درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- سال‌های برگزاری مسابقات المپیک از آغاز هزارهٔ سوم میلادی به بعد به صورت زیر است که جملات یک دنبالهٔ حسابی‌اند.

$2000,2004,2008,2012,2016,2020,......$

الف) جملهٔ اول و قدر نسبت این دنباله را مشخص کنید.

${{t}_{1}}=\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=$

${{t}_{1}}=2000\begin{array}{*{35}{l}}
   {}  \\
\end{array},\begin{array}{*{35}{l}}
   {}  \\
\end{array}d=4$

ب) نهمین دورهٔ المپیک در این هزاره در چه سالی برگزار خواهد شد؟
در سال 2032 برگزار خواهد شد.
پ) با تکمیل جدول زیر، جملهٔ عمومی این دنباله را به دست آورید.

$2000+8\times 4=2000+32=2032$

ت) بیست وچهارمین دورهٔ المپیک در هزارهٔ سوم میلادی درچه سالی برگزار خواهد شد؟

${{t}_{24}}=2000+23\times 4=2092$

2- با تکمیل جدول زیر، سعی کنید ساختار کلی جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی را به دست آورید.

مجموع جمله اول با مضربی از یک عدد ثابت جمله‌های این دنباله را تشکیل می‌دهند.

1- در دنباله‌های حسابی زیر با مشخص کردن قدر نسبت، سه جملهٔ بعدی را بنویسید و سپس جملهٔ عمومی هر کدام را به دست آورید.

$5,10,15,20,...,...,....,...,d=\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},{{a}_{n}}=$  (الف
$5,10,15,20,25,30,35,...,d=5\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{a}_{n}}=5+(n-1)5$

$1,3,5,7,...,...,...,...\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},{{b}_{n}}=$  (ب
$1,3,5,7,9,11,13,...,d=2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{b}_{n}}=1+(n-1)\times 2=2n-1$

$5,9,13,17,...,...,...,...\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},{{c}_{n}}=$  (پ
$5,9,13,17,21,25,29,...\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=4\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}{{c}_{n}}=5+(n-1)\times 4=4n+1$

$13,7,1,-5,...,...,...,...\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=...\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},{{d}_{n}}=$  (ت
$13,7,1,-5,-11,-17,-23,...\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix},d=-6\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix},{{d}_{n}}=13+(n-1)\times (-6)=-6n+19$

2- $A$ و $B$ دو شرکت عرضه کنندهٔ سیم کارت‌های تلفن همراه با شرایط زیرند.

سیم کارت‌های شرکت $A$
هزینهٔ ثابت ماهانه: 2000 تومان
هزینهٔ هر دقیقه مکالمه: 30 تومان

سیم کارت‌های شرکت $B$
هزینهٔ ثابت ماهانه: 3000 تومان
هزینهٔ هر دقیقه مکالمه: 20 تومان

فرض کنیم ${{a}_{n}}$ نشان دهندهٔ هزینهٔ کل $n$ دقیقه مکالمه ماهانه از طریق سیم کارت شرکت $A$ و ${{b}_{n}}$ هزینهٔ مشابه برای استفاده از سیم کارت شرکت $B$ باشد.
الف) مقدار ${{a}_{n}}$ و ${{b}_{n}}$ را بر حسب $B$ بنویسید.

$\begin{align}
  & {{a}_{n}}=2000+30n\to 2030,2060,2090,... \\ 
 & {{b}_{n}}=3000+20n\to 3020,3040,3060,... \\ 
\end{align}$

ب) جدول زیر را کامل کنید.

160	120	80	40	0	$n$ : زمان مکالمهٔ ماهانه (دقیقه)
6800	5600	4400	3200	2000	${{a}_{n}}$ : هزینه سیم کارت $A$
6200	5400	4600	3800	3000	${{b}_{n}}$ : هزینه سیم کارت $B$

پ) آیا ${{a}_{n}}$ و ${{b}_{n}}$ هر کدام می‌توانند جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ حسابی باشند؟ چرا؟
بله - زیرا از جملهٔ اول به بعد، هر جمله با اضافه شدن عددی ثابت به جمله قبل از خوش به دست می‌آید. (به عبارت دیگر تفاضل هر دو جملهٔ متوالی برابر عددی ثابت است.)
اگر جواب مثبت است، قدر نسبت هر یک را مشخص کنید.
ت) سارا در هر ماه حدود یک ساعت و فاطمه ماهانه تقریباً 150 دقیقه با تلفن همراه مکالمه می‌کنند. به هر یک از آنها کدام سیم کارت را پیشنهاد می‌کنید؟ چرا؟
سارا بهتر است از سیم کارت $B$ استفاده کند.

$={{a}_{60}}=2000+30(60)=3800$ هزینه سیم کارت  $A$ در صورت یک ساعت مکالمه

$={{b}_{60}}=3000+20(60)=4200$ هزینه سیم کارت  $B$ در صورت یک ساعت مکالمه

فاطمه بهتر است از سیم کارت $B$ استفاده کند.

$={{a}_{150}}=2000+30(150)=6500$  هزینه سیم کارت  $A$ در صورت یک ساعت مکالمه
$={{b}_{150}}=3000+20(150)=6000$ هزینه سیم کارت  $B$ در صورت یک ساعت مکالمه

1 الف) یک دنبالهٔ حسابی با قدر نسبت مثبت مثال بزنید که جملهٔ چهارم آن 10 باشد.

$4,6,8,10,12,14,...$

ب) یک دنبالهٔ حسابی با قدرنسبت منفی مثال بزنید که جملهٔ چهارم آن 10 باشد.

$13,12,11,10,9,...$

پ) دنباله‌ای حسابی مثال بزنید که تنها سه جملهٔ مثبت داشته باشد و سایر جملات آن منفی باشند.

$5,3,1,-1,-3,...$

2- الف) بین 18 و 62 سه عدد را چنان قرار دهید که پنج عدد حاصل تشکیل دنبالهٔ حسابی بدهند. در این حالت می‌گوییم بین 18 و 62 سه واسطهٔ حسابی درج کرده‌ایم.

حل: با فرض اینکه 18 جمله اول باشد، قدر نسبت را به دست آورید و جدول را کامل کنید.

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=18  \\
   {}  \\
   {{t}_{5}}=62  \\
\end{matrix}\Rightarrow  \right.\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=18  \\
   {}  \\
   a+4d=62  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {{t}_{1}}=18  \\
   \Rightarrow   \\
   {}  \\
\end{matrix}18+4d=62\Rightarrow 4d=44\Rightarrow d=\frac{44}{4}=11 \right. $

ب) بین 20 و 80 به تعداد مشخص شده در هر مورد واسطهٔ حسابی درج کنید.

$\begin{align}
  & 20,50,80\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=20\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{3}}={{t}_{1}}+2d=80\Rightarrow d=30  \\
\end{matrix} \right. \\ 
 & 20,35,50,65,80:{{t}_{1}}=20,{{t}_{5}}=80\Rightarrow d=15 \\ 
 & 20,32,44,56,68,80:{{t}_{1}}=20,{{t}_{6}}=80\Rightarrow d=12 \\ 
 & 20,30,40,50,60,70,80:{{t}_{1}}=20,{{t}_{7}}=80\Rightarrow d=10 \\ 
\end{align}$

نکته: اگر $a,b,c$ سه جمله متوالی یک دنباله حسابی باشد $b$ را واسطهٔ حسابی بین دو عدد $c$ و $a$ گوییم و می‌نویسیم: $b=\frac{a+b}{2}$ یا $2b=a+c$
در قسمت (ب) عدد ۵۰ واسطهٔ حسابی بین دو عدد ۸۰ و ۲۰ می‌باشد زیرا: $\frac{20+80}{2}=\frac{100}{2}=50$

1- از بین دنباله‌های زیر، دنباله‌های حسابی را مشخص کنید و در هر یک از آنها با تعیین قدرنسبت، جملهٔ بیست و یکم را بیابید.

$3,10,17,24,...$ (الف
  $\to d=7=10-3=17-10$ $3,10,17,24,...$
 دنبالهٔ حسابی می‌باشد  ${{t}_{21}}=3+(21-1)\times 7=3+20\times 7=143$

دنبالهٔ حسابی نمی‌باشد زیرا تفاضل هر دو جمله متوالی ثابت نمی‌باشد  $1,2,4,8,...$ (ب

$\sqrt{3},2\sqrt{3},2\sqrt{3},4\sqrt{3}$ (پ
  دنبالهٔ حسابی است $\to d=\sqrt{3},{{t}_{21}}=\sqrt{3}+(21-1)(\sqrt{3})=21\sqrt{3}$  $\sqrt{3},2\sqrt{3},3\sqrt{3},4\sqrt{3}$

$10,7,4,1,...$ (ت
 دنبالهٔ حسابی می‌باشد  $d=7-10=-3,{{t}_{21}}=3+20\times (-3)=-57$

$\frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5},1,...$ (ث
دنبالهٔ حسابی می‌باشد  $d=\frac{3}{5}-\frac{2}{5}=\frac{1}{5},d=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5},...$
${{t}_{21}}=\frac{2}{5}+20\times \frac{1}{5}=\frac{22}{5}$

$2,2,2,2,...$ (ج
$d=0$  $2,2,2,2,...$
دنبالهٔ حسابی می‌باشد ${{t}_{21}}=2$

2- در یک دنبالهٔ حسابی، جملات سوم و هفتم به ترتیب 20 و 56 است. دنباله را مشخص کنید؛ یعنی با به دست آوردن جملهٔ اول و قدر نسبت، جملات دنباله را بنویسید.

جملهٔ اول  ${{t}_{1}}+2d=20\begin{matrix}
   d=9  \\
   \Rightarrow   \\
\end{matrix}{{t}_{1}}+18=20\Rightarrow {{t}_{1}}=20-18=2$

$:2,11,20,\ldots $ دنباله

3- در یک دنبالهٔ حسابی، مجموع سه جملهٔ اول 3 و مجموع سه جملهٔ بعدی آن 39 است. دنباله را مشخص کنید.

(۱)            ${{t}_{1}}+{{t}_{2}}+{{t}_{3}}=3\Rightarrow {{t}_{1}}+({{t}_{1}}+d)+({{t}_{1}}+2d)=3\Rightarrow 3{{t}_{1}}+3d=3\begin{matrix}
   \div 3  \\
   \Rightarrow   \\
   {}  \\
\end{matrix}{{t}_{1}}+d=1$

${{t}_{4}}+{{t}_{5}}+{{t}_{6}}=39\Rightarrow ({{t}_{1}}+3d)+({{t}_{1}}+4d)+({{t}_{1}}+5d)=39$

(۲)              $3{{t}_{1}}+12d=39\begin{matrix}
    \div 3  \\
   \Rightarrow   \\
   {}  \\
\end{matrix}{{t}_{1}}+4d=13$

$\begin{matrix}
   \Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   \text{ }\!\!~\!\!\text{   }\!\!~\!\!\text{ }{{t}_{1}}+d=1\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   \text{ }\!\!~\!\!\text{   }\!\!~\!\!\text{ }{{t}_{1}}+4d=13\text{ }\!\!~\!\!\text{ }  \\
   {}  \\
\end{matrix} \right.\xrightarrow[{{t}_{1}}=a]{\times (-1)}\Rightarrow \underline{\left\{ \begin{matrix}
   -a-d=-1  \\
   a+4d=13  \\
\end{matrix} \right.}  \\
   \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & 3d=12\Rightarrow d=4  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix}$ (2) و (1)

$:-3,1,5,...$ دنباله

4- الف) دو جملهٔ بعدی الگوی مقابل را با رسم شکل بیابید و نوع دنباله را مشخص کنید.

ب) جملهٔ عمومی آن را مشخص کنید.

$1,5,9,13,17,...$
$\left. \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=1  \\
   d=4  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow {{t}_{n}}=1+(n-1)\times 4\Rightarrow {{t}_{n}}=4n-3$

پ) جملهٔ چندم این دنباله 397 است؟

جملهٔ صدم برابر ۳۹۷ می‌باشد. $\begin{align}
  & {{t}_{n}}=397\Rightarrow {{t}_{1}}+(n-1)d=397\Rightarrow 1+(n-1)\times 4=397 \\ 
 & \Rightarrow 4(n-1)=396\Rightarrow n-1=99\Rightarrow n=100 \\ 
\end{align}$

5- الف) واسطهٔ حسابی بین 5 و 11 چه عددی است؟

ب) واسطهٔ حسابی بین 20 و 30 چه عددی است؟

پ) از دو قسمت قبل چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟
واسطه حسابی دو عدد $c$ و $a$ همان میانگین آنها یعنی $\frac{a+c}{2}$ است. در (الف) $\frac{5+11}{2}=8$ و در (ب) $\frac{20+30}{2}=25$ واسطه حسابی خواهند بود.
6- مسئلهٔ زیر در پاپیروس رایند آمده است. آن را حل کنید.
«100 قرص نان را بین 5 مرد چنان تقسیم کنید که سهم‌های دریافت شده، دنبالهٔ حسابی تشکیل دهند و یک سومِ مجموع سه سهم بزرگ‌تر، مساوی مجموع دو سهم کوچک‌تر باشد».
سهم نفرات اول تا پنجم را به ترتیب $a+4d,...,a+d$ می‌گیریم. پس

سهم افراد از اول تا پنجم از تعداد نان‌ها به صورت مقابل خواهد بود: $10,15,20,25,30$

1- جدول مقابل را کامل کنید و ${{t}_{n}}$ را بیابید.

${{t}_{n}}$ : تعداد افراد جدیدی که در روز $n$ام مبتلا می‌شوند.	$n$ :روز
(امید و محسن) ۲	1
$2\times 2={{2}^{2}}$	2
$4\times 2={{2}^{3}}$	3
$8\times 2={{2}^{4}}$	4
$16\times 2={{2}^{5}}$	5
$32\times 2={{2}^{6}}$	6
...	. . .
${{t}_{n}}={{2}^{n}}$	$n$

2- در روز دهم چند فرد جدید مبتلا می‌شوند؟

${{t}_{10}}={{2}^{10}}=2024$

3- در روز یازدهم چند شخص جدید به این بیماری مبتلا می‌شوند؟

${{t}_{11}}={{2}^{11}}=2048$

4- در روز چندم تعداد افراد جدیدی که به بیماری آنفولانزا مبتلا می‌شوند، برابر 16384 نفر می‌شود.

${{t}_{n}}=16384\Rightarrow {{2}^{n}}=16384\Rightarrow {{2}^{n}}={{2}^{14}}\Rightarrow n=14$

در حالت کلی در یک دنبالهٔ هندسی، اگر جملهٔ اول ${{t}_{۱}}$ و قدر نسبت $r$ باشد، جملات آن به شکل زیر خواهند بود. جدول را تکمیل کنید.

هر جمله از ضرب عدد ثابت $r$ در جملهٔ قبل از خودش به دست می‌آید. توان $r$ یکی کمتر از شماره جمله است پس ${{t}_{n}}=a{{r}^{n-1}}$

1- نرگس و نگار برای محاسبهٔ هفتمین جملهٔ دنبالهٔ هندسی $9,3,1,......$ روش‌های مقابل را به کار برده‌اند.

نرگس $\begin{align}   & r=\frac{9}{3}=3 \\   & {{t}_{7}}=9{{(3)}^{7-1}}=6561 \\  \end{align}$

نگار $\begin{align}   & r=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} \\   & {{t}_{7}}=9{{(\frac{1}{3})}^{7-1}}=\frac{1}{81} \\  \end{align}$

کدام یک از آنها این مثال را درست حل کرده‌اند؟ توضیح دهید.
روش نگار درست است چون قدر نسبت دنباله هندسی، از تقسیم هر جمله بر جمله قبلی به دست می‌آید به عبارت دیگر $r=\frac{{{t}_{2}}}{{{t}_{1}}}=\frac{3}{9}$
2- در دنباله‌های هندسی زیر، قدر نسبت را مشخص کنید و دو جملهٔ بعدی را بنویسید. سپس جملهٔ عمومی هر دنباله را به دست آورید.

$5,10,20,40,...,...,...,{{b}_{n}}=$ (ب
$\begin{align}
  & 5,10,20,40,80,160,...,{{b}_{n}}=5\times {{2}^{n-1}} \\ 
 & r=\frac{10}{5}=-10,a=5 \\ 
\end{align}$

$6,-60,600,-6000,......,.......,...,{{c}_{n}}=$ (پ
$\begin{align}
  & 6,-60,600,-6000,60000,-600000,...,{{c}_{n}}=6\times {{(-10)}^{n-1}} \\ 
 & r=\frac{-60}{6}=-10,a=6 \\ 
\end{align}$

$4,2,1,\frac{1}{2},...,...,...,{{d}_{n}}=\frac{{}}{{}}$ (ت
$\begin{align}
  & 4,2,1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{84},...,{{d}_{n}}=4\times {{(\frac{1}{2})}^{n-1}} \\ 
 & r=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},a=4 \\ 
\end{align}$

3- الف) اگر بین 3 و 48، عدد 12 را قرار دهیم، سه عدد حاصل تشکیل دنبالهٔ هندسی می‌دهند. در این حالت می‌گوییم 12 یک واسطهٔ هندسی بین 3 و 48 است. برای این کار به جز 12 چه عدد دیگری را می‌توان در نظر گرفت؟

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=3\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{3}}=48\Rightarrow {{t}_{1}}{{r}^{2}}=48\Rightarrow \begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}...\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\Rightarrow r=\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}...  \\
\end{matrix} \right.$ 

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=3  \\
   {{t}_{3}}=48  \\
\end{matrix} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{matrix}
   a=3\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   a{{r}^{2}}=48\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{48}{3}=16\Rightarrow r=\pm 4  \\
\end{matrix} \right.$

عدد 12- را نیز می‌توان در نظر گرفت.
ب) بین 3 و 48 سه واسطهٔ هندسی درج کنید. آیا جواب یکتاست؟

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=3\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{5}}=48\Rightarrow a{{r}^{4}}=48\Rightarrow {{r}^{4}}=\frac{48}{3}=16\Rightarrow r=\pm 2  \\
\end{matrix} \right.$

خیر - زیرا به جای $r$، $-2$ نیز می‌توان قرار داد که دنباله دیگری به دست می‌آید.

 پ) جاهای خالی را طوری پر کنید که در هر مورد یک دنبالهٔ هندسی حاصل شود.

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=10\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{3}}=4000\Rightarrow a{{r}^{2}}=4000\Rightarrow {{r}^{2}}=\frac{4000}{10}=400\Rightarrow r=\pm 20  \\
\end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=10\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{4}}=80000\Rightarrow a{{r}^{3}}=80000\Rightarrow {{r}^{3}}=\frac{80000}{1}=8000\Rightarrow r=20  \\
\end{matrix} \right.$

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=4\begin{matrix}
   \begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   {{t}_{6}}=972\Rightarrow a{{r}^{5}}=972\Rightarrow {{r}^{5}}=\frac{972}{4}=243\Rightarrow r=3\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right.$

1- از بین موارد زیر، دنباله‌های هندسی را مشخص کنید و قدر نسبت آنها را بنویسید.

$7,28,112,448,...$ (الف
دنباله هندسی می‌باشد چون:     $7,28,112,448,...:r=\frac{28}{7}=\frac{112}{28}=\frac{448}{112}=...=4$

$2\sqrt{5},4\sqrt{5},6\sqrt{5},8\sqrt{5},...$ (ب
$r\sqrt{5},4\sqrt{5},6\sqrt{5},8\sqrt{5},...$

دنباله هندسی نیست چون نسبت هر جمله به جمله قبلی عدد ثابتی نیست مثلا $\frac{4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=2$ ولی $\frac{6\sqrt{5}}{4\sqrt{5}}=\frac{3}{2}$

$1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},...$ (پ
دنباله هندسی می‌باشد.                    $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{4},-\frac{1}{8},...:r=\frac{-\frac{1}{2}}{1}=\frac{\frac{1}{4}}{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$

$5,5,5,5,...$ (ت
دنباله هندسی می‌باشد.            $5,5,5,5,...:r=\frac{5}{5}=1$

2- چند دنبالهٔ هندسی با قدر نسبت $\frac{4}{5}$ می‌توان ساخت؟ دو مورد را بنویسید.
بی شمار دنباله هندسی با قدر نسبت $\frac{4}{5}$ می‌توان ساخت. مثلاً

${{x}_{n}}:1,\frac{4}{5},\frac{16}{25},...$ 

${{b}_{n}}:10,8,\frac{32}{5},...$ 

3- درستی یا نادرستی جملات زیر را بررسی کنید. در صورت درست بودن توضیح دهید و در صورت نادرست بودن مثال نقض ارائه کنید.
الف) هر دنباله، یا حسابی است یا هندسی. نادرست
مثلاً دنباله $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},...$ حسابی نیست چون اختلاف هر جمله از جمله قبلی ثابت نیست. دنباله هندسی هم نیست چون تقسیم هر جمله به جمله قبلی نیز عدد ثابتی نیست.
ب) دنباله‌ای وجود ندارد که هم حسابی باشد و هم هندسی. نادرست $5,5,5,...$
این دنباله دنباله حسابی با قدر نسبت صفر بوده دنباله‌ای هندسی با قدر نسبت یک است.
4- علی دوچرخه‌ای را به قیمت 500 هزار تومان خرید. فرض کنید قیمت دوچرخهٔ دست دوم، در هر سال 20 درصد نسبت به سال قبل از خودش کاهش یابد.
الف) اگر او بعد از 3 سال قصد فروش دوچرخه‌اش را داشته باشد، به چه قیمتی می‌تواند آن را بفروشد؟

قیمت دوچرخه بعد از یک سال $500000\times \frac{20}{100}=100000\Rightarrow 500000-100000=400000$
قیمت دوچرخه بعد از دو سال  $400000\times \frac{20}{100}=80000\Rightarrow 400000-80000=320000$

لذا دنباله به این صورت می‌باشد: $400000,320000,...$

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=40000\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   r=\frac{320000}{400000}=\frac{4}{5}\begin{matrix}
   \Rightarrow {{t}_{3}}=a{{r}^{2}}=400000\times {{(\frac{4}{5})}^{2}}=256000  \\
   {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right.$

ب) قیمت دوچرخه بعد از گذشت $n$ سال از چه رابطه‌ای به دست می‌آید؟
قیمت دو چرخه پس از گذشت ۸ سال ${{t}_{n}}=a{{r}^{n-1}}=400000\times {{(\frac{4}{5})}^{n-1}}$
5- حاصل ضرب بیست جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی مقابل را محاسبه کنید. $2,4,8,.....$
در درس قبلی نشان دادیم که $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

${{t}_{n}}=a\times {{r}^{n-1}}=2\times {{2}^{n-1}}={{2}^{n}}\Rightarrow ({{t}_{1}})({{t}_{2}})...({{t}_{30}})=2\times {{2}^{2}}\times {{2}^{3}}\times ...\times {{2}^{20}}={{2}^{1+2+...+30}}={{2}^{\frac{20\times 21}{2}}}={{2}^{210}}$

روش دوم:
حاصلضرب $n$ جمله اول یک دنبالهٔ هندسی با جملهٔ اول ${{t}_{1}}$ و جمله $n$ام ${{t}_{n}}$ و قدر نسبت $r$ را به صورت $Pn={{t}_{1}}{{t}_{2}}...{{t}_{n}}$ نمایش می‌دهیم و آن را از روابط زیر به دست می‌آوریم:

      یا     ${{P}_{n}}={{({{t}_{1}}{{t}_{n}})}^{\frac{n}{2}}}$

در دنبالهٔ داده شده ابتدا جملهٔ آخر یعنی جملهٔ سی‌ام را به دست می‌آوریم. $2,4,8,...$

$\left\{ \begin{matrix}
   {{t}_{1}}=2\begin{matrix}
   {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}\begin{matrix}
   {} & {} & {} & {}  \\
\end{matrix}  \\
   r=\frac{4}{2}=2\begin{matrix}
   \Rightarrow {{t}_{30}}=a.{{r}^{29}}=2\times {{2}^{19}}={{2}^{20}}  \\
   {}  \\
\end{matrix}  \\
\end{matrix} \right.$

لذا:                                                                                                         ${{P}_{30}}={{(2\times {{2}^{20}})}^{\frac{20}{2}}}={{({{2}^{21}})}^{10}}={{2}^{210}}$

6- جملات سوم و ششم یک دنبالهٔ هندسی به ترتیب 12 و 96 می‌باشند. دنباله را مشخص کنید.

7- بنابر آمار منتشر شده از جانب پزشکی قانونی کشور، آمار تلفات جاده‌ای از عدد 27759 نفر در سال 1384 به عدد 16584 نفر در سال 1394 کاهش یافته است که نشان دهندهٔ حدود 5 درصد کاهش سالانه در این دهه است. اگر آمار حوادث رانندگی در کشور با همین سرعت کاهش یابد،
الف) پیش بینی می‌شود در هر یک از سال‌های منتهی به سال 1400 چند نفر از هم وطن‌های ما جان خود را در حوادث رانندگی از دست بدهند؟ نتایج را در جدول زیر ثبت کنید.

نفر در سال ۱۳۹۵ کاهش تلفات داریم     $=16584\Rightarrow 16584\times \frac{5}{100}\simeq 829$ تلفات سال ۱۳۹۴

     نفر در سال ۱۳۹۶ کاهش تلفات داریم $=16584-829=15755\Rightarrow 15755\times \frac{5}{100}\simeq 788$ تلفات سال ۱۳۹۵

$=15755-788=14967$ تلفات سال ۱۳۹۶

دنباله به صورت مقابل است: $16584,15755,14967,....$
این دنباله، دنباله هندسی با قدر نسبت تقریباً $1-\frac{5}{100}=\frac{95}{100}$ است. پس:

ب) اعداد حاصل، چه نوع دنباله‌ای تشکیل می‌دهند؟
آمار مربوط به سال 1394 را به عنوان جمله اول در نظر بگیرید. بنابراین دنباله هندسی با جمله‌ی عمومی ${{a}_{n}}=16584{{(\frac{95}{100})}^{n-1}}$ حاصل می‌شود.