درسنامه آموزشی ریاضی (1) کلاس دهم ریاضی و تجربی
فصل اول: درس 1: مجموعههای متناهی و نامتناهی
مجموعههای اعداد
انسان در طول تاریخ بر حسب نیاز خود از مجموعههای مختلف اعداد استفاده کرده است.
برخی از این مجموعهها که در سالهای قبل با آنها آشنا شدیم، به شرح زیرند:
«مجموعه» یکی از اساسیترین مفاهیم ریاضی است که بسیاری از نظریههای دیگر ریاضی در یک قرن اخیر بر مبنای آن پایه گذاری یا سازماندهی شدهاند. مطالعات جدی دربارۀ مجموعهها با کار جورج کانتور در سال 1870 آغاز شده است.
همان طور که ملاحظه میشود رابطهٔ زیر مجموعه بودن بین این مجموعهها به شکل $\mathbb{N}\subseteq W\subseteq \mathbb{Z}\subseteq Q\subseteq \mathbb{R}$ برقرار است. به عبارت دیگر تمام مجموعههای اعدادی که تاکنون با آنها آشنا شدهایم، زیر مجموعههایی از اعداد حقیقیاند. در نتیجه، هر عدد دلخواهی را که در نظر بگیریم، باید جایی روی محور اعداد حقیقی داشته باشد و همچنین هر نقطه روی این محور نشان دهندۀ یک عدد حقیقیِ مشخص است.
کار در کلاس (صفحهٔ ۲ کتاب درسی)
1 الف) مجموعه $\mathbb{R}-\mathbb{Q}$ چه نام دارد؟ آن را روی شکل مقابل هاشور بزنید و دو عضو دلخواه از آن را در ناحیهٔ هاشور خورده بنویسید.
مجموعه اعداد گنگ نام دارد و با $Q'$ نمایش داده میشود.
ب) دو عددگویا مثال بزنید که عدد صحیح نباشند و آنها را روی شکل مقابل در محل مناسب بنویسید.
$-\frac{3}{4},\frac{2}{7}$
پ) اعداد زیر را روی شکل و در محل مناسب بنویسید.
$\sqrt{17},0,200,\frac{\pi }{2},2/6,2\sqrt{5},-\frac{25}{3},-9$
ت) مجموعه اعداد صحیح غیر حسابی را با نمایش اعضا بنویسید.
$Z-W=\left\{ -1,-2,-3,-4,... \right\}$
ث) مجموعهٔ $W-\mathbb{N}$ چند عضو دارد؟ فقط یک عضو دارد و آن عدد صفر است. $W-N=\{0\}$
2- هریک از اعداد داده شده را در یکی از جاهای مشخص شده روی محور بنویسید. کدام یک از این شش عدد گنگاند؟ زیر آنها خط بکشید.
$2/45,\frac{-7}{2},6,-4/9,\pi ,-\sqrt{2}$
اعداد $-\sqrt{2}$ و $\pi $ اعدادی گنگ هستند.
بازهها
در اینجا گونهٔ دیگری از زیر مجموعههای $\mathbb{R}$ را در نظر میگیریم. فرض کنید $A$ مجموعهٔ شامل تمام اعداد حقیقی بین 2- و 1 به همراه خود این دو عدد باشد؛ یعنی $A=\{x\in \mathbb{R}|\begin{matrix}
{} \\
\end{matrix}-2\le x\le 1\}$. اعضای $A$ را روی محور زیر، با رنگ کردن مشخص کنید. آیا میتوان تمام اعضای $A$ را فهرست کرد؟ آیا میتوان اولین عدد حقیقیِ بعد از 2- را مشخص کرد؟
چنین زیر مجموعههایی از $\mathbb{R}$ که مشخص کنندهٔ یک قطعه از محور اعداد حقیقی باشد را «بازه» یا «فاصله» مینامیم. بازهها در ریاضیات از اهمیت نسبتاً زیادی برخوردارند و ما هم در برخی از فصلهای بعدی این کتاب به دفعات با آنها سر و کار خواهیم داشت. از این رو شایسته است که برای نشان دادن آنها از نماد سادهتری استفاده شود. بازههایی مثل $A$ که شامل هر دو نقطهٔ انتهایی خود میباشد را بازهٔ بسته از 2- تا 1 مینامیم و آن را با نماد $[-2,1]$ نشان میدهیم. حال اگر نقاط ابتدایی و انتهایی این بازه یعنی 2- و 1 را از $A$ حذف کنیم، آنگاه مجموعهای مانند $B=\{x\in \mathbb{R}|-2 \lt x \lt 1\}$ به دست میآید که آن را بازهٔ باز بین 2- و 1 مینامیم و بانماد $(-2,1)$ نمایش میدهیم.
به طور خلاصه:
| $A=(-2,1)=\{x\in \mathbb{R}|-2\ \le x\ \le 1\}$ :بازهٔ بسته بین 2- و 1 |
|
| $B=(-2,1)=\{x\in \mathbb{R}|-2 \lt x \lt 1\}$ :بازهٔ باز بین 2- و 1 |
|
همچنین بازههایی مثل $[2,7)=\{x\in \mathbb{R}|2\le x<7\}$ که تنها شامل یکی از نقاط انتهایی خود میباشد را بازههای نیم باز مینامیم.
فعالیت (صفحهٔ ۳ کتاب درسی)
اگر $a$ و $b$ دو عدد حقیقی دلخواه باشند، به طوری که $a \lt b$ آنگاه جدول زیر را کامل کنید.
| نمایش هندسهای | نمایش مجموعهای | بازه | نوع بازه |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|a \lt x \lt b\}$ |
$(a,b)$ | باز |
|
|
$\{x\in R|a \le x \le b\}$ | $[a,b]$ | بسته |
|
|
$\{x\in R|a \le x \lt b\}$ | $[a,b)$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in R|a \lt x \le b\}$ | $(a,b]$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|1 \lt x \le 5\}$ | $(1,5]$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in R|-3 \lt x \le 2\}$ | $[-3,2)$ | نیمباز |
گاهی تمام اعداد حقیقی مثلاً بزرگتر از 2 مورد نظر است. به عنوان مثال، میدانیم که مجموعهٔ جواب نامعادلهٔ $2x>4$ به صورت $C=\{x\in \mathbb{R}|x>2\}$ است. اعضای $C$ را روی محور زیر نشان دهید.
آیا میتوانید $C$ را به صورت یک بازه بنویسید؟ برای اینکه این مجموعه را به شکل بازه بنویسیم، از نماد $+\infty $ (بخوانید: مثبت بی نهایت) استفاده میکنیم. مجموعهٔ $C$ را در قالب بازه با نماد $(2,+\infty )$ نمایش میدهیم که یک بازه باز محسوب میشود. به همین ترتیب برای مجموعهای مثل $D=\left\{ x\in \mathbb{R}|x\le 1 \right\}$ نمایش بازهای به صورت $(-\infty ,1)$ خواهد بود که یک بازهٔ نیم باز است. توجه داریم که $+\infty $ و $-\infty $ اعداد حقیقی نیستند. در سالهای آینده با این دو نماد بیشتر آشنا خواهیم شد.
فعالیت (صفحهٔ ۴ کتاب درسی)
اگر $a$ عدد حقیقی دلخواهی باشد، جدول زیر را کامل کنید.
| نمایش هندسهای | نمایش مجموعهای | بازه | نوع بازه |
|---|---|---|---|
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x>a\}$ | $(a,+\infty )$ | باز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x\ge a\}$ | $[a,+\infty )$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x\le a\}$ | $(-\infty ,+\infty )$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x \lt a\}$ | $(-\infty ,a)$ | باز |
|
|
$\mathbb{R}$ | $(-\infty ,+\infty )$ | باز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x\le 3\}$ | $[3,+\infty )$ | نیمباز |
|
|
$\{x\in \mathbb{R}|x<5\}$ | $(-\infty ,5)$ | باز |
مثال
میخواهیم اجتماع و اشتراک دو بازهٔ $A=(-1,4]$ و $B=(2,+\infty )$ را به دست آوریم. نمایش هندسی هر دو بازه را مطابق شکل روی یک محور رسم میکنیم.
از روی شکل دیده میشود که $A\bigcup B$ برابر است با مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی بزرگتر از (1-) یعنی:
$(-1,4]\bigcup (2,+\infty )=(-1,+\infty )$
همچنین با توجه به شکل ملاحظه میشود $A\bigcap B$ برابر است با مجموعهٔ تمام اعداد حقیقی بین 2 و 4 به همراه خود عدد 4؛ یعنی:
$(-1,4]\bigcap (2,+\infty )=(2,4]$
توضیح دهید که چرا $2\notin A\bigcap B$.
کار در کلاس (صفحهٔ ۴ کتاب درسی)
1- درستی یا نادرستی عبارتهای زیر را مشخص کنید:
| $-1\in \{-2,0\}$ (ث نادرست |
$-2\in (-2,0]$ (ت درست |
$0\in (-2,0]$ (پ درست |
$-2\in (-2,0]$ (ب نادرست |
$\frac{4}{3}\in [\frac{1}{2},2)$ (الف درست |
| $\sqrt{2}\in (0,1)$ (د نادرست |
$[2,5)=(2,5]$ (خ نادرست |
$\varnothing \subseteq (-17,0]$ (ح |
$\{0,1\}\subseteq [-1,2)$ چ نادرست |
$[-1,2]\subseteq (-1,2)$ (ج نادرست |
2- هر یک از اعداد زیر عضو یک یا چند تا از بازههای داده شده هستند. هر عدد را به بازه یا بازههای نظیر آن وصل کنید.
| $0/2$ | $6/022\times {{10}^{23}}$ | $\frac{-5}{4}$ | $-500$ | $\sqrt{3}$ | $-2$ |
| $(-2,3)$ | $(\frac{-1}{2},\frac{1}{2}]$ | $[3,+\infty )$ | $[-2,0)$ | $(-\infty ,-4)$ | $[1,4]$ |
$-\frac{5}{2}$ به هیچکدام از بازهها تعلق ندارد.
3- نمایش هندسی دو بازه $A=(-4,2]$ و $B=(-1,3]$ را روی محور زیر رسم کنید و سپس حاصل عبارتهای زیر را بنویسید.
الف) $A\bigcap B$
$A\bigcap B=(-1,2]$
ب) $A\bigcup B$
$A\bigcup B=(-4,3]$
پ) $A-B$
$A-B=(-4,-1]$
ت) $B-A$
$B-A=(2,3]$
مجموعههای متناهی و نامتناهی
فعالیت (صفحهٔ ۵ کتاب درسی)
فرض کنید $A$ مجموعهٔ اعداد طبیعی کمتر از 4 و $B$ مجموعهٔ اعداد صحیح کمتر از 4 باشد.
الف) این دو مجموعه را با نمایش اعضای آنها مشخص کنید.
$A=\{1,2,3\}$
$B=\{3,2,1,0,-1,...\}$
ب) $A$ چند عضو دارد؟ 3 عضو
پ) دربارهٔ تعداد اعضای $B$ چه میتوان گفت؟ تعداد اعضای مجموعه B بیشمار است.
با توجه به مطلب فوق، $B$ یک مجموعهٔ متناهی نیست؛ زیرا نمیتوان تعداد اعضای آن را با یک عدد بیان کرد. در واقع تعداد اعضای این مجموعه از هر عددی که در نظر بگیریم، بزرگتر است. چنین مجموعههایی را مجموعههای نامتناهی مینامیم.
کار در کلاس (صفحهٔ ۴ کتاب درسی)
1- متناهی یا نامتناهی بودن هر یک از مجموعههای زیر را مشخص کنید. دربارهٔ مجموعههای متناهی سعی کنید تعداد دقیق یا تقریبی اعضای هر یک از آنها را بنویسید.
| مجموعه | نامتناهی | متناهی | تعداد اعضا (در مورد مجموعههای متناهی) |
| مجموعه اعداد اول یک رقمی | * | 4 | |
| مجموعه انسانهای روی زمین | * | حدود هفت میلیارد | |
| مجموعه اعداد طبیعی فرد | * | - | |
| مجموعه سلولهای عصبی مغز یک انسان | * | حدود 100 میلیارد | |
| مجموعه تمام دایرههای به مرکز مبدأ مختصات | * | - | |
| مجموعه دانش آموزان مدرسهٔ شما | * | حدود 400 نفر | |
| مجموعه اعداد طبیعی ده رقمی | * | 9/000/000/000 | |
| مجموعه درختهای جنگلهای آمازون | * | حدود 390/000/000/000 | |
| مجموعه کسرهای مثبت با صورت یک | * | - | |
| مجموعه مضرب های طبیعی عدد 10 | * | - | |
| بازه (1 , 0) | * | - | |
| مجموعه مولکولهای موجود در یک مول مشخص از آب | * | برابر عدد آواگادرو $6/022\times {{10}^{23}}$ |
2- دو مجموعهٔ متناهی نام ببرید.
الف) مجموعه اعداد زوج کمتر از 100
ب) مجموعه حالتهایی که در پرتاب دو تاس اتفاق میافتند.
3- دو مجموعهٔ نامتناهی مثال بزنید که یکی از آنها زیر مجموعهٔ دیگری باشد.
مجموعه اعداد گویا $(Q)$ و مجموعهی اعداد صحیح $(Z)$ که $Z\subseteq Q$
4- دو مجموعهٔ نامتناهی مثل $A$ و $B$ مثال بزنید که $A\subseteq B$ بوده و $B-A$ تک عضوی باشد.
$A$ را مجموعه اعداد طبیعی $(N)$ و $B$ را مجموعه اعداد حسابی $(W)$ در نظر بگیرید در این صورت داریم؛
$A\subseteq B$
$B-A=\{0\}$
تذکر: تعداد اعضای برخی از مجموعههای متناهی ممکن است بسیار زیاد باشد؛ با این حال با داشتن امکانات لازم و صرف وقت کافی ممکن است بتوان تعداد آنها را به دست آورد.
فعالیت (صفحهٔ ۷ کتاب درسی)
الف) $\frac{1}{3}$ عددی بین 0 و 1 است.چهار عدد گویای دیگر از بازهٔ (0،1) بنویسید و جواب خود را با جوابهای دوستانتان مقایسه کنید.
$\frac{300}{401},\frac{17}{18},\frac{5}{2016},\frac{1}{8}$ تنوع عددها بسیار زیاد است.
ب) آیا میتوان بین 0 و 1 به هر تعداد دلخواه عدد گویا ارائه کرد؟ بله
پ) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن اعداد گویای موجود در بازهٔ (0، 1) چه نتیجهای میگیرید؟
بین صفر و یک، تعداد نامتناهی عدد گویا وجود دارد.
ت) در مورد متناهی یا نامتناهی بودن $\mathbb{Q}$ میتوان گفت؟
$Q$ مجموعهای نامتناهی است.
ث) اگر $A$ دارای یک زیر مجموعهٔ نامتناهی باشد، آنگاه $A$ یک مجموعه نامتناهی خواهد بود.
تمرین (صفحهٔ ۷ کتاب درسی)
1- فرض کنید $U$ مجموعهٔ تمام مضربهای طبیعی عدد 5 باشد.
الف) $U$ را با نمایش اعضای آن بنویسید.
$A=\{5,10,15,20,...\}$
ب) $U$ متناهی است یا نامتناهی؟ نامتناهی
پ) یک زیرمجموعهٔ متناهی از $U$ بنویسید.
$B=\{10,20,...,80,90\}$
ت) دو زیر مجموعهٔ نامتناهی مانند $C$ و $D$ از $U$ بنویسید؛ به طوری که $C\subseteq D$.
$D=\{10,20,30,40,...\},C=\{100,200,300,...\}$
2- متناهی یا نامتناهی بودن مجموعههای زیر را مشخص کنید.
الف) مجموعه اعداد طبیعی. نامتناهی
ب) مجموعه شمارنده های طبیعی عدد 3. متناهی است زیرا؛ $\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}$
پ) بازه $(\frac{1}{4},\frac{1}{2})$. نامتناهی
ت) $A=\{x\in \mathbb{N}|1 \lt x \lt 2\}$ متناهی $A=\{\}$
ث) مجموعهٔ مضربهای طبیعی عدد 100. نامتناهی
3- دو مجموعهٔ نامتناهی مثال بزنید که اشتراک آنها مجموعهای متناهی باشد.
مجموعه اعداد طبیعی $(N)$ و مجموعهی اعداد صحیح بین 5- تا 5+ $(A)$.
$\left. \begin{matrix}
\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }N=\{1,2,3\}\begin{matrix}
{} & {} & {} \\
\end{matrix}\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \\
\text{ }\!\!~\!\!\text{ }\!\!~\!\!\text{ }A=\{-4,-3,...,3,4\}\text{ }\!\!~\!\!\text{ } \\
{} \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow A\bigcap{N}=\{1,2,3,4\}$
4- حاصل هر یک از مجموعههای زیر را با رسم بازههای آنها روی یک محور به دست آورید:
الف) $(-3,0)\bigcup (-2,5]$
$(-3,0)\bigcup (-2,5]=(-3,5]$
ب) $(-\infty ,6]\bigcap (2,9)$
$(-\infty ,6]\bigcap{(2,9)}=(2,6]$
پ) $(3,+\infty )\bigcap (6,10]$
$(3,+\infty )\bigcap (6,10]=(6,10]$
ت) $(-\infty ,1)\bigcup (1,+\infty ]$
$(-\infty ,1)\bigcup (1,+\infty ]=R$
ث) $(3,+\infty )-[2,4)$
$(3,+\infty )-[2,4)=[4,+\infty )$
ج) $(2,4)-[3,+\infty )$
$(2,4)-[3,+\infty )=[2,3]$
5- مجموعهٔ $\mathbb{R}-\{3\}$ را روی محور نشان دهید و سپس آن را به صورت اجتماع دو بازه بنویسید.
$R-\{3\}=(-\infty ,3)\bigcup (3,+\infty )$
6- اگر $A\subseteq B$ و $B$ مجموعهای متناهی باشد، آنگاه $A$ متناهی خواهد بود یا نامتناهی؟
تعداد اعضای A از B کمتر است، بنابراین A هم متناهی خواهد بود.