درسنامه آموزشی فصل سوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی
درس 3: معیارهای پراکندگی
1- انحراف معیار و واریانس دادهها
فعالیت (صفحهٔ 93 کتاب درسی)
در اقتصاد هر کشوری شاخصی تحت عنوان نرخ تورّم، نقش بسیار مهمی را ایفا میکند. یکی از اقلام مصرفی مورد نیاز در محاسبهٔ نرخ تورّم در یک کشور، قیمت گوشت قرمز است. در جدول زیر قیمت گوشت قرمز در سال 1395 در شهرستانهای استان تهران گردآوری شده است.
| شهرستانهای استان تهران | قیمت گوشت قرمز (هزار تومان) |
|---|---|
| تهران | 42 |
| اسلامشهر | 20 |
| دماوند | 25 |
| رباط کریم | 26 |
| ری | 27 |
| شمیرانات | 40 |
| شهریار | 20 |
| فیروزکوه | 16 |
| قدس | 20 |
| ملارد | 21 |
| پیشوا | 22 |
| پاکدشت | 23 |
| ورامین | 26 |
- میانگین قیمت گوشت قرمز در شهرستانهای استان تهران را بهدست آوردید؟
- در نمودار زیر، میانگین قیمت گوشت قرمز در شهرستانهای استان تهران نشان داده شده است.
قیمت گوشت قرمز در هریک از شهرستانهای استان تهران را با کشیدن نقطه روی نمودار مشخص کنید.
1- چند نقطهٔ بالای خط قرمز، چند نقطه پایین خط قرمز و چند نقطه روی خط قرمز قرار دارند؟
2- منظور از پراکندگی قیمت گوشت قرمز یعنی اینکه قیمت گوشت قرمز در هریک از شهرستانهای استان تهران چقدر از میانگین قیمت دورتر است. هر چقدر نقاط یا همان قیمت گوشت قرمز در هریک از شهرستانهای استان تهران حول خطّ قرمز یا همان میانگین قیمت گوشت قرمز نزدیکتر باشند، نشاندهندهٔ چیست؟ هر چقدر دورتر باشند چطور؟
3- معیاری را برای اندازهگیری پراکندگی قیمت گوشت قرمز یا همان نقاط حول خط قرمز میتوانید معرفی کنید؟
کار در کلاس (صفحهٔ 95 کتاب درسی)
انحراف معیار و واریانس مربوط به دادههای قیمت گوشت قرمز در شهرستانهای تهران را میتوانید با تکمیل جدول زیر محاسبه کنید.
| قیمت گوشت قرمز | ${x_i} - \overline x $ | ${\left( {{x_i} - \overline x } \right)^2}$ |
|---|---|---|
| 42 | ||
| 20 | ||
| 25 | ||
| 26 | ||
| 27 | ||
| 40 | ||
| 20 | ||
| 16 | ||
| 20 | ||
| 21 | ||
| 22 | ||
| 23 | ||
| 26 | ||
| $\sigma $ | ||
| ${\sigma ^2}$ | ||
خواندنی: نرخ تورم
در علوم اقتصادی با استفاده از علم آمار، شاخصی تحت عنوان نرخ تورّم بیان میشود. نرخ تورّم، درصد تغییر سطح قیمت مجموعه کالاهای مصرفی مانند خوراک و پوشاک و کالاهای خدماتی مانند مسکن، آب و برق خانوارها در طول زمان را اندازه میگیرد.
فرض کنید متوسط قیمت مجموعه کالاهای مصرفی یک خانوار در سال a، ${P_1}$ و متوسط قیمت همان مجموعه کالای مصرفی در سال $a - 1$، ${P_0}$ باشد، در این صورت نرخ تورّم در طی سال a بهصورت زیر بهدست میآید:
$ = \frac{{{P_1} - {P_0}}}{{{P_0}}} \times 100 \%$ نرخ تورم
بهعنوان مثال، اگر متوسط قیمت گوشت قرمز به عنوان کالای مصرفی در سال $a - 1$ و a بهترتیب، 28 و 32 هزار تومان برای هر کیلو باشد، در اینصورت نرخ تورّم برای قیمت گوشت قرمز در سال a برابر:
$ = \frac{{\left( {32 - 28} \right)}}{{28}} \times 100 = 14 \% $ نرخ تورم
یعنی متوسط قیمت گوشت قرمز در سال a، چهارده درصد نسبت به سال گذشته افزایش یافته است.
لازم به ذکر است هر چقدر نرخ تورّم افزایش یابد، قدرت خرید مردم کاهش پیدا میکند. همچنین مرکز آمار ایران برای محاسبهٔ نرخ تورّم در یک سال، متوسط قیمت 100 قلم کالای گروه خوراکیها و آشامیدنیها و 259 قلم کالای خدماتی برای سال جاری و سال قبل آن در نظر گرفته و این نرخ را محاسبه میکند.
2- ضریب تغییرات دادهها
فعالیت (صفحهٔ 96 کتاب درسی)
یکی از شاخصهای کیفیت در لاستیکهای تولید شده اتومبیل توسط یک کارخانه، طول عمر آن لاستیکهاست. هر چقدر متوسط طول عمر لاستیکهای تولیدی بیشتر و انحراف معیار طول عمر لاستیکها کمتر باشد، به این معناست که لاستیکها کیفیت بالایی از نظر طول عمر دارند.
حال با توجه به مطالب گفته شده، به بررسی کیفیت لاستیکهای تولیدی از نظر طول عمر دو کارخانهٔ (الف) و (ب) میپردازیم.
بر اساس دادههای بهدست آمده میانگین طول عمر لاستیکها در دو کارخانه و انحراف معیار آنها به شرح جدول زیر است:
| کارخانه | میانگین | انحراف معیار |
| کارخانه الف | 54000 کیلومتر | 50 کیلومتر |
| کارخانه ب | 65000 کیلومتر | 100 کیلومتر |
- شما ترجیح میدهید از کدام کارخانه لاستیک بخرید؟
- آیا میتوان براساس میانگین و انحراف معیار و نمونههای در نظر گرفته شده قضاوت کرد؟
برای پاسخ به سؤالات فوق نیاز به معرفی معیار جدیدی برای سنجش پراکندگی داده وجود دارد. این معیار را ضریب تغییرات دادهها مینامند.
کار در کلاس (صفحهٔ 97 کتاب درسی)
الف) با کامل کردن جدول زیر، ضریب تغییرات مربوط به طول عمر دو کارخانه را محاسبه کنید.
| کارخانه | میانگین | انحراف معیار | ضریب تغییرات |
| کارخانه الف | 54000 کیلومتر | 50 کیلومتر | |
| کارخانه ب | 65000 کیلومتر | 100 کیلومتر |
محصولات کدام کارخانه را انتخاب میکنید؟
ب) حال با تغییر واحد اندازهگیری در جدول قبلی میانگین و انحراف معیارطول عمر لاستیکها در دو کارخانهٔ (الف) و (ب) بهصورت زیر گزارش داده شده است.
| کارخانه | میانگین | انحراف معیار | ضریب تغییرات |
| کارخانه الف | 54000000 کیلومتر | 50000 کیلومتر | |
| کارخانه ب | 65000 کیلومتر | 10000 کیلومتر |
همانطور که ملاحظه میکنید میانگین و انحراف معیار لاستیکها برای کارخانهٔ (الف) برحسب واحد اندازهگیری متر و برای کارخانهٔ (ب) برحسب کیلومتر است. در این حالت نیز ضریب تغییرات را در جدول زیر محاسبه کنید. آیا ضریب تغییرات به واحد اندازهگیری وابسته است؟
نمودار جعبهای
در ابتدای این درس با معیارهای پراکندگی آشنا شدیم، حال میخواهیم با استفاده از نمودارهای آماری، معیارهای پراکندگی دادهها را بهصورت تصویری نشان دهیم.
فعالیت (صفحهٔ 97 کتاب درسی)
میزان بارش برف سالانه در دو پیست اسکی «الف» و «ب» برای هفت سال اندازهگیری و نتایج، در جدول زیر گردآوری شده است:
| سال | 1394 | 1393 | 1392 | 1391 | 1390 | 1389 | 1388 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| میزان بارش برف در پیست اسکی الف | 825 | 728 | 472 | 787 | 335 | 190 | 551 |
| میزان بارش برف در پیست اسکی ب | 566 | 581 | 93 | 1016 | 525 | 0 | 271 |
برای رسم نمودار آماری، مراحل زیر را انجام دهید.
الف) جدول زیر را کامل کنید.
| سال | بیشترین مقدار میزان بارش برف Max | چارک سوم میزان بارش برف ${Q_3}$ | میانه میزان بارش برف ${Q_2}$ | چارک اول میزان بارش برف ${Q_1}$ | کمترین مقدار میزان بارش برف Min |
| پیست اسکی الف |
ب) حال مقادیر جدول را روی یک محور نمایش میدهیم.
پ) برای مشخص کردن حدود دامنهٔ میان چارکی (IQR) یک جعبه به عرض دلخواه رسم میکنیم، سپس با استفاده از یک خط، میانه را در جعبه مشخص میکنیم و در انتها، از دو طرف جعبه به کمترین و بیشترین مقدار دادهها دو خط رسم میکنیم.
کار در کلاس (صفحهٔ 98 کتاب درسی)
- نمودار جعبهای مربوط به پیست «ب» را رسم کنید. و سپس با نمودار جعبهای پیست «الف» مقایسه کنید.
- اگر داده دور افتادهای در دادهها باشد، نمودار جعبهای چه تغییری میکند؟
تمرین (صفحهٔ 99 کتاب درسی)
1- فرض کنید سنّ افرادی که در یک روز سوار اتوبوس شدهاند، بهصورت زیر است:
$32\,,59,26,53,74,17,45,23,64,50,61$
انحراف معیار، واریانس و ضریب تغییرات سنّ افراد را بهدست آورید.
2- نمودار زیر میزان مصرف گاز CNG را از سال 1385 تا 1393 نشان میدهد. با توجه به این نمودار انحراف معیار، واریانس و ضریب تغییرات میزان مصرف گاز CNG از سال 1385 تا 1393 را بهدست آورید.
3- انحراف معیار، واریانس و ضریب تغییرات را برای هریک از اعداد جدول زیر بهدست آورید.
| اعداد | انحراف معیار | واریانس | ضریب تغییرات |
| $100,12,8,16,10,4,7$ | |||
| $3,2,1,0,0,-3,-2,-1$ | |||
| $10/11,11/36,10/11,9/88,9/42,9/76,9/62$ | |||
| $2,3000,2500,2000$ |
4- اعداد دلخواه را در جدول زیر بنویسید و انحراف معیار، واریانس و ضریب تغییرات را برای هریک از اعداد بهدست آورید.
| اعداد | انحراف معیار | واریانس | ضریب تغییرات |
5- اگر ضریب تغییرات 10 داده 2 باشد و میانگین آن 4، واریانس دادهها را بهدست آورید.
6- اگر n داده را c برابر کنیم ضریب تغییرات دادهها چند برابر میشود؟
7- فرض کنید 22 بوته گل قرمز را انتخاب و تعداد گلهای هر بوته را شمردهایم و نتایج زیر بهدست آمده است:
$7,4,3,8,6,4,1,7,4,2,1,1,1,3,2,2,2,2,5,5,1,2$
نمودار جعبهای را برای این دادهها رسم کنید.
8- نمودار جعبهای مربوط به شاخص تودهٔ بدن (BMI) به تفکیک جنسیت رسم شده است. این نمودار را تفسیر کنید و به سؤالات زیر پاسخ دهید.
الف) میانگین شاخص توده بدن در خانمها بیشتر است یا آقایان؟
ب) میزان پراکندگی شاخص توده بدن در خانمها بیشتر است یا آقایان؟
9- دادههای زیر مربوط به نرخ بیکاری یک کشور در ده سال گذشته است:
| سال | اول | دوم | سوم | چهارم | پنجم | ششم | هفتم | هشتم | نهم | دهم |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| نرخ بیکاری | 11/5 | 11/3 | 10/5 | 10/4 | 11/9 | 13/5 | 12/3 | 12/2 | 10/4 | 30/1 |
نمودار جعبهای این دادهها را رسم کنید.
خواندنی: نرخ بیکاری
امروزه بیکاری یکی از موضوعات مهم در جوامع بشری است که دولتمردان و سیاستگذاران تمامی کشورهای جهان بهدنبال راهکارهایی برای از بین بردن این مسئله در کشورشان و فراهم کردن زمینهای برای بهکارگیری استعدادهای مردم کشورشان هستند. در علوم اقتصادی با استفاده از علم آمار، شاخصی تحت عنوان نرخ بیکاری بیان میشود. نرخ بیکاری، بهصورت زیر تعریف میشود.
جمعیت بیکار به افراد 10 ساله و یا بالاتر از 10 سالهای گفته میشود که سه شرط زیر را توأما داشته باشند:
- در هفتهٔ مشخص حتی یک ساعت هم کار نکرده باشد.
- آمادگی برای انجام کار داشته باشد.
- در هفتهٔ مشخص و سه هفتهٔ قبل از آن جویای کار باشد. (اقدامات مشخصی را بهمنظور جستوجوی اشتغال، مزد بگیری و یا خود اشتغالی به عمل آورده باشد.)
جمعیت شاغل: به افراد 10 ساله، یا بالاتر از 10 سالهای که در طول هفتهٔ مشخص (بازهٔ زمانی 7 روزهای که وضع فعالیت افراد در این بازهٔ زمانی مدّنظر باشد) حداقل یک ساعت کار کرده باشد شاغل گویند.
جمعیت فعال: به مجموع جمعیت بیکار و شاغل گفته میشود.
