درسنامه آموزشی فیزیک (2) پایه یازدهم رشته علوم ریاضی
2-4 قانون القای الکترومغناطیسی فاراده
پیش از این دیدیم که به دلایلی مانند تغییر میدان مغناطیسی در محل یک پیچه، تغییر مساحت پیچه در حضور میدان مغناطیسی یا چرخش پیچه درون میدان مغناطیسی، جریان الکتریکی در آن القا میشود. عامل اساسی و مشترک در ایجاد جریان القایی در همهٔ این آزمایشها، تغییر شار مغناطیسی عبوری از پیچه است.
شار مغناطیسی، کمیتی نردهای است و برای میدان مغناطیسی یکنواخت $\overrightarrow{B}$ که از پیچهای با مساحت معیّن $A$ گذرد به صورت زیر تعریف میشود:
(1-4) $\Phi =BA\cos \theta $
همانطور که در شکل 4-4 دیده میشود: $\theta $ زاویهٔ بین بردار میدان مغناطیسی و نیم خط عمود بر سطح حلقه است (این نیم خط را به طور خط چین روی شکل نشان دادهایم).
یکای $SI$ شار مغناطیسی، وِبر $(Wb)$ است که با توجه به رابطه 4-1 داریم: $1Wb=1T\times 1{{m}^{2}}$.
توجه: همواره دو جهت برای رسم نیم خط عمود بر یک سطح معین وجود دارد. علامت شار، مغناطیسی عبوری از این سطح نیز به انتخاب این جهت بستگی دارد. برای مثال، در شکل 4-4، نیم خط عمود را در طرفی از سطح رسم کردهایم که زاویهٔ بین آن و جهت میدان $\overrightarrow{B}$ کمتر از $90{}^\circ $ است و در نتیجه شار عبوری از سطح مثبت میشود. اگر نیم خط عمود را در طرف دیگر سطح انتخاب کنیم، در این صورت، زاویهٔ آن با جهت میدان $\overrightarrow{B}$ بیشتر از $90{}^\circ $ خواهد شد و شار عبوری از سطح منفی میشود. هر دو انتخاب به یک اندازه مفیدند، ولی در حلّ یک مسئله، همواره باید یکی را انتخاب کنیم و تا پایان آن را تغییر ندهیم.
مثال 4-1
الف) مطابق شکل الف، سطح حلقهٔ رسانایی، به شکل مربع با ضلع $20cm$، عمود بر میدان مغناطیسی یکنواختی به بزرگی $250G$ قرار دارد. شار عبوری از این حلقه را به دست آورید.
ب) اگر حلقه را بچرخانیم به طوری که سطح حلقه موازی با خطهای میدان مغناطیسی شود، شار مغناطیسی عبوری از آن چقدر میشود؟
پ) تغییر شار مغناطیسی عبوری از حلقه را وقتی از موقعیت شکل الف به موقعیت شکل ب میچرخد به دست آورید.
ت) اگر این تغییر شار مغناطیسی در بازهٔ زمانی $\Delta t=0/01s$ رخ داده باشد آهنگ تغییر شار $(\Delta \Phi /\Delta t)$ را پیدا کنید.
پاسخ: الف) وقتی مطابق شکل الف، سطح حلقه عمود بر خطهای میدان مغناطیسی قرار میگیرد، زاویهٔ بین میدان $\overrightarrow{B}$ و نیم خط عمود بر سطح حلقه برابر صفر میشود. به این ترتیب، شار عبوری از سطح حلقه برابر است با:
$\theta =0{}^\circ $ ، $B=250G=2/50\times {{10}^{-2}}T$ ، $A=0/2m\times 0/2m=0/04{{m}^{2}}$
$\Phi =BA\cos \theta =(2/50\times {{10}^{-2}}T)(0/04{{m}^{2}})(\cos 0{}^\circ )=1\times {{10}^{-3}}Wb=1mWb$
ب) وقتی مطابق شکل ب، حلقه میچرخد و سطح آن موازی با خطهای میدان مغناطیسی قرار میگیرد، زاویهٔ بین میدان $\overrightarrow{B}$ و نیم خط عمود بر سطح حلقه برابر $90{}^\circ $ میشود. از آنجا که $\cos 90{}^\circ =0$ است، در این شرایط، هیچ شاری از سطح حلقه عبور نمیکند.
پ) همانطور که دیدید شار عبوری از سطح حلقه در وضعیت شکل الف و وضعیت شکل ب، به ترتیب، برابر ${{\Phi }_{1}}=1mWb$ و ${{\Phi }_{2}}=0$ است. به این ترتیب، تغییر شار عبوری از سطح حلقه برابر $\Delta \Phi ={{\Phi }_{2}}-{{\Phi }_{1}}=-1mWb$ شود. علامت منفی نشان میدهد در حین چرخش حلقه از وضعیت شکل الف به وضعیت شکل ب، شار مغناطیسی عبوری از سطح آن کاهش یافته است.
ت) با توجه به نتیجهٔ قسمت پ، آهنگ تغییر شار $(\Delta \Phi /\Delta t)$ برابر است با:
$\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{-1\times {{10}^{-3}}Wb}{0/01s}=-0/1Wb/s$
تمرین 4-1 (صفحهٔ 113 کتاب درسی)
الف) حلقهای به مساحت $25c{{m}^{2}}$ درون میدان مغناطیسی یکنواخت درون سویی به اندازهٔ $0/03T$ قرار دارد (شکل الف). شار مغناطیسی عبوری از حلقه را بهدست آورید.
${{A}_{1}}=25c{{m}^{2}}=2/5\times {{10}^{-3}}{{m}^{2}}$
$\theta =0$ ، ${{\Phi }_{1}}=?$ ، $B=0/03T$
${{\Phi }_{1}}=B{{A}_{1}}\operatorname{Cos}\theta =(0/03T)(2/5\times {{10}^{-3}}{{m}^{2}})\cos 0{}^\circ =7/5\times {{10}^{-5}}Wb$
ب) اگر مطابق شکل ب و بدون تغییر $\overrightarrow{B}$، مساحت سطح حلقه را به $10c{{m}^{2}}$ برسانیم، شار مغناطیسی عبوری از حلقه را در این وضعیت به دست آورید.
${{\Phi }_{2}}=?$ ، ${{A}_{2}}=1/0\times {{10}^{-3}}{{m}^{2}}$
${{\Phi }_{2}}=BA\cos \theta =3/0\times {{10}^{-5}}Wb$
پ) اگر این تغییر شار در بازهٔ زمانی $\Delta t=0/2s$ رخ داده باشد، آهنگ تغییر شار $(\Delta \Phi /\Delta t)$ را پیدا کنید.
$\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=\frac{(3/0-7/5)\times {{10}^{-5}}Wb}{0/2s}=-2/25\times {{10}^{-5}}Wb/s$
پرسش 4-1 (صفحهٔ 113 کتاب درسی)
کدام یک از یکاهای زیر معادل یکای وبر بر ثانیه $(Wb/s)$ است؟
$V/A$ $V$ $A$ $\Omega $
هدف از این پرسش این است که قبل از معرفی رابطهٔ قانون القای فاراده، دانش آموزان با یکای آهنگ تغییرات شار $(Wb/s)$ که از جنس نیروی محرکهٔ الکتریکی است (با یکای ولت) آشنا شوند.
اکنون که با تعریف و مفهوم شار مغناطیسی آشنا شدید دوباره نگاهی میکنیم به پدیدهٔ القای الکترومغناطیسی که در بخش قبل بررسی کردیم. همانطور که گفتیم عامل مشترک در تمامی پدیدههایی که منجر به تولید جریان القایی در مدار میشود، تغییر شار مغناطیسی عبوری از پیچه یا سیملوله است. بنابر قانون فاراده، هرگاه شار مغناطیسیای که از مدار بستهای میگذرد تغییر کند، نیروی محرکهای در آن القا میشود که بزرگی آن با آهنگ تغییر شار مغناطیسی متناسب است؛ یعنی هرچه آهنگ تغییر شار مغناطیسی بیشتر باشد، نیروی محرکهٔ القایی و در نتیجه جریان القایی تولید شده در مدار بیشتر خواهد بود. مثلاً در آزمایشهای مربوط به شکلهای 4-1، 4-2 و 4-3 هرچه حرکتی، که سبب تغییر شار مغناطیسی میشود، سریعتر انجام شود، عقربهٔ گالوانومتر بیشتر منحرف میشود، و این نشان میدهد که جریان القایی بزرگتری به وجود آمده است.
قانون فاراده برای پیچه یا سیملولهای که از $N$ دور مشابه تشکیل شده باشد با رابطهٔ زیر بیان میشود:
(2-4) $\overline{\varepsilon }=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$
در این رابطه $\overline{\varepsilon }$ نیروی محرکهٔ القایی متوسط برحسب ولت و $\Delta \Phi /\Delta t$ آهنگ تغییر شار مغناطیسی برحسب و بر بر ثانیه $(Wb/s)$ است. اگر مقاومت پیچه یا سیملوله برابر $R$ باشد، جریان القایی متوسط در آن از رابطهٔ زیر محاسبه میشود:
(2-4) $\overline{I}=\frac{\overline{\varepsilon }}{R}$
همانطور که از رابطهٔ 4-3 دیده میشود، هرچه مقاومت پیچه یا مداری که در آن شار مغناطیسی تغییر میکند، بیشتر باشد، جریان کوچکتری در آن القا میشود.
مثال 4-2
پیچهای شامل 200 دور که مساحت هر حلقهٔ آن $25c{{m}^{2}}$ است، مطابق شکل روبه رو بین قطبهای یک آهنربای الکتریکی قرار گرفته است که میدان مغناطیسی یکنواخت تولید میکند. خطهای میدان بر سطح پیچه عمودند. اگر اندازهٔ میدان در بازهٔ زمانی $2/0ms$ از $0/18T$ به $0/22T$ افزایش یابد،
الف) نیروی محرکهٔ القایی متوسط ایجاد شده در پیچه چقدر است؟
ب) اگر مقاومت پیچه $10\Omega $ باشد، جریان القایی متوسط که از پیچه میگذرد چقدر است؟
پاسخ: الف) نیم خط عمود بر سطح حلقههای پیچه را همسو با $\overrightarrow{B}$ میگیریم. با توجه به دادههای مسئله داریم:
$\Delta t=2/0ms$ ، $\theta =0$ ، $A=25c{{m}^{2}}$ ، $N=200$
$\overline{\varepsilon }=?$ ، ${{B}_{2}}=0/22T$ ، ${{B}_{1}}=0/18T$
${{\Phi }_{1}}={{B}_{1}}A\cos \theta =(0/18T)(2/5\times {{10}^{-3}}{{m}^{2}})(\cos 0{}^\circ )=4/5\times {{10}^{-4}}Wb$
${{\Phi }_{2}}={{B}_{2}}A\cos \theta =(0/22T)(2/5\times {{10}^{-3}}{{m}^{2}})(\cos 0{}^\circ )=5/5\times {{10}^{-4}}Wb$
به این ترتیب، تغییر شار مغناطیسی برابر است با:
$\Delta \Phi ={{\Phi }_{2}}-{{\Phi }_{1}}=(5/5\times {{10}^{-4}}Wb)-(4/5\times {{10}^{-4}}Wb)=1/0\times {{10}^{-4}}Wb$
با قرار دادن این مقدار و دادههای بالا در رابطهٔ 4-2 داریم:
$\overline{\varepsilon }=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-(200)\frac{1/0\times {{10}^{-4}}Wb}{2/0\times {{10}^{-3}}s}=-10V$
ب) با توجه به رابطهٔ 4-3، جریان القایی متوسط در پیچه برابر است با:
$\overline{I}=\frac{\overline{\varepsilon }}{R}=\frac{-10V}{10\Omega }=-1/0A$
مثال 4-3
تغییرات شار مغناطیسی که از یک حلقه میگذرد برحسب زمان در نمودار شکل الف نشان داده شده است. نمودار نیروی محرکهٔ القایی در حلقه را برحسب زمان در هریک از بازههای زمانی $10s)$، $(0$، $30s)$، $(10s$ و ($30s$، $40s$) رسم کنید.
پاسخ: همانطور که در نمودار شار مغناطیسی برحسب زمان دیده میشود در بازهٔ زمانی صفر تا $10s$ شار به صورت خطی افزایش مییابد. در نتیجه مقدار لحظهای آهنگ تغییر شار با مقدار متوسط آن برابر است. به این ترتیب، در تمامی لحظات این بازهٔ زمانی، نیروی محرکهٔ القایی با نیروی محرکهٔ القایی متوسط برابر است:
$\overline{\varepsilon }=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-(1)\frac{({{10}^{-3}}Wb-0)}{10s}=-1\times {{10}^{-4}}V$
در بازه زمانی $10s$ تا $30s$ شار ثابت مانده است. در نتیجه نیروی محرکهٔ القایی در تمامی لحظات این بازهٔ زمانی برابر صفر است. در بازهٔ زمانی $30s$ تا $40s$ شار به صورت خطی کاهش یافته و سرانجام صفر شده است. بنابراین شبیه آنچه در مورد بازهٔ زمانی صفر تا $10s$ گفتیم، نیروی محرکهٔ القایی در تمام لحظات این بازه با مقدار متوسط نیروی محرکه در این بازهٔ زمانی برابر و مساوی $1\times {{10}^{-4}}V$ است. نمودار نیروی محرکهٔ القایی برحسب زمان در شکل ب رسم شده است.
مثال 4-4
شکل زیر، رسانای $U$ شکلی را درون میدان مغناطیسی یکنواخت $\overrightarrow{B}$ به اندازهٔ $0/18T$ نشان میدهد. میدان $\overrightarrow{B}$ عمود بر صفحهٔ شکل و رو به بیرون است. میلهای فلزی (سیم لغزنده) به طول $l=20cm$ بین دو بازوی رسانا قرار دارد و مداری را تشکیل میدهد. میله را با تندی ثابت $v=20cm/s$ به طرف راست حرکت میدهیم. بزرگی نیروی محرکهٔ القایی متوسط را پیدا کنید.
پاسخ: با حرکت میلهٔ فلزی و به دلیل افزایش سطح حلقه، شار مغناطیسی تغییر میکند. میدان مغناطیسی در سطح حلقه یکنواخت است، پس شار مغناطیسی را از رابطهٔ $\Phi =BA\cos \theta $ محاسبه میکنیم. نیمخط عمود بر سطح حلقه را همسو با $\overrightarrow{B}$ میگیریم. بنابراین زاویهٔ نیمخط عمود با میدان $\overrightarrow{B}$ صفر است $(\theta =0)$ و در نتیجه $\Phi =BA$. از قانون القای فارادی داریم:
$\overline{\varepsilon }=-\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}=-\frac{\Delta (BA)}{\Delta t}=-B\frac{\Delta A}{\Delta t}$
برای محاسبه $\Delta A/\Delta t$، توجه کنید که میلهٔ فلزی لغزنده در مدت $\Delta t$ مسافت $v\Delta t$ را طی میکند (شکل روبه رو) و سطح حلقه به مقدار $\Delta A=lv\Delta t$ افزایش مییابد. به این ترتیب، نیروی محرکهٔ القا شده برابر است با:
$\overline{\varepsilon }=-B\frac{lv\Delta t}{\Delta t}=-Blv$
با قرار دادن مقادیر داده شده، در رابطهٔ بالا، داریم:
$\overline{\varepsilon }=-(0/18T)(20\times {{10}^{-2}}m)(20m/s)=-0/72V$
و بزرگی آن برابر است با:
$|\overline{\varepsilon }|=0/72V$
توجه کنید که به علت ثابت بودن تندی میلهٔ لغزنده، نیروی محرکهٔ القایی ثابت است. در این حالت، رسانای $U$ شکل با سیم لغزنده یک مولد جریان مستقیم است.
تمرین 4-2 (صفحهٔ 115 کتاب درسی)
میدان مغناطیسی بین قطبهای آهنربای الکتریکی شکل زیر که بر سطح حلقه عمود است با زمان تغییر میکند و در مدت $0/45s$ از $0/28T$، رو به بالا، به $0/17T$، رو به پایین میرسد. در این مدت، الف) نیروی محرکهٔ القایی متوسط در حلقه را به دست آورید.
$A=100c{{m}^{2}}$ ، $\Delta t=0/45s$
رو به بالا ${{B}_{1}}=0/28T$
رو به پایین ${{B}_{2}}=0/17T$
(جهت بالا را مثبت فرض کردهایم)
$\overline{\varepsilon }=?$
$\overline{\varepsilon }=-N\frac{\Delta \Phi }{\Delta t}$
تغییرات شار ناشی از تغییرات جهت و اندازهٔ میدان است. به این ترتیب:
${{\Phi }_{1}}={{B}_{1}}A\cos {{\theta }_{1}}=(0/28T)({{10}^{-2}}{{m}^{2}})\cos 0{}^\circ =2/8\times {{10}^{-3}}Wb$
${{\Phi }_{2}}={{B}_{2}}A\cos {{\theta }_{2}}=(0/17T)({{10}^{-2}}{{m}^{2}})\cos 180{}^\circ =-1/7\times {{10}^{-3}}Wb$
$\Delta \Phi ={{\Phi }_{2}}-{{\Phi }_{1}}=-1/7\times {{10}^{-3}}Wb-2/8\times {{10}^{-3}}Wb=-4/5\times {{10}^{-3}}Wb$
$\overline{\varepsilon }=-\frac{(-4/5\times {{10}^{-3}}Wb)}{0/45s}={{10}^{-2}}V$
ب) اگر مقاومت حلقه $10\Omega $ باشد، جریان القایی متوسط در حلقه را پیدا کنید.
$I=|\overline{\varepsilon }|/R=({{10}^{-2}}v)/(10\Omega )={{10}^{-3}}A=1mA$
پرسش 4-2 (صفحهٔ 115 کتاب درسی)
تندیسنج دوچرخههای مسابقهای شامل یک آهنربای کوچک و یک پیچه است. آهنربا به یکی از پرههای چرخ جلو و پیچه به دو شاخ فرمان متصل است (شکل زیر). دو سر پیچه با سیمهای رسانا به نمایشگر تندی سنج (که در واقع نوعی رایانهٔ کوچک است) وصل شده است. به نظر شما تندیسنج دوچرخه چگونه کار میکند؟ این موضوع را در گروه خود به گفتوگو بگذارید و نتیجه را به کلاس درس ارائه دهید.
دانش آموزان با توجه به آشنایی با پدیدهٔ القای الکترومغناطیسی فاراده به سادگی میتوانند به این پرسش پاسخ دهند. با هر بار عبور آهنربا از جلوی پیچه، جریانی در آن القا میشود. تندرسنج با شمارش تعداد تیپهای جریان در واحد زمان، تندی دوچرخه را گزارش میدهد.
فناوری و کاربرد
کارتهای اعتباری و دستگاههای کارتخوان
نوار مغناطیسی پشت کارتهای اعتباری حاوی تعداد بسیار زیادی ذرهٔ فرومغناطیسی است که نوعی چسب خاص آنها را به هم متصل میکند. دادهها را که به صورت دودویی، یا صفر و یک به رمز درآوردهاند، در نوار مغناطیسی پشت کارت ذخیره میکنند (شکل الف).وقتی کارت اعتباری درون دستگاه کارت خوان کشیده میشود، میدان مغناطیسی ناشی از نوار مغناطیسی، روی پیچهٔ قرار داده شده در دستگاه کارت خوان اثر میگذارد و جریان اندکی را در پیچه القا میکند (شکل ب). این جریان بسیار کوچک توسط دستگاه دیگری تقویت و دادههای ذخیره شده در نوار مغناطیسی پشت کارت، رمزگشایی میشود. پس از رمزگشایی دادهها، دستور مورد نظر انجام میشود.
|
|
سامانۀ تنظیم حد تندی خودرو
در بسیاری از خودروهای امروزی، سامانهای وجود دارد که به کمک آن میتوان تندی خودرو را روی مقدار دلخواهی تنظیم کرد. در این وضعیت، بدون آنکه لازم باشد راننده پای خود را روی پدال گاز قرار دهد، خودرو با تندی تعیین شده به حرکتش ادامه میدهد. اساس کار این سامانه، جریان القایی است. وقتی محور محرک خودرو میچرخد آهنربایی که روی آن قرار دارد، شار مغناطیسی متغیری را از پیچه میگذراند و جریانی در آن القا میکند.
ریزپردازنده (مغز رایانه) تعداد تپهای جریان را در هر ثانیه میشمارد و به این روش، تندی خودرو را اندازه میگیرد. سپس با مقایسهٔ تندی اندازه گیری شده با تندی تنظیم شده توسط راننده، سوخت مورد نیاز را به موتور تزریق میکند. تا هنگامی که راننده ترمز نگیرد، حرکت خودرو با تندی تعیین شده، توسط این سامانه تنظیم میشود.
خوب است بدانید: معاینۀ مغز با نیروهای محرکۀ القایی
برانگیزش (تحریک) مغناطیسی فرا جمجمهای $(TMS)$ روشی برای بررسی عملکرد بخشهای مختلف مغز است. در این روش، پیچهای روی سر شخص بیمار قرار داده میشود که جریان الکتریکی متغیری از آن میگذرد و در نتیجه میدان مغناطیسی متغیری تولید میکند. این میدان متغیر، سبب ایجاد نیروی محرکهٔ القایی و جریان القایی در ناحیهای از مغز میشود که در زیر پیچه قرار دارد. پزشک با مشاهده واکنش مغز (مثلاً اینکه کدام عضلهها به علت برانگیزش بخش خاصی از مغز حرکت میکنند) میتواند شرایط عصب شناختی مختلفی را بیازماید.
