \right.$

حداقل و حداکثر دمای یک شهر در یک روز، ١٥ و ٢٥ درجهٔ سانتی گراد و رابطه‌ای که درجهٔ فار نهایت $(F)$ را به سانتی گراد $(C)$ تبدیل می‌کند، به صورت $C=\frac{5}{9}(F-32)$ است. حداقل و حداکثر دمای این شهر را برحسب فار نهایت تعیین کنید. (قرار دهید $15\le C\le 25$؛ سپس از ، رابطهٔ داده، $(C)$ را بر حسب $F$ بنویسید و نامعادلهٔ دوگانهٔ به دست آمده را حل کنید.)

$15\le C\le 25\Rightarrow 15\le \frac{5}{9}(F-32)\le 25\xrightarrow{\times 9}135\le F-32\le 225\xrightarrow{+32}167\le F\le 257$ 

سهمی $y={{x}^{2}}-2x-3$ را در نظر بگیرید که نمودار آن در شکل مقابل رسم شده است.
الف) به کمک نمودار رسم شده، برای چه مقادیری از $x$، نمودار سهمی، پایین محور $x$هاست؟
به ازای $-1 \lt x \lt 3$ نمودار پایین محور $x$ها می‌افتد.
ب) جدول تعیین علامت عبارت $y={{x}^{2}}-2x-3$ را رسم کنید و مشخص کنید برای چه مقادیری از $x$، علامت $y$ منفی است؟

پ) نشان دهید که از مجموعه جواب‌های به دست آمده در هر یک از قسمت‌های الف و ب می‌توان برای حل نامعادلهٔ ${{x}^{2}}-2x-3<0$ استفاده کرد.
در قسمت الف و به مشخص شده، به ازای $-1 \lt x \lt 3$ مقدار $y$ منفی است $(y<0)$ و چون $y={{x}^{2}}-2x-3$ پس ${{x}^{2}}-2x-3<0$ است. یعنی$-1 \lt x \lt 3$ جواب‌های نامعادله ${{x}^{2}}-2x-3<0$ هستند.

هریک از نامعادلات زیر را به دو روش هندسی و جدول تعیین علامت، حل کنید.

${{x}^{2}}\le 4$ (الف

طبق نمودار رسم شده به ازای $-2\le x\le 2$ نمودار پایین یا روی محور xها است. یعنی $[-2,2]$ مجموعه جواب این نامعادله است.

 $\begin{align}
  & {{x}^{2}}\le 4\Rightarrow {{x}^{2}}-4\le 0 \\ 
 & {{x}^{2}}-4=0\Rightarrow {{x}^{2}}=4\Rightarrow x=\pm 2 \\ 
\end{align}$  :روش تعیین علامت 

مجموعه جواب نامعادله بازه  $[-2,2]$ است.

$3{{x}^{2}}-x-2\ge 0$ (ب
رأس سهمی: $-\frac{b}{2a}=\frac{1}{6}$

$y=3{{x}^{2}}-x-2\Rightarrow $ :روش هندسی

طبق نمودار به ازای $x\ge 1$  یا $x\le -\frac{2}{3}$ نامساوی (ب) برقرار است. پس مجموعه جواب این نامعادله $(-\infty ,-\frac{2}{3}]\bigcup [1,+\infty )$ است.

$3{{x}^{2}}-x-2=0\Rightarrow \Delta ={{(-1)}^{2}}-4\times 3\times (-2)=1+24=25$ :روش تعیین علامت
$x=-\frac{2}{3}$    یا  $\Rightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{25}}{6}=\frac{1+5}{6}\Rightarrow x=1$

$\Rightarrow (-\infty ,-\frac{2}{3}]\bigcup [1,+\infty )$

1- نامعادلهٔ $\left| x \right|\le 3$ را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی $x$ است که فاصلهٔ آنها از مبدأ کوچک‌تر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.

مجموعهٔ مقادیری را که در نمودار بالا مشخص کرده‌اید، به صورت بازه بنویسید. $[-3,3]$
2- نامعادلهٔ $\left| x \right|\ge 3$ را در نظر بگیرید. مجموعه جواب این نامعادله، شامل اعداد حقیقی $x$ است که فاصلهٔ آنها از مبدأ بزرگ‌تر یا مساوی باشد. این اعداد را روی محور زیر نمایش دهید.

مجموعهٔ این مقادیر را که در نمودار بالا مشخص کرده‌اید، به صورت بازه بنویسید. $(-\infty ,-3]\bigcup [+3,+\infty )$
3- با استفاده از مراحل بالا، جاهای خالی را با عبارت‌های مناسب پر کنید.

1- در هریک از نامعادله‌های زیر، مجموعه جواب را با نماد بازه به دست آورید؛ سپس آن را روی محور نشان دهید.

الف) $\left| \frac{x}{3}+1 \right|<\frac{2}{3}$

$\left| \frac{x}{3}+1 \right|<\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{2}{3}<\frac{x}{3}+1<\frac{2}{3}\Rightarrow -\frac{2}{3}-1<\frac{x}{3}<\frac{2}{3}-1$ 

$\Rightarrow -\frac{5}{3} \lt \frac{x}{3} \lt -\frac{1}{3}\Rightarrow -5 \lt x \lt -1\Rightarrow (-5,-1)$

ب) $\left| 5-2x \right|\ge 1$

$\left| 5-2x \right|\ge 1\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   5-2x\ge 1\Rightarrow -2x\ge -4\Rightarrow x\le 2  \\
   5-2x\le -1\Rightarrow -2x\le -6\Rightarrow x\ge 3  \\
\end{matrix} \right.$ 
$x\ge 3\Rightarrow (-\infty ,2]\bigcup [3,+\infty )$   یا   $\Rightarrow x\le 2$

2- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن بازهٔ (1،9) باشد.

طبق آنچه در مورد نامعادلات قدر مطلقی می‌دانیم باید نقطه وسط بازه $(1,9)$ را بیابیم تا بتوانیم آن را به صورت $\left| x-a \right| \lt b$ در آوریم.

نقطه وسط بازه  $\frac{1+9}{2}=5:(1,9)$ 

$1 \lt x \lt 9\Rightarrow -4 \lt x-5 \lt 4\Rightarrow \left| x-5 \right| \lt 4$ 

3- یک نامعادلهٔ قدر مطلقی بنویسید که مجموعه جواب آن $(-\infty ,3]\bigcup [6,+\infty )$ باشد.

$x-\frac{9}{2}\ge \frac{3}{2}\Rightarrow \left| x-\frac{9}{2} \right|\ge \frac{3}{2}$   یا    $x\ge 6\Rightarrow x-\frac{9}{2}\le -\frac{3}{2}$   یا   $x\le 3$

1- در هریک از نامعادله‌های زیر، مجموعه جواب را به شکل بازه بنویسید.

$\Rightarrow 4\le 2x\le 6\Rightarrow 2\le x\le 3\Rightarrow x\in [2,3]$ $1<2x-3\le 3$ (الف

$x+1\le 5-x<2x+3$ (ب
$\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   x+1\le 5-x\to 2x\le 4\to x\le 2  \\
   5-x \lt 2x+3\to 3x \gt 2\to x \gt \frac{2}{3}  \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \frac{2}{3} \lt x\le 2\Rightarrow x\in (\frac{2}{3},2]$

$\Rightarrow -4<5-x<0\Rightarrow -9<-x<-5\Rightarrow 5$-2 \lt \frac{5-x}{2} \lt 0$ (پ

$\frac{4-2x}{3x+1}$ (ت

$x({{x}^{2}}+4)<0$ (ث

طبق جدول بازه $(-\infty ,0)$ مجموعه جواب نامعادله است.

$\frac{{{x}^{3}}-x}{{{x}^{2}}-2x+2}\le 0$ (ج

طبق جدول مجموعه جواب نامعادله $(-\infty ,-1]\bigcup [0,1]$ است.

$\Rightarrow -1 \lt 7-2x \lt 1\Rightarrow -8 \lt -2x \lt -6\Rightarrow 3 \lt x \lt 4\Rightarrow x\in (3,4)$  $\left| 7-2x \right| \lt 1$ (چ

$\left| \frac{x-1}{2}-1 \right|\ge 3$ (ح
$\Rightarrow \frac{x-1}{2}-1\le 3$   یا    $\frac{x-1}{2}-1\le -3$ 

$\frac{x-1}{2}-1\ge 3\Rightarrow \frac{x-1}{2}\ge 4\Rightarrow x-1\ge 8\Rightarrow x\ge 9$

$\frac{x-1}{2}-1\le -3\Rightarrow \frac{x-1}{2}\le -2\Rightarrow x-1\le -4\Rightarrow x\le -3$

$x\le -3\Rightarrow x\in (-\infty ,-3]\bigcup [9,+\infty )$     یا      $\Rightarrow x\ge 9$

2- به ازای چه مقادیری از $k$، عبارت $A={{x}^{2}}+3x+k$ همواره مثبت است؟
با ضریب ${{x}^{2}}$ مثبت و مقدار دلتا  $\Delta $  منفی باشد تا یک عبارت درجه دوم همواره مثبت باشد.

$\left\{ \begin{matrix}
   {{x}^{2}}=1>0*\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   \Delta ={{3}^{2}}-4\times 1\times k=9-4k<0\Rightarrow -4k<-9\Rightarrow k>\frac{9}{4}  \\
\end{matrix} \right.$ 

3- به ازای چه مقادیری از $m$، سهمی $y=m{{x}^{2}}-mx-1$ همواره پایین محور $x$هاست؟
برای آنکه نمودار سهمی، همواره زیر محور $x$ها باشد باید ضریب ${{x}^{2}}$ منفی باشد و $\Delta <0$ پس باید:

$\left\{ \begin{matrix}
   m<0\begin{matrix}
   {} & (I)\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix}  \\
   \Delta ={{(-m)}^{2}}-4(m)(-1)={{m}^{2}}+4m<0  \\
\end{matrix} \right.$ 
$m2+4m=m(m+4)<0\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   m=0\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   m+4=0\to m=-4  \\
\end{matrix} \right.$ 

اشتراک رابطه‌های $I$ و $II$ نتیجه می‌دهد که باید $-4 \lt m \lt 0$ باشد.
4- یک جسم از بالای یک ساختمان که ١٣ متر ارتفاع دارد، به هوا پرتاب می‌شود. اگر ارتفاع این جسم از سطح زمین در ثانیهٔ $t$ از رابطهٔ $h=-5{{t}^{2}}+18t+13$ محاسبه شود، در چه فاصلهٔ زمانی، ارتفاع توپ از سطح زمین بیشتر از ١٣ متر خواهد بود؟
 ارتفاع بیشتر از 13 متر باشد یعنی $h>13$ و این یعنی $-5{{t}^{2}}+18t+13>13$ حال نامعادله اخیر را حل می‌کنیم تا $t$ مورد نظر را بیابیم.

طبق جدول تعیین علامت برای $0 \lt t \lt \frac{18}{5}$ ارتفاع توپ از ۱۳ متر بیشتر است.
5- تعداد ضربان قلب، پس از $x$ دقیقه کار سنگین بدنی، طبق رابطهٔ $y=\frac{15}{8}{{x}^{2}}-30x+200$ به دست می‌آید. در چه زمان‌هایی پس از یک کار سنگین بدنی، تعداد ضربان قلب از 110 بیشتر است؟ آیا تمام جواب‌های به دست آمده قابل قبول‌اند؟
باید نامعادله‌ی $\frac{15}{8}{{x}^{2}}-30x+200 \gt 110$  را حل کنیم تا زمان‌های مورد نظر را بیابیم:

$\frac{15}{8}{{x}^{2}}-30x+200>110\Rightarrow 15{{x}^{2}}-240x+1600>880\Rightarrow 15{{x}^{2}}-240x+720>0$

طبق جدول $x\in (0,4)\bigcup (12,+\infty )$ زمان‌های مورد نظر هستند. زمان‌های کمتر از صفر قابل قبول نیستند، زیرا زمان منفی نداریم و همواره زمان کمیتی نامنفی است.