درسنامه آموزشی منطق کلاس دهم انسانی و معارف

مربع تفاضل

اگر قضیهٔ موجبهٔ کلیه «هر دانش‌آموزی دارای کتاب درسی است» صادق باشد، نام قضایای زیر و صدق و کذب آنها را تعیین کنید:

1- هر دانش آموزی دارای کتاب درسی است.
2- هیچ دانش آموزی دارای کتاب درسی نیست.
3- بعضی از دانش آموزان دارای کتاب درسی هستند.
4- بعضی از دانش آموزان دارای کتاب درسی نیستند.

چنان که ملاحظه می‌کنید، چهار قضیهٔ محصوره از نظر صدق و کذب و تغییر کمیت و کیفیت، دارای روابطی با یکدیگر هستند که در این درس به بررسی آنها می‌پردازیم. برای آنکه بهتر بتوانند رابطهٔ دو به دوی میان این قضایا را مشخص کنند، آنها را در مربع زیر  قرار می‌دهند و آن را «مربع تقابل» می‌نامند. مربع متقابل نشان می‌دهد که میان قضایای محصوره حداقل چهار رابطهٔ زیر وجود دارند:

1- تناقض

رابطهٔ شماره (1) در مربع تقابل «تناقض» نامیده می‌شود. رابطهٔ تناقض میان قضیه‌های موجبهٔ کلیه و سالبهٔ جزئیه و میان سالبهٔ کلیه و موجبهٔ جزئیه برقرار است. با تغییر کمیت و کیفیت یک قضیه می‌توان به «متناقض» (نقیض) آن قضیه دست یافت. برای بررسی رابطهٔ  صدق و کذب میان دو قضیهٔ متناقض، به سؤالات زیر پاسخ دهید:

- اگر در شهری صنعتی متوجه شویم که «بعضی از روزها هوا آلوده است»، آیا می‌توانیم بگوییم در این شهر «هیچ روزی هوا آلوده نیست»؟
- اگر به مدیر دبستانی گزارش شود که «برخی از دانش آموزان شیر دریافت نکرده‌اند» آیا قضیهٔ «همهٔ دانش آموزان شیر دریافت کرده‌اند» صادق است؟

در رابطهٔ تناقض، صدق یک قضیه، کذب دیگری را در پی دارد و کذب یک قضیه، صدق دیگری را نتیجه می‌دهد.

2- تضاد

رابطهٔ شماره (2) در مربع تقابل «تضاد» نامیده می‌شود. رابطهٔ تضاد تنها میان قضیه‌های موجبهٔ کلیه و سالبهٔ کلیه برقرار است. بنابراین با تغییر کیفیت قضیهٔ کلی، به قضیهٔ «متضاد» آن می‌رسیم. برای بررسی رابطهٔ صدق و کذب میان دو قضیهٔ متضاد، به سؤال زیر پاسخ دهید:

- اگر روزنامه‌ای بنویسد: «همهٔ وعده‌های مدیر، عملی شده»، بر این اساس قضیهٔ «هیچ یک از وعد‌ه‌های مدیر، عملی نشده است» صادق است یا کاذب؟

بنابراین در رابطهٔ تضاد، از صدق یک قضیهٔ کلی به کذب قضیهٔ کلی دیگر دست می‌یابیم. اما اگر قضیهٔ کلی کاذب باشد، نمی‌توانیم به صورت قطعی بگوییم که قضیهٔ متضاد آن صادق است یا کاذب.

3- تداخل

رابطهٔ شماره (3) در مربع تقابل، «تداخل» نامیده می‌شود. این رابطه میان قضیهٔ موجبهٔ کلیه و موجبهٔ جزئیه و میان سالبهٔ کلیه و سالبهٔ جزئیه برقرار است. از آنجا که مصادیق قضیهٔ جزئی در ذیل مصادیق قضیهٔ کلی قرار دارند، این رابطه را متداخل نامیده‌اند. با تغییر کمیت قضیه و ثابت نگه داشتن کیفیت آن می‌توان به «متداخل» آن قضیه دست یافت. برای بررسی رابطهٔ صدق و کذب میان دو قضیهٔ متداخل، به سؤالات زیر پاسخ دهید:

- اگر بدانیم «همهٔ فلزات هادی الکتریسیته‌اند»، آیا می‌توانیم بگوییم که «بعضی از فلزات نیز هادی الکتریسیته‌اند»؟ چرا؟

- اگر بدانیم که «هیچ کتابی در بخش مسابقه برنده نشده است»، آیا می‌توانیم نتیجه بگیریم که «کتا‌ب‌های انتشارات ما نیز برنده نشده‌اند»؟

بر این اساس رابطهٔ صدق دو قضیهٔ متداخل به صورت زیر است:

هرگاه قضیهٔ کلی صادق باشد، قضیهٔ جزئی نیز صادق است (و نه بر عکس).

اگر کسی بگوید که «همهٔ مدادها سیاه هست»، کافی است یک مداد رنگی به وی نشان دهیم تا حکم کلی وی را نقض کنیم. به این کار «آوردن مثال نقض» می‌گویند.

- اگر کسی بگوید که «هیچ کتابی بیش از دویست صفحه ندارد»، چگونه می‌توانیم حکم وی را نقض کنیم؟

بر این اساس رابطهٔ کذب دو قضیهٔ متداخل به صورت زیر است: هرگاه قضیهٔ جزئی کاذب باشد، قضیهٔ کلی نیز کاذب است (و نه برعکس).

هنگامی که ادعایی کلی مطرح می‌شود، یافتن یک مثال نقض آن حکم کلی را باطل می‌کند. در صورتی که با وجود پیدا شدن استثنایی در یک حکم کلی، همچنان بر کلی بودن حکم خود اصرار کنیم، دچار مغالطهٔ «استثنای قابل چشم پوشی» شده‌ایم. به مثال زیر توجه کنید:

- همهٔ افراد از کیفیت غذای ما راضی‌اند.
پس چرا دیروز یکی از مشتریان اعتراض کرد؟
- او یک استثناست!

عکس مستوی

درصورتی که موضوع و محمول قضیهٔ حملی را جابه جا کنیم، قضیهٔ به دست آمده را «عکس» آن قضیه می‌نامند.

اکنون این سؤال مطرح می‌شود که اگر قضیه‌ای صادق باشد، آیا عکس آن نیز صادق است؟ به مثال‌های زیر توجه کنید:

- در تبلیغی با نشان دادن نوعی روغن مایع می‌گویند: «همهٔ کدبانوهای ماهر از این روغن مایع استفاده می‌کنند». حتی اگر این سخن درست باشد، آیا می‌توان نتیجه گرفت که هرکس از آن روغن مایع استفاده کند، کدبانوی ماهری خواهد بود؟ چرا؟
- آیا چون «هر گردویی گرد است» می‌توان گفت که «هر گردی گردو است»؟
- برخی از افراد با لباس تیره، شب‌ها هنگام عبور از خیابان گمان می‌کنند که چون خودشان وسایل نقلیه را می‌بینند، رانندگان نیز می‌توانند آنها را مشاهده کنند؛ در صورتی که همواره چنین نیست. آنها در حقیقت دچار خطای اندیشه شده‌اند.

در سه مثال قبل مواردی را دیدیم که گرچه قضیه‌ای صادق است؛ اما اگر جای موضوع و محمول آن تغییر کند (و اصطلاحاً عکس شود)، دیگر صادق نخواهند بود. اکنون به سؤالات زیر پاسخ دهید:

- اگر بدانیم که «هیچ عقابی حشره نیست»، آیا می‌توان گفت که «هیچ حشره‌ای عقاب نیست»؟
- اگر «بعضی از دانش آموزان شاعر باشند»، آیا می‌توان نتیجه گرفت که «بعضی از شاعران دانش آموزند»؟

در دو مثال بالا مواردی را دیدیم که با صادق بودن یک قضیه، عکس آن قضیه نیز صادق است.

با مشاهدهٔ این مثال‌ها نتیجه می‌گیریم که در مواردی می‌توان جای موضوع و محمول یک قضیه را تغییر داد و به نتیجهٔ صادقی دست یافت و در مواردی نمی‌توان چنین کرد.

منطق‌دانان با بررسی مواردی که در صورت صادق بودن اصل قضیه، عکس آن نیز صادق خواهد بود، به قانونی کلی دست یافته‌اند و آن را به صورت زیر بیان کرده‌اند:

اصل (الف ب)	عکس مستوی (ب الف)
هر الف ب است. بعضی الف ب است. هیچ الف ب نیست. بعضی الف ب نیست.	بعضی ب الف است. بعضی ب الف است. هیچ ب الف نیست.  (عکس لازم الصدق ندارد)

از آنجا که در رابطهٔ فوق از قضیه‌ای صادق به عکس آن قضیه که از نظر صدق همانند و مساوی آن قضیه است، دست می‌یابیم، آن را قاعدهٔ «عکس مستوی» نامیده‌اند.

منطق‌دانان با بررسی قضیهٔ سالبهٔ جزئی (بعضی الف ب نیست) نشان داده‌اند که قانونی کلی برای عکس مستوی این قضیه وجود ندارد. بدین جهت اصطلاحاً می‌گویند که سالبهٔ جزئیه عکس لازم الصدق ندارد.

مغالطۀ ایهام انعکاس

در صورتی که در جابه‌جا کردن اجزای قضیه، قاعدهٔ عکس مستوی را به درستی رعایت نکنیم، دچار «مغالطهٔ ایهام انعکاس» می‌شویم. به عنوان مثال اگر موجبهٔ کلیه را به موجبهٔ کلیه عکس کنیم یا برای سالبهٔ جزئیه عکس لازم الصدق درنظر بگیریم، دچار این مغالطه شده‌ایم. مانند:

- همهٔ بوته‌ها گیاه‌اند. (صادق) $\Leftarrow $ همهٔ گیاه‌ها بوته‌اند. (کاذب)
- بعضی انسان‌ها کودک نیستند. (صادق) $\Leftarrow $ بعضی کودک‌ها انسان نیستند. (کاذب)

از این مغالطه در تبلیغات استفادهٔ زیادی می‌شود. به عنوان مثال با نشان دادن خانواده‌ای شاد و خوشبخت در کنار یکی از لوازم خانگی، این گونه القا می‌کنند:
- بعضی از افراد خوشبخت دارای این لوازم خانگی هستند؛ پس: هرکس با داشتن این لوازم خانگی خوشبخت خواهد بود!

درصورتی که عکس موجبهٔ جزئی، موجبهٔ کلیه نیست.