درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

پدر محمد یک زیست شناس است و در یک آزمایشگاه پزشکی کار می‌کند. در آزمایشی یک نوع باکتری کشت داده شده که در شرایط مساعد، جرم این باکتری‌ها در هر ساعت 2 برابر می‌شود. جرم باکتری‌ها در لحظهٔ شروع 1 گرم است؛ بنابراین جرم باکتری‌ها پس از یک ساعت 2 گرم، پس از 2 ساعت برابر 4 گرم، و پس از ساعت $n$ام برابر ${{2}^{n}}$ گرم می‌شود:

$1,{{2}^{1}},{{2}^{2}},{{2}^{3}},......,{{2}^{n}}$

محمد از پدرش پرسید: «آیا حتماً تا پایان ساعت باید منتظر بمانیم؟ آیا می‌توانیم جرم باکتری‌ها را پس از نیم ساعت محاسبه کنیم؟»
پدرش گفت: تو فکر می‌کنی جرم باکتری‌ها پس از نیم ساعت چقدر می‌شود؟
محمد گفت: حدس می‌زنم جرم آنها ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ گرم شده باشد. چون نیم همان $\frac{1}{2}$ است.
 پدرش گفت: ${{2}^{\frac{1}{2}}}$ چقدر است؟
محمد گفت: نمی‌دانم ولی باید بتوانیم مقدار آن را پیدا کنیم.
اگر فرض کنیم در هر نیم ساعت جرم باکتری‌ها $b$ برابر شود، در این صورت بعد از یک ساعت جرم باکتری‌ها باید برابر $b\times b={{b}^{2}}$ شود. اما می‌دانیم پس از یک ساعت جرم باکتری‌ها دو برابر می‌شوند؛ پس ${{b}^{2}}=2$؛ یعنی $b=\sqrt{2}$ (زیرا $b$ مثبت است).
نتیجهٔ جالبی است! ${{2}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{2}$. مشابه این رابطه را می‌توانیم برای توان‌های دیگر نیز تعریف کنیم: ${{2}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{2}$، ${{2}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{2}$؛ همچنین برای عددهای دیگر ${{5}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{5}$. می‌توانیم نماهای کسری با صورت 1 را تعریف کنیم. $a$ عددی حقیقی و مثبت است.

برای هر عدد طبیعی $n\ge 2$، توان$\frac{1}{n}$ عدد مثبت $a$ را چنین تعریف می‌کنیم:

${{a}^{\frac{1}{n}}}=\sqrt[n]{a}$

در این کتاب اگر 0 > $a$ ،${{a}^{\frac{1}{n}}}$ را تعریف نمی‌کنیم. به عنوان مثال عبارت‌هایی مانند ${{(-1)}^{\frac{1}{3}}}$ و ${{(-2)}^{\frac{2}{4}}}$ را تعریف نمی‌کنیم. در تمام این فصل، در عبارت ${{a}^{\frac{1}{n}}}$، $a$ را عددی مثبت در نظر می‌گیریم.

هر یک از عبارت‌های زیر را به شکل رادیکالی نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را به دست آورید.

${{2}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{2}$

${{3}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{3}$

${{4}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{4}$

${{5}^{\frac{1}{7}}}=\sqrt[7]{5}$

${{6}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{6}$

${{81}^{\frac{1}{4}}}=\sqrt[4]{81}$

حاصل ${{a}^{\frac{m}{n}}}$ که 0 < $a$ و $m$ و $n$ دو عدد طبیعی هستند را چگونه حساب می‌کنیم؟
در مبحث توان با نماهای طبیعی یادتان هست چگونه عمل کردیم؟

(قاعده ضرب توان)                               ${{2}^{6}}={{2}^{2\times 3}}={{({{2}^{2}})}^{3}}$

در مورد توان‌های گویا هم می‌توانیم به طریق مشابه عمل کنیم:

${{5}^{\frac{8}{3}}}={{5}^{8\times \frac{1}{3}}}={{({{5}^{8}})}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{{{5}^{8}}}$            ${{2}^{\frac{2}{3}}}={{2}^{2\times \frac{1}{3}}}={{({{2}^{2}})}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{{{2}^{2}}}$

به طور کلی:

هرگاه 0 < $a$ برای هر دو عدد طبیعی $m$ و $n$، ${{a}^{\frac{m}{n}}}$ را چنین تعریف می‌کنیم:

${{a}^{\frac{m}{n}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$

اگر 0 < $a$ و $m$ و $n$، دو عدد طبیعی ${{a}^{\frac{m}{n}}}$ به صورت زیر تعریف می‌شود:

${{a}^{\frac{m}{n}}}={{({{a}^{\frac{1}{n}}})}^{m}}={{({{a}^{m}})}^{\frac{1}{n}}}$

بنابراین: ${{a}^{\frac{m}{n}}}={{(\sqrt[n]{a})}^{m}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$ همچنین ${{a}^{-\frac{m}{n}}}$ نیز به صورت زیر تعریف می‌شود:

${{a}^{-\frac{m}{n}}}=\frac{1}{{{a}^{\frac{m}{n}}}}$

اکنون شما اعداد توان دار زیر را به شکل رادیکال بنویسید و در صورت امکان حاصل آنها را به دست آورید.

 ${{5}^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{{{5}^{2}}}$ (الف

${{3}^{\frac{2}{7}}}=\sqrt[7]{{{3}^{2}}}$ (ب

${{81}^{\frac{3}{4}}}$ (پ

${{16}^{-\frac{1}{4}}}$ (ت

اگر $r$ و $s$ دو عدد گویا باشند، و $a$ و $b$ اعدادی مثبت باشند، داریم:

$1){{a}^{r}}\times {{a}^{s}}={{a}^{r+s}}$

$2){{({{a}^{r}})}^{s}}={{a}^{rs}}$

$3){{(ab)}^{r}}={{a}^{r}}\times {{b}^{r}}$

1- تساوی‌های زیر را مانند نمونه به صورت رادیکالی بنویسید.

${{3}^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{{{3}^{2}}}$

${{3}^{\frac{5}{4}}}=\sqrt[4]{{{3}^{5}}}=\sqrt[4]{{{3}^{4}}\times 3}=\sqrt[4]{{{3}^{4}}}\times \sqrt[4]{3}=3\sqrt[4]{3}$

${{4}^{\frac{1}{5}}}=\sqrt[5]{4}$

${{2}^{\frac{2}{3}}}\times {{2}^{\frac{3}{2}}}=\sqrt[3]{{{2}^{2}}}\times \sqrt[2]{{{2}^{3}}}=\sqrt[3]{{{2}^{2}}}\times 2\sqrt{2}=2\sqrt{2}\times \sqrt[3]{4}$

${{(4\times 2)}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{4\times 2}=\sqrt[3]{{{2}^{3}}}=2$

${{5}^{-\frac{4}{3}}}=$

${{({{16}^{\frac{1}{3}}})}^{\frac{3}{4}}}=\sqrt[4]{{{({{16}^{\frac{1}{3}}})}^{3}}}=\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{{{2}^{4}}}=2$

${{6}^{\frac{3}{8}}}=\sqrt[8]{{{6}^{3}}}$

2- رادیکال‌ها را در صورت امکان به شکل توان کسری بنویسید.

$\sqrt[7]{{{3}^{2}}}={{3}^{\frac{2}{7}}}$

$\sqrt{{{2}^{5}}}={{2}^{\frac{5}{2}}}$

$\sqrt[3]{{{7}^{2}}}={{3}^{\frac{2}{3}}}$

$\sqrt[5]{19}={{19}^{\frac{1}{5}}}$

$\sqrt[5]{64}={{64}^{\frac{1}{5}}}$

$\sqrt[5]{{{2}^{5}}}={{2}^{\frac{5}{5}}}$

3- با استفاده از نمای کسری نشان دهید که $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[nm]{a}$ است. تساوی را کامل کنید $(a>0)$.

$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m]{{{a}^{\frac{1}{n}}}}={{({{a}^{\frac{1}{n}}})}^{\frac{1}{m}}}={{a}^{^{\frac{1}{mn}}}}=\sqrt[mn]{a}$

1- هر یک از توان‌های کسری زیر را به صورت رادیکال نوشته و در صورت امکان حاصل آنها را به دست آورید.

${{16}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[2]{16}=4$

${{5}^{\frac{1}{2}}}=\sqrt[2]{5}$

${{4}^{\frac{3}{7}}}=\sqrt[7]{{{4}^{3}}}$

${{3}^{\frac{1}{3}}}\times {{3}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{3}\times \sqrt[3]{{{3}^{2}}}=\sqrt[3]{{{3}^{3}}}=3$

${{({{4}^{\frac{1}{2}}})}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{{{({{4}^{\frac{1}{2}}})}^{2}}=}\sqrt[3]{4}$

${{4}^{\frac{2}{3}}}=\sqrt[3]{{{4}^{2}}}=\sqrt[3]{16}=2\sqrt[3]{2}$

${{32}^{-\frac{1}{5}}}=\frac{1}{\sqrt[5]{32}}=\frac{1}{2}$

${{32}^{\frac{2}{5}}}=\sqrt[5]{{{32}^{2}}}=\sqrt[5]{{{({{2}^{5}})}^{2}}}=\sqrt[5]{{{({{2}^{2}})}^{2}}}={{2}^{2}}=4$

${{125}^{-\frac{2}{3}}}$

2- می‌دانیم

$\sqrt[12]{{{a}^{4}}}={{({{a}^{4}})}^{\frac{1}{12}}}={{a}^{\frac{4}{12}}}={{a}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{a}$      $\sqrt[6]{{{a}^{2}}}={{a}^{\frac{2}{6}}}={{a}^{\frac{1}{3}}}=\sqrt[3]{a}$

آیا تساوی $\sqrt[kn]{{{a}^{km}}}=\sqrt[n]{{{a}^{m}}}$ همواره برقرار است $(a>0)$؟ $m$، $n$ و $k$  طبیعی‌اند نتیجه بگیرید که هر سه عدد $\sqrt{2}$، $\sqrt[4]{{{2}^{2}}}$ و $\sqrt[6]{{{2}^{3}}}$  برابرند.
با توجه به اینکه $a>0$ است، بله درست است، زیرا: ${{a}^{\frac{km}{kn}}}={{a}^{\frac{m}{n}}}$

${{2}^{\frac{3}{6}}}={{2}^{\frac{2}{4}}}={{2}^{\frac{1}{2}}}\Rightarrow \sqrt[6]{{{2}^{3}}}=\sqrt[4]{{{2}^{2}}}=\sqrt{2}(\frac{3}{6}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2})$

3- فرض کنیم $a=64$ ،$r=\frac{1}{2}$ و $s=\frac{1}{3}$  مقدارهای عددی $\frac{{{a}^{r}}}{{{a}^{s}}}$ و ${{a}^{r-s}}$ را محاسبه و با هم مقایسه کنید.

$r=\frac{1}{2}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}s=\frac{1}{3}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}a=64\Rightarrow \frac{{{64}^{\frac{1}{2}}}}{{{64}^{\frac{1}{3}}}}=\frac{8}{4}=2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{64}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}}={{64}^{\frac{1}{6}}}=2$

اکنون خودتان، مانند نمونه سه مقدار دیگر برای $a$، $r$ و $s$  انتخاب کنید و بار دیگر مقدارهای $\frac{{{a}^{r}}}{{{a}^{s}}}$ و ${{a}^{r-s}}$ را محاسبه و با هم مقایسه کنید. می‌توانید از ماشین حساب کمک بگیرید.چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

$r=\frac{1}{2}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}s=\frac{1}{6}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}a=64\Rightarrow \frac{{{64}^{\frac{1}{2}}}}{{{64}^{\frac{1}{2}}}}=\frac{8}{2}=4\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{64}^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}}}={{64}^{\frac{2}{6}}}={{64}^{\frac{1}{3}}}=4$

$r=\frac{1}{3}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}s=\frac{1}{4}\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}a=4096\Rightarrow \frac{{{4096}^{\frac{1}{3}}}}{{{4096}^{\frac{1}{4}}}}=\frac{16}{8}=2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{4096}^{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}}={{4096}^{\frac{1}{12}}}=2$

4- حساب کنید.

$\sqrt[3]{\sqrt{5}}=\sqrt[6]{5}$

$\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt{4}=2$

$\sqrt{\sqrt{81}}=\sqrt{\sqrt{{{3}^{4}}}}=\sqrt{{{3}^{2}}}=3$