درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی

1- آیدا برای به دست آوردن حاصل ${{a}_{n}}$ در مثال بالا، شکل‌های الگو را به صورت روبه رو در نظر گرفت. به کمک این روش، مقدار ${{a}_{10}}$ و ${{a}_{n}}$ را به دست آورید.

${{a}_{4}}=4(3)+2$    ${{a}_{3}}=3(3)+2$      ${{a}_{2}}=2(3)+2$      ${{a}_{1}}=1(3)+2$

${{a}_{n}}=n(3)+(2)=3n+2$    $\to $        ${{a}_{10}}=10(3)+(2)=32$

2- آیسا روش دیگری را به کار برد. او تعداد چوب کبریت‌های افقی و عمودی در هر شکل را به طور جداگانه مورد توجه قرار داد تا بتواند به مقدار ${{a}_{n}}$ دست یابد. مقدار حاصل برای ${{a}_{n}}$ از این روش را درجای مشخص شده بنویسید.

${{a}_{1}}=1+2(2)$

     ${{a}_{2}}=2+3(2)$
(2)2+3
2= چوب‌های افقی
(2)= چوب‌های عمودی

${{a}_{4}}=4+5(2)$   ${{a}_{3}}=3+4(2)$

    ${{a}_{n}}=n+(n+1)(2)$   $...$   ${{a}_{10}}=10+(10+1)2$

3- آیا شما راه دیگری را برای به دست آوردن حاصل ${{a}_{n}}$ می‌دانید؟

4- همان طور که در قسمت‌های (1) و (2) دیدیم، آیدا و آیسا مقدار ${{a}_{n}}$ را به ترتیب به صورت‌های ${{a}_{n}}=3n+2$ و ${{a}_{n}}=n+(n+1)(2)$ به دست آوردند. جواب آیسا را ساده کنید تا به شکل جواب آیدا در آید.

${{a}_{n}}=n+(n+1)(2)=n+2n+2=3n+2$

5- به کمک رابطهٔ ${{a}_{n}}=3n+2$ تعداد چوب کبریت‌های شکل بیستم را بیابید.

${{a}_{20}}=3\times 20+2=62$

6- با استفاده از رابطهٔ ${{a}_{n}}=3n+2$ مشخص کنید که چندمین شکل در الگوی بالا دارای 77 قطعه چوب کبریت است.

${{a}_{n}}=3n+2\Rightarrow 77=3n+2\Rightarrow 3n=75\Rightarrow n=\frac{75}{3}=25$

1- شکل بعدی را در الگوی زیر رسم و جدول را کامل کنید.

2- توضیح دهید که چرا این الگو یک الگوی خطی محسوب می‌شود.
چون جمله عمومی الگو نسبت به $n$ درجه اول بوده و داریم: ${{b}_{n}}=4n$
3- با توجه به میزان افزایش جملات الگو، مقدار $a$ در رابطه ${{b}_{n}}=an+h$ را بیابید و پس از حدس زدن مقدرار $h$، حاصل ${{b}_{n}}$ را به دست آورید.

${{b}_{n}}=4n+0$
(4  و 0 میزان افزایش جملات الگو)

4- شکل شمارهٔ 250 دارای چند مربع رنگی است؟
شکل شماره 250 دارای $4\times 250=1000$ مربع رنگی می‌باشد.
5- در چه مرحله‌ای از الگوی بالا، تعداد مربع‌های رنگی برابر 144 است؟
یعنی باید قرار دهیم ${{b}_{n}}=144$ و $n$ را بیابیم:

${{b}_{n}}=4n\Rightarrow 144=4n\Rightarrow n=\frac{144}{4}=36$

در مرحله ۳۶ام

1- در الگوی زیر، شکل بعدی را رسم کنید و جدول را کامل نمایید.

2- آیا این الگو یک الگوی خطی است؟ چرا؟
خیر - زیرا اختلاف هر دو جمله متوالی عدد ثابتی نیست مثلاً ${{t}_{2}}-{{t}_{1}}=7$ و ${{t}_{3}}-{{t}_{2}}=9$ و $...$ .
3- امیررضا برای یافتن جملهٔ عمومی این الگو، مجموعه نقاط هر شکل را به صورت زیر دسته بندی کرد. از شکل‌های امیررضا کمک بگیرید و مقدار ${{t}_{n}}$ را بیابید.

${{t}_{n}}={{n}^{2}}+4n$    ${{t}_{4}}={{(4)}^{2}}+4(4)$    ${{t}_{3}}={{(3)}^{2}}+4(3)$    ${{t}_{2}}={{(2)}^{2}}+4(2)$    ${{t}_{1}}={{(1)}^{2}}+4(1)$

4- امیرمحمد نگاه دیگری به مسئله داشت. او برای هر شکل این الگو، شکل دیگری را به صورت زیر نظیر کرد. با استفاده از این شکل‌ها مقدار ${{t}_{n}}$ را بنویسید.

${{t}_{n}}={{(n+2)}^{2}}-4$    ${{t}_{4}}={{(4+2)}^{2}}-4$    ${{t}_{3}}={{(3+2)}^{2}}-4$    ${{t}_{2}}={{4}^{2}}-4$    ${{t}_{1}}={{3}^{2}}-4$

5- نشان دهید که دو مقدار به دست آمده برای ${{t}_{n}}$ در دو قسمت قبلی، برابرند.

${{(n+2)}^{2}}-4={{n}^{2}}+4n+4-4={{n}^{2}}+4n$

6- آیا شما روش دیگری برای یافتن ${{t}_{n}}$ می‌‌شناسید؟ پاسخ خود را با جواب دوستانتان مقایسه کنید.

$...\to {{t}_{n}}=n(n+4)$

1- دو دنبالهٔ دلخواه مثال بزنید.

${{a}_{n}}=-\frac{n}{2}+3 , {{b}_{n}}=-\frac{{{n}^{2}}+1}{n+3}$

2- جملهٔ عمومی چند دنباله داده شده است.در هر مورد، جاهای خالی را پر کنید.

$0,3,...,15,24$             $:$              ${{a}_{n}}={{n}^{2}}-1$  (الف
$0,3,8,15,24$

$3,2,1,0,...,-2$               $:$                ${{b}_{n}}=-n+4$ (ب
$3,2,1,0,-1,-2$

$-11,...,-7,...,-3$        $:$               ${{c}_{n}}=-13+2n$ (ج
$-11,-9,-7,-5,-3$

3- در هر سطر از جدول زیر یک دنباله آمده است. در هر مورد سه جملهٔ بعدی را بنویسید. همچنین در پنج مورد اول سعی کنید یک جملهٔ عمومی برای دنباله نیز حدس بزنید.

4- الگوی مقابل را در نظر بگیرید.

الف) تعداد مربع‌ها در الگو را به صورت یک دنباله تا جملهٔ ششم آن بنویسید.

$1,3,6,10,15,21$

ب) آیا دنباله حاصل یک دنبالهٔ خطی است؟ چرا؟
خیر - اختلاف هر جمله از جمله قبلی عدد ثابتی نیست.
پ) شکل‌های الگوی صفحه قبل را به صورت زیر تبدیل می‌کنیم. با دقت در تصویر زیر سعی کنید حاصل ${{t}_{n}}$ را برحسب $n$ به دست آورید.

$2{{a}_{3}}=3(3+1)\Rightarrow {{a}_{3}}\frac{3(3+1)}{2}\Rightarrow {{a}_{n}}=...$
$2{{a}_{n}}=n(n+1)\Rightarrow {{a}_{n}}=\frac{n(n+1)}{2}$

ت) به کمک مرحلهٔ قبل حاصل عبارت زیر را بنویسید.

$1+2+3+...+n=$
$1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$

1- به الگوی روبه رو توجه کنید.

الف) شکل بعدی را رسم کنید و تعداد کاشی‌های تیرهٔ آن را مشخص کنید.

12 کاشی تیره / 4 کاشی سفید

ب) تعداد کاشی‌های تیره در هر مرحله را به صورت یک دنباله تا جملهٔ هفتم آن بنویسید.

$6,8,10,12,14,16,18$

پ) اگر $n$ تعداد کاشی‌های سفید و ${{t}_{n}}$ تعداد کاشی‌های تیره باشد، مقدار ${{t}_{n}}$ بر حسب $n$ بنویسید.

${{t}_{n}}=2n+4$

ت) برای 100 کاشی سفید، چند کاشی تیره لازم است؟

کاشی تیره ازم است $n=100\Rightarrow {{t}_{100}}=2\times 100+4=204$ اگر

ث) آیا در این الگو شکلی وجود دارد که شامل 50 کاشی تیره باشد؟ اگر هست، تعداد کاشی‌های سفید آن چندتاست؟
بله - کافیست در جملهٔ عمومی قرار دهیم ${{t}_{n}}=50$، در این صورت خواهیم داشت.

$50=2n+4\Rightarrow 2n=46\Rightarrow n=23$

2- الگوی زیر را در نظر بگیرید.

الف) شکل بعدی را رسم کنید، سپس تعداد نقاط هر مرحله را به صورت یک دنباله تا جملهٔ ششم آن بنویسید.

$1,6,15,28,45,66$

ب) جملهٔ عمومی الگو را بیابید.

${{t}_{n}}=n(2n-1)$ یا ${{t}_{n}}=2{{n}^{2}}-n$

پ) شکل دهم در این الگو چند نقطه دارد؟
شکل دهم که همان ${{t}_{10}}$ می‌باشد دارای 190 نقطه می‌باشد. ${{t}_{10}}=2{{(10)}^{2}}-10=190$
3- جملهٔ عمومی چند دنباله داده شده است. در هر مورد چهار جملهٔ اول دنباله را بنویسید و سپس به هر یک از آنها یک الگوی هندسی نظیر کنید.

برای هریک از دنباله‌های درجهٔ دو زیر جملهٔ عمومی را به دست آورید و سپس برای هرکدام، یک الگوی هندسی نظیر کنید.

   ${{t}_{n}}={{n}^{2}}+4$ $5,8,13,20,29,...$ (الف)

$5,12,22,35,51,...$ (ب)
$...{{t}_{n}}=\frac{3{{n}^{2}}+5n+2}{2}$      $\frac{3{{(3)}^{2}}+5(3)+2}{2}=22$         $\frac{3{{(2)}^{2}}+5(2)+2}{2}=12$        $\frac{3{{(1)}^{2}}+5(1)+2}{2}=5$