درسنامه آموزشی فصل دوم آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی

1- دربارهٔ خانواده‌ای چهار فرزندی، می‌دانیم که دست‌کم یکی از فرزندان آنها پسر است. احتمال اینکه دقیقاً‌ پسر داشته باشند، چقدر است؟

فرض می‌کنیم A پیشامد این باشد که دقیقاً 2 پسر داشته باشند و B پیشامد این باشد که دست‌کم 1 فرزند پسر داشته باشند. 

برای به‌دست آوردن خواستهٔ مسئله باید $P\left( A\left| B \right. \right)$ را محاسبه کنیم.

با توجه به رابطهٔ $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{P\left( A\bigcap B \right)}{P\left( B \right)}$، باید $P\left( A\bigcap B \right)$ و $P\left( B \right)$ را به‌دست آوریم.
$P\left( B \right)$ یعنی احتمال اینکه این خانواده حداقل یک فرزند داشته باشند، برای به‌دست آوردن $P\left( B \right)$ بهتر است از روش متمم استفاده کنیم $P\left( B \right)=1-P\left( {{B}'} \right)$
$P\left( {{B}'} \right)$ یعنی احتمال اینکه خانواده حداقل یک فرزند پسر نداشته باشد که معادل است با احتمال اینکه این خانواده هیچ پسری نداشته باشد: پس $P\left( B \right)=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$
$P\left( A\bigcap B \right)$ نیز یعنی احتمال اینکه هم «خانواده حداقل یک فرزند داشته باشد» و هم «دقیقاً دو فرزند پسر داشته باشد.» اگر این دو شرط را با هم در نظر بگیریم می‌شود همان «دقیقاً‌ 2 فرزند پسر داشته باشد.»

برای محاسبهٔ این احتمال، ابتدا به $\left( \begin{matrix}   4 \\   2 \\ \end{matrix} \right)=6$ طریق انتخاب می‌کنیم که کدام فرزندان پسر باشند، سپس دو فرزند دیگر را دختر در نظر می‌گیریم:

تعداد حالت‌هایی که 2 فرزند پسر داشته باشند.

 $\left( \begin{matrix}
   4  \\
   2  \\
 \end{matrix} \right)\times 1\times 1=6\times 1\times 1=6$

تعداد کل حالت‌ها

$2\times 2\times 2\times 2=16$

 $\Rightarrow P\left( A\bigcap B \right)=\frac{6}{16}$

و در نهایت طبق رابطهٔ $P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{P\left( A\bigcap B \right)}{P\left( B \right)}$ حاصل آن به‌دست می‌آید:

$P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{P\left( A\bigcap B \right)}{P\left( B \right)}=\frac{\frac{6}{16}}{\frac{15}{16}}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

2- ستاد مرکزی معاینهٔ فنی خودروهای تهران در اواخر سال 1395 اعلام کرد: «امسال پرکاربردترین سال در عرصهٔ معاینهٔ فنی خودروهای کشور از ابتدای تأسیس تاکنون بوده و 870 هزار خودرو در تهران معاینهٔ فنی شده‌اند. امسال یکی از سخت‌ترین سال‌های مبارزه با آلودگی هوا بود ...»

در این طرح، سیزده مرکز مسئولیت معاینهٔ فنی خودروهای سبک را به‌عهده داشتند، فرض کنید جدول زیر آمار خودروهای مراجعه کرده و خودروهای مردودی در معاینهٔ فنی باشد: (تعداد به هزار دستگاه است.)

شماره مرکز	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
تعداد مراجعه	60	77	86	85	79	79	56	59	48	50	55	51	85
تعداد مردودی	28	16	12	17	26	10	14	14	29	30	22	22	18

خودرویی را از بین خودروهای مراجعه کرده انتخاب می‌کنیم.

الف) خودروی انتخابی به چه احتمالی مردود شده است؟

فرض می‌کنیم A پیشامد مردود شدن یک خودرو باشد و $\left( i=1,2,3,...,13 \right){{B}_{i}}$ پیشامد این باشد که خودروی انتخابی از مرکز شماره $i$ باشد. برای به‌دست آوردن $P\left( A \right)$ از قانون احتمال کل استفاده می‌کنیم:

$P\left( A \right)=\sum\limits_{k=1}^{13}{P{{\left( {{B}_{k}} \right)}_{k}}}=P\left( {{B}_{1}} \right)P\left( A\left| {{B}_{1}} \right. \right)+P\left( {{B}_{2}} \right)P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)...+P\left( {{B}_{13}} \right)P\left( A\left| {{B}_{13}} \right. \right)$

حالا احتمال‌هایی که نیاز داریم را محاسبه می‌کنیم و در رابطهٔ بالا قرار می‌دهیم.
از آن‌جایی‌که 13 مرکز وجود دارد احتمال انتخاب هر مرکز $\frac{1}{13}$ است، پس حاصل همهٔ $P\left( {{B}_{i}} \right)$ها $\frac{1}{13}$ است:

$P\left( {{B}_{1}} \right)=P\left( {{B}_{2}} \right)=P\left( {{B}_{3}} \right)=...=P\left( {{B}_{13}} \right)=\frac{1}{13}$

$P\left( A\left| {{B}_{i}} \right. \right)$ یعنی احتمال اینکه خودروی انتخابی مردود شده باشد به شرطی که از مرکز شماره‌ٔ i باشد.
با توجه به داده‌های جدول مقدار هر کدام از $P\left( A\left| {{B}_{i}} \right. \right)$ها به‌صورت زیر است:

$P\left( A\left| {{B}_{1}} \right. \right)=\frac{28}{60}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)=\frac{16}{77}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)=\frac{12}{86}\,\,\,,\,\,P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)=\frac{17}{85}\,$
$P\left( A\left| {{B}_{5}} \right. \right)=\frac{26}{79}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{6}} \right. \right)=\frac{10}{79}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{7}} \right. \right)=\frac{14}{56}\,\,\,,\,\,P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)=\frac{14}{59}\,$
$P\left( A\left| {{B}_{9}} \right. \right)=\frac{29}{48}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{10}} \right. \right)=\frac{30}{50}\,\,\,,\,\,\,P\left( A\left| {{B}_{11}} \right. \right)=\frac{22}{55}\,\,\,,\,\,P\left( A\left| {{B}_{12}} \right. \right)=\frac{22}{51}\,$
$P\left( A\left| {{B}_{13}} \right. \right)=\frac{18}{85}$

بنابراین حاصل $P\left( A \right)$ برابر است با:

$\begin{align}
  & P\left( A \right)=\left( \frac{1}{13}\times \frac{28}{60} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{16}{77} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{12}{86} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{17}{85} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{26}{79} \right) \\ 
 & +\left( \frac{1}{13}\times \frac{10}{79} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{14}{56} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{14}{59} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{29}{48} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{30}{50} \right) \\ 
 & +\left( \frac{1}{13}\times \frac{22}{55} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{22}{51} \right)+\left( \frac{1}{13}\times \frac{18}{85} \right)=\frac{1}{13} \\ 
 & \times \left( \frac{28}{60}+\frac{16}{77}+\frac{12}{86}+\frac{17}{85}+\frac{26}{79}+\frac{10}{79}+\frac{14}{56}+\frac{14}{59}+\frac{29}{48}+\frac{30}{50}+\frac{22}{55}+\frac{22}{5}+\frac{18}{85} \right) \\ 
 & \simeq \frac{1}{13}\times 4=\frac{4}{13} \\ 
\end{align}$

حاصل عبارت داخل پرانتز تقریباً‌ 3/9925 می‌شود که ما مساوی 4 در نظر گرفتیم.

ب) اگر بدانیم آن خودرو به مرکز شمارهٔ 5 مراجعه کرده، جواب سؤال قبل چند است؟

احتمال اینکه خودروی انتخابی مردود شده باشد اگر بدانیم به مرکز شماره 5 مراجعه کرده برابر $P\left( A\left| {{B}_{5}} \right. \right)$ است که در قسمت الف محاسبه کرده‌ایم:

$P\left( A\left| {{B}_{5}} \right. \right)=\frac{26}{79}$

پ) اگر بدانیم آن خودرو مردود شده است، احتمال اینکه به مرکز شمارهٔ 5 مراجعه کرده باشد چقدر است؟

با توجه به قانون بیز داریم:

$P\left( {{B}_{5}}\left| A \right. \right)=\frac{P\left( {{B}_{5}} \right)\times P\left( A\left| {{B}_{5}} \right. \right)}{P\left( A \right)}\Rightarrow P\left( {{B}_{5}}\left| A \right. \right)=\frac{\frac{1}{3}\times \frac{26}{79}}{\frac{4}{13}}\simeq 0/082$

3- بررسی‌های آماری نشان داده است که اگر یک روز ساحل جزیرهٔ هرمز آرام باشد، فردای آن روز به احتمال 90 درصد آرام و به احتمال 10 درصد طوفانی است و اگر ساحل در یک روز طوفانی باشد فردای آن روز به احتمال 50 درصد آرام و به احتمال 50 درصد طوفانی است.

اگر امروز ساحل آرام باشد، احتمال اینکه در دو روز بعد ساحل طوفانی باشد چقدر است؟

فرض می‌کنیم A پیشامد این باشد که روز اول (فردا) ساحل طوفانی باشد و B پیشامد این باشد که روز دوم (پس فردا) ساحل طوفانی باشد. آنچه مسئله از ما خواسته است محاسبهٔ احتمال $P\left( A\bigcap B \right)$ است.
طبق قانون ضرب احتمال داریم:

$P\left( A\bigcap B \right)=P\left( A \right)\times P\left( B\left| A \right. \right)$

$P\left( A \right)$ احتمال طوفانی بودن روز اول است. از آن‌جایی‌که امروز ساحل آرام است، بنابراین احتمال طوفانی بودن فردا 10 درصد است پس $P\left( A \right)=\frac{10}{100}$

$P\left( B\left| A \right. \right)$ احتمال طوفانی بودن روز دوم است به شرطی که روز اول هم طوفانی باشد که در این‌صورت با توجه به فرض مسئله احتمال آن 50 درصد است پس $P\left( B\left| A \right. \right)=\frac{50}{100}$

در نتیجه:

$P\left( A\bigcap B \right)=\frac{10}{100}\times \frac{50}{100}=\frac{50}{100\times 100}=\frac{5}{100}=5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$

اگر امروز ساحل آرام باشد، 5 درصد احتمال دارد در دو روز آینده ساحل طوفانی باشد.

4- قانون ضرب احتمال برای سه پیشامد را ثابت کنید: $P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)$

$\begin{align}
  & P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)\times \frac{P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right)}{P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right)}\times \frac{P\left( {{A}_{1}} \right)}{P\left( {{A}_{1}} \right)} \\ 
 & =\frac{P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)}{P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right)}\times \frac{P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right)}{P\left( {{A}_{1}} \right)}\times P\left( {{A}_{1}} \right) \\ 
 & =P\left( {{A}_{3}}\left| P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{1}} \right) \\ 
 & \Rightarrow P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right) \\ 
\end{align}$

5- قانون ضرب احتمال n پیشامد را بنویسید. اگر بخواهیم از این قانون برای محاسبهٔ احتمال اشتراک n پیشامد استفاده کنیم،‌ به چند حالت مختلف این کار قابل انجام است؟

$\begin{align}
  & P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap ...{{A}_{n}} \right)= \\ 
 & P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}} \right)\left( \left. {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right)\times ... \\ 
 & \times P\left( {{A}_{n}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap ...{{A}_{n-1}} \right) \right. \right) \\ 
\end{align}$

از آن‌جایی‌که علامت اشتراک $\bigcap $ خاصیت جابه‌جایی دارد به هر ترتیبی که این n مجموعه را کنار هم بچینیم یک حاصل‌ضرب مانند بالا برای آن می‌توان نوشت پس این کار به $n!$ روش قابل انجام است.
به‌طور مثال اگر $n=3$ باشد، حاصل $P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)$ را به $3!=6$ روش مختلف می‌توان نوشت:

$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{2}} \right)=P\left( {{A}_{1}} \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| {{A}_{1}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| \left( {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{3}} \right)=P\left( {{A}_{2}} \right)\times P\left( {{A}_{1}}\left| {{A}_{2}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| \left( {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{1}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{1}} \right)=P\left( {{A}_{2}} \right)\times P\left( {{A}_{3}}\left| {{A}_{2}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{1}}\left| \left( {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{3}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{1}}\bigcap {{A}_{2}} \right)=P\left( {{A}_{3}} \right)\times P\left( {{A}_{1}}\left| {{A}_{3}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| \left( {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{1}} \right) \right. \right)$
$P\left( {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{2}}\bigcap {{A}_{1}} \right)=P\left( {{A}_{3}} \right)\times P\left( {{A}_{2}}\left| {{A}_{3}} \right. \right)\times P\left( {{A}_{1}}\left| \left( {{A}_{3}}\bigcap {{A}_{2}} \right) \right. \right)$

6- جمعیت بزرگسال ساکن در یک روستا، 55 درصد زن و 45 درصد مرد است. می دانیم که 20 درصد زنان بزرگسال و 70 درصد مردان بزرگسال در این روستا گواهینامهٔ تراکتور دارند. اگر بزرگسالی را از ساکنان روستا به تصادف انتخاب کنیم، احتمال اینکه گواهینامهٔ تراکتور داشته باشد چقدر است؟

فرض می‌کنیم:

A پیشامد این باشد که فرد انتخاب شده گواهینامه داشته باشد.
B پیشامد این باشد که فرد انتخاب شده مرد باشد $\leftarrow $ و در این‌صورت ${B}'$ پیشامد این است که فرد انتخاب شده زن باشد. از آن‌جا که B و ${B}'$ فضای نمونه را افراز می‌کنند، برای پیشامد A داریم:

$P\left( A \right)=P\left( B \right)P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)$

با توجه به داده‌های مسئله داریم:

$P\left( B \right)=\frac{45}{100}\,\,\,,\,\,\,\,P\left( {{B}'} \right)=\frac{55}{100}$
$P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{70}{100}\,\,\,\,,\,\,\,\,P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)=\frac{20}{100}\,\,$

$P\left( A\left| B \right. \right)$ یعنی احتمال اینکه فرد انتخاب شده گواهینامه داشته باشد به شرطی که مرد باشد. $70{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\leftarrow $
$P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)$ یعنی احتمال اینکه فرد انتخاب شده گواهینامه داشته باشد به شرطی که زن باشد. $20{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}\leftarrow $

در نتیجه با توجه به رابطهٔ $P\left( A \right)$ داریم:

$\begin{align}
  & P\left( A \right)=\frac{45}{100}\times \frac{70}{100}+\frac{55}{100}\times \frac{20}{100}=0/45\times 0/70+0/20=0/315+0/11=0/425 \\ 
 & \Rightarrow P\left( A \right)=0/425=42/5{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }} \\ 
\end{align}$

7- دو ظرف داریم. در اوّلی 4 مهره سبز و 3 مهره قرمز و در دومی 3 مهره سبز و 5 مهره قرمز وجود دارد. از ظرف اوّل یک مهره به طور تصادفی برمی‌داریم و بدون مشاهده آن را به ظرف دوم منتقل می‌کنیم. اکنون یک مهره از ظرف دوم بیرون می‌آوریم؛ با چه احتمالی این مهره سبز است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که مهره‌ای که از ظرف دوم بیرون می‌آوریم سبز باشد.
B پیشامد این باشد که مهره جابه‌جا شده سبز باشد.
${B}'$ پیشامد این باشد که مهره جابه‌جا شده سبز نباشد (قرمز باشد)
در این‌صورت با توجه به اینکه B و ${B}'$ فضای نمونه را افراز می‌کنند برای پیشامد A داریم:

$P\left( A \right)=P\left( B \right)P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)$

در ظرف اول 4 مهره سبز و 3 مهره قرمز وجود دارد، احتمال اینکه مهره‌ای که جابه‌جا سبز باشد، $\frac{4}{7}$ است: 
$P\left( B \right)=\frac{4}{7}$ و احتمال اینکه مهره جابه‌جا شده قرمز باشد $\frac{3}{7}$ است: $P\left( {{B}'} \right)=\frac{3}{7}$
$P\left( A\left| B \right. \right)$ یعنی احتمال اینکه مهره‌ای که از ظرف دوم بیرون می‌آوریم سبز باشد به شرطی که مهره‌ای که جابه‌جا شد هم سبز باشد، اگر مهره جابه‌جا شده سبز باشد در ظرف دوم 4 مهره سبز و 5 مهره قرمز خواهیم داشت، بنابراین احتمال اینکه مهره‌ای که بیرون می‌آوریم سبز باشد $\frac{4}{9}$ است:

$P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)=\frac{4}{9}$

در نتیجه با توجه به رابطه‌ای که برای $P\left( A \right)$ گفتیم داریم:

$\begin{align}
  & P\left( A \right)=P\left( B \right)P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)P\left( A\left| {{B}'} \right. \right) \\ 
 & =\frac{4}{7}\times \frac{4}{9}+\frac{3}{7}\times \frac{4}{9}=\frac{16}{63}+\frac{12}{63}=\frac{28}{63}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{28}{63} \\ 
\end{align}$

8- در شهری 60 درصد راننده‌ها مرد و 40 درصد زن هستند. احتمال اینکه یک راننده‌ٔ مرد، وقتی چراغ راهنمایی قرمز است، روی خط عابر توقف کند 0/05 است و زن‌ها چنین تخلفی را به احتمال 0/01 انجام می‌دهند. احتمال اینکه یک راننده در این شهر هنگام قرمز بودن چراغ راهنمایی روی خط عابر توقف کند چقدر است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که راننده روی خط عابر توقف کند.
B پیشامد این باشد که راننده مرد باشد.
${B}'$ پیشامد این باشد که راننده زن باشد.

از آن‌جایی‌که B و ${B}'$ فضای نمونه را افراز می‌کنند برای پیشامد A می‌توانیم رابطهٔ زیر را بنویسیم:

$P\left( A \right)=P\left( B \right)\times P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)\times P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)$

با توجه به فرضیات مسئله:
احتمال مرد بودن راننده 60 درصد است: $P\left( B \right)=0/60$
احتمال زن بودن راننده 40 درصد است: $P\left( {{B}'} \right)=0/40$
احتمال اینکه روی خط عابر پیاده توقف کند اگر راننده مرد باشد 0/05 است: $P\left( A\left| B \right. \right)=0/05$
احتمال اینکه روی خط عابر پیاده توقف کند اگر راننده زن باشد 0/01 است: $P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)=0/01$

در نتیجه با توجه به رابطه‌ای که برای $P\left( A \right)$ گفتیم داریم:

$P\left( A \right)=0/6\times 0/05+0/40\times 0/01=0/03+0/004=0/034\Rightarrow P\left( A \right)=0/034$

9- در دو جعبه به‌ترتیب، 10 و 12 لامپ موجود است. در جعبهٔ اوّل 4 لامپ و در جعبهٔ دوم 3 لامپ معیوب است. از هر کدام از جعبه‌ها 5 لامپ به‌تصادف انتخاب و در یک جعبه جدید قرار می‌دهیم. احتمال آنکه لامپ انتخابی از جعبهٔ جدید، معیوب باشد را محاسبه کنید.

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که لامپ انتخابی معیوب باشد.
B پیشامد این باشد که لامپ انتخابی متعلق به جعبه اول باشد (از جعبه اول به جعبه جدید منتقل شده باشد.)
${B}'$ پیشامد این باشد که لامپ انتخابی متعلق به جعبه دوم باشد (از جعبه دوم به جعبه جدید منتقل شده باشد.)
با توجه به اینکه B و ${B}'$ فضای نمونه را افراز می‌کنند، می‌توانیم برای پیشامد A رابطهٔ زیر را بنویسیم:

$P\left( A \right)=P\left( B \right)P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)P\left( A\left| B \right. \right)$

با توجه به فرضیات مسئله می‌توانیم بگوییم:
در جعبهٔ جدید 5 لامپ از جعبهٔ اول و 5 لامپ از جعبهٔ دوم وجود دارد. پس احتمال اینکه لامپ انتخابی از جعبهٔ اول باشد $\frac{5}{10}$ است:

$P\left( B \right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

و احتمال اینکه لامپ انتخابی از جعبهٔ دوم باشد نیز $\frac{5}{10}$ است.

$P\left( {{B}'} \right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

احتمال اینکه لامپ انتخابی معیوب باشد به شرطی که از جعبهٔ اول بوده باشد $\frac{4}{10}$ است:

$P\left( A\left| B \right. \right)=\frac{4}{10}$

زیرا در جعبهٔ اول از 10 لامپ 4 تا معیوب هستند.
و احتمال اینکه لامپ انتخابی معیوب باشد به شرطی که از جعبهٔ دوم بوده باشد $\frac{3}{12}$ است:

$P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)=\frac{3}{12}$

زیرا در جعبهٔ دوم از 12 لامپ 3 تا معیوب هستند. 
در نتیجه با توجه به رابطه‌ای که برای $P\left( A \right)$ گفتیم مقدار آن قابل محاسبه است.

$P\left( A \right)=\frac{1}{2}\times \frac{4}{10}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{12}=\frac{4}{20}+\frac{3}{24}=\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{8+5}{40}=\frac{13}{40}\Rightarrow P\left( A \right)=\frac{13}{40}$

10- 50 درصد واجدین شرایط در شهر A و 80 درصد واجدین شرایط در شهر B در انتخابات شورای شهر شرکت کرده‌اند. اگر تعداد واجدین شرایط شهر A سه برابر تعداد واجدین شرایط شهر B باشد و فردی به تصادف از بین رأی‌دهنده‌های این دو شهر انتخاب شود، به چه احتمالی از شهر A خواهد بود؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد آن باشد که فرد انتخابی از شهر A باشد.
B پیشامد آن باشد که فرد انتخابی از شهر B باشد.
C پیشامد آن باشد که فرد انتخابی در انتخابات شرکت کرده باشد.
آنچه که مسئله از ما خواسته است محاسبه‌ $P\left( {A\left| C \right.} \right)$ یعنی احتمال اینکه فرد انتخابی از شهر A باشددر صورتی‌که در انتخابات شرکت کرده باشد(چون فرد انتخابی را از بین رای‌دهنده‌ها انتخاب می‌کنیم.)
با توجه به قانون بیز می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

$P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right) \times P\left( {C\left| A \right.} \right)}}{{P\left( C \right)}}$

و به‌کمک قانون احتمال کل:

$P\left( C \right) = P\left( A \right) \times P\left( {C\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \times P\left( {C\left| B \right.} \right)$

در نتیجه رابطه $P\left( {A\left| C \right.} \right)$ را می‌توانیم به شکل زیر بنویسیم:

$P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right) \times P\left( {C\left| A \right.} \right)}}{{P\left( A \right) \times P\left( {C\left| A \right.} \right) + P\left( B \right) \times P\left( {C\left| B \right.} \right)}}$

تعداد واجدین شرایط شهر A، سه برابر واجدین شرایط شهر B است، یعنی $n\left( A \right) = 3n\left( B \right)$ پس می‌توانیم بگوییم: $P\left( A \right) = 3P\left( B \right)$
$P\left( {C\left| A \right.} \right)$ یعنی احتمال اینکه فرد انتخابی رأی داده باشد اگر از شهر A باشد که طبق گفته سؤال 50 درصد است: $P\left( {C\left| A \right.} \right) = 0/50$
$P\left( {C\left| B \right.} \right)$ یعنی احتمال اینکه فرد انتخابی رأی داده باشد اگر از شهر B باشد که طبق گفته سؤال 80 درصد است: $P\left( {C\left| B \right.} \right) = 0/80$
حال اعداد و روابط را به‌دست آمده را در رابطه $P\left( {C\left| A \right.} \right)$ جای‌گذاری می‌کنیم:

$\eqalign{
  & P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{P\left( A \right) \times 0/50}}{{P\left( A \right) \times 0/50 + P\left( B \right) \times 0/80}}P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{3P\left( B \right) \times 0/50}}{{3P\left( B \right) \times 0/50 + P\left( B \right) \times 0/80}}  \cr 
  & P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{1/5P\left( B \right)}}{{1/5P\left( B \right) + 0/8P\left( B \right)}} = \frac{{1/5P\left( B \right)}}{{2/3P\left( B \right)}} = \frac{{15}}{{23}} \Rightarrow P\left( {A\left| C \right.} \right) = \frac{{15}}{{23}} \cr} $

پس احتمال اینکه فرد انتخابی از شهر A باشد $\frac{{15}}{{23}}$ است.

11- احتمال مبتلا شدن به یک بیماری خاص برای کودکی که واکسن زده 0/002 و برای کودکی که واکسن نزده 0/1 است. اگر در شهری 90 درصد کودکان، واکسن زده باشند، احتمال اینکه یک کودک از این شهر به این بیماری مبتلا شود چقدر است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که کودک به این بیماری مبتلا شود.
B پیشامد این باشد که کودک واکسن زده باشد.
$B'$ پیشامد این باشد که کودک واکسن نزده باشد.
با توجه به اینکه B و $B'$ فضای نمونه را افراز می‌کنند برای پیشامد A می‌توانیم رابطهٔ زیر را بنویسیم:

$P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A\left| B \right.} \right) + P\left( {B'} \right)P\left( {A\left| {B'} \right.} \right)$

و با توجه به فرض‌ها و داده‌های مسئله:
احتمال اینکه یک کودک واکسن زده باشد 90 درصد است: $P\left( B \right) = 0/90$
و احتمال اینکه یک کودک واکسن نزده باشد 10 درصد است: $P\left( {B'} \right) = 0/10$
احتمال اینکه یک کودک به بیماری مبتلا شود اگر واکسن نزده باشد 0/002 است: $P\left( {A\left| B \right.} \right) = 0/002$
و احتمال اینکه یک کودک به بیماری مبتلا نشود اگر واکسن نزده باشد 0/1 است: $P\left( {A{{\left| B \right.}^\prime }} \right) = 0/1$
در نتیجه:

$P\left( A \right) = 0/9 \times 0/002 + 0/10 \times 0/1 = 0/0018 + 0/01 = 0/0118 \Rightarrow P\left( A \right) = 0/0118$

بنابراین احتمال اینکه یک کودک به بیماری مبتلا شود 0/0118 است.

12- قانون بیز را ثابت کنید:

$P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_i}} \right)P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)}}{{P\left( A \right)}}$

راهنمایی: در دو طرف تساوی از تعریف احتمال شرطی استفاده کنید، تا درستی آن‌را ببینید.

دو مجموعه A و ${B_i}$ را در نظر بگیرید، با توجه به تعریف احتمال شرطی داریم:

$P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_i} \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} \Rightarrow P\left( {{B_i} \cap A} \right) = P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right)P\left( A \right)$
$P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap {B_i}} \right)}}{{P\left( {{B_i}} \right)}} \Rightarrow P\left( {A \cap {B_i}} \right) = P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)P\left( {{B_i}} \right)$
$ \Rightarrow P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right) \times P\left( A \right) = P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)P\left( {{B_i}} \right)$
$ \Rightarrow P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)P\left( {{B_i}} \right)}}{{P\left( A \right)}}$
$ \Rightarrow P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_i}} \right)P\left( {A\left| {{B_i}} \right.} \right)}}{{P\left( A \right)}}$

می‌دانیم: ${B_i} \cap A = A \cap {B_i}$ لذا $P\left( {{B_i} \cap A} \right) = P\left( {A \cap {B_i}} \right)$

13- امیر و بابک عضو تیم ده نفره والیبال مدرسه‌اند. در این تیم قد هیچ دو نفری برابر نیست. اگر بدانیم امیر از بابک بلندتر است، احتمال اینکه امیر بلندقدترین عضو تیم باشد چقدر است؟ احتمال اینکه امیر از نظر بلندی قد، نفر نهم باشد چقدر است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که امیر از بابک بلندتر است.
${B_i}$ پیشامد این باشد که امیر از لحاظ قدی نفر i‌ام باشد ${B_1}$ بلندقدترین فرد و ${B_{10}}$ کوتاه قدترین فرد)
قسمت اول مسئله گفته است اگر امیر از بابک بلندتر است احتمال اینکه امیر بلندقدترین عضو تیم باشد، چقدر است؟ یعنی باید $P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right)$ را محاسبه کنیم.
برای محاسبهٔ $P\left( {{B_i}\left| A \right.} \right)$ از قانون بیز استفاده می‌کنیم:

$P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right) \times P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)}}{{P\left( A \right)}}$

$P\left( {{B_i}} \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر بلندقدترین فرد باشد: اگر امیر نفر اول باشد سایر افراد $9!$ جایگشت دارند، کل جایگشت‌ها هم  $10!$ است، پس احتمال آن $\frac{{9!}}{{10!}}$ است.

$P\left( {{B_1}} \right) = \frac{{9!}}{{10!}} \times \frac{{9!}}{{10 \times 9!}} = \frac{1}{{10}}$

$P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر از بابک بلندتر باشد به شرطی که امیر نفر اول باشد: بدیهی است احتمال آن 1 است، زیرا امیر بلندقدترین فرد است، پس از بابک هم بلندتر است:

$P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right) = 1$ 

$P\left( A \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر از بابک بلندتر باشد: $\frac{1}{2}$ است. زیرا یا امیر بلندتر است یا بابک.

$P\left( A \right) = \frac{1}{2}$

در نتیجه:

$P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) = \frac{{\frac{1}{{10}} \times 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{1}{{10}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{{10}} = \frac{1}{5}$

احتمال اینکه امیر از نظر بلندی قد، نفر نهم باشد، چقدر است؟

یعنی باید $P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right)$ را محاسبه کنیم:

$P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)}}{{P\left( A \right)}}$

$P\left( {{B_1}} \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر نفر نهم باشد: مانند حالت قبل اگر امیر در جایگاه نهم باشد سایر افراد $9!$ جایگشت دارند، کل جایگشت‌ها هم $9!$ است، پس احتمال آن $\frac{{9!}}{{10!}} = \frac{1}{{10}}$
$P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر از بابک بلندتر باشد، اگر امیر نفر نهم باشد: اگر امیر در جایگاه نهم باشد برای این امیر از بابک بلندتر باشد، باید بابک نفر دهم باشد. یعنی از 9 جایگاه باقی‌مانده فقط یکی برای بابک می‌تواند باشد، لذا احتمال آن $\frac{1}{9}$ است.

$P\left( A \right)$ یعنی احتمال اینکه امیر از بابک بلندتر باشد: $P\left( A \right) = \frac{1}{2} \leftarrow $

در نتیجه: 

$P\left( {{B_9}\left| A \right.} \right) = \frac{{\frac{1}{{10}} \times \frac{1}{9}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{1}{{90}}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{2}{{90}} = \frac{1}{{45}}$

14- علی و مازیار هر کدام به‌ترتیب، با احتمال‌های 0/3 و 0/4 برای دیدن یک مسابقهٔ ورزشی به ورزشگاه می‌روند. اگر علی به ورزشگاه رفته باشد، مازیار با احتمال 0/08 به ورزشگاه می‌رود.
فرض کنید علی به ورزشگاه نرفته باشد. با چه احتمالی مازیار نیز به ورزشگاه نرفته است؟

این سؤال با داده‌های مسئله نادرست است، زیرا:

$A \to P\left( A \right) = 0/4$ پیشامد اینکه علی به ورزشگاه برود.
$B \to P\left( B \right) = 0/3$ پیشامد اینکه مازیار به ورزشگاه برود.
$P\left( {B\left| A \right.} \right) = 0/8$ پیشامد اینکه مازیار به ورزشگاه برود.

$ \Rightarrow P\left( {B\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = 0/8 = \frac{{P\left( {A \cap B} \right)}}{{0/4}}$

$ \Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = 0/8 \times 0/4 = 0/32$ اگر علی به ورزشگاه رفته باشد.

می‌دانیم احتمال اشتراک دو پیشامد کوچک‌تر یا مساوی احتمال تک‌تک آن دو پیشامد است، در حالی‌که در این مسئله $P\left( B \right) \lt  P\left( {A \cap B} \right)$ شده است و این از لحاظ علمی غلط است. بنابراین داده‌های مسئله اشتباه است!
احتمالاً طرح سؤال جای 0/3 و 0/4 را اشتباه کرده است و اگر $P\left( A \right) = 0/3$ و $P\left( B \right) = 0/4$ شود مسئله درست می‌شود.)

15- خانم‌ها اکبری، برنا و چمنی نسخه‌خوان‌های یک مؤسسهٔ انتشاراتی‌اند که به‌ترتیب، 20، 30 و 50 درصد از کارهای نسخه‌خوانی را انجام می‌دهند. احتمال اینکه این سه نفر صفحه‌ای که به آنها سپرده شده را بی‌غلط تصحیح کنند به‌ترتیب 0/9، 0/95 و 0/99 است. صفحه‌ای نسخه‌خوانی شده، ولی هنوز غلط دارد. احتمال اینکه مسئول خواندن آن صفحه خانم اکبری بوده باشد چقدر است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که صفحه نسخه‌خوانی شده غلط دارد.
${B_1}$ پیشامد این باشد که صفحه موردنظر را خانم اکبری تصحیح کرده است.
${B_2}$ پیشامد این باشد که صفحه موردنظر را خانم برنا تصحیح کرده است.
${B_3}$ پیشامد این باشد که صفحه موردنظر را خانم چمنی تصحیح کرده است.
آنچه که مسئله از ما خواسته است محاسبه احتمال $P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right)$ می‌باشد.
یعنی اگر صفحه‌ای دارای غلط باشد، چقدر احتمال دارد خانم اکبری مسئول آن بوده باشد. با توجه به قانون بیز داریم:

$P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) = \frac{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right)}}{{P\left( {{B_1}} \right)P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right) + P\left( {{B_2}} \right)P\left( {A\left| {{B_2}} \right.} \right) + P\left( {{B_3}} \right)P\left( {A\left| {{B_3}} \right.} \right)}}$

با توجه به فرض‌های مسئله می‌توانیم بگوییم:

احتمال اینکه خانم اکبری غلط تصحیح کند: $P\left( {{B_1}} \right) = 0/20\,\,\,,\,\,\,P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right) = 1 - 0/9 = 0/10 \to $

احتمال اینکه خانم برنا غلط تصحیح کند: $P\left( {{B_2}} \right) = 0/30\,\,\,,\,\,\,P\left( {A\left| {{B_2}} \right.} \right) = 1 - 0/95 = 0/05 \to $

احتمال اینکه خانم چمنی غلط تصحیح کند: $P\left( {{B_3}} \right) = 0/50\,\,\,,\,\,\,P\left( {A\left| {{B_3}} \right.} \right) = 1 - 0/99 = 0/01 \to $

این مقادیر را در کسر بالا جای‌گذاری می‌کنیم:

$\eqalign{
  & P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) = \frac{{0/20 \times 0/10}}{{0/20 \times 0/10 + 0/30 \times 0/05 + 0/50 \times 0/01}} = \frac{{0/02}}{{0/02 + 0/015 + 0/005}}  \cr 
  &  = \frac{{0/02}}{{0/175}} = 0/114 \cr} $
$P\left( {{B_1}\left| A \right.} \right) =  = 0/0114 = 11/4{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle ^\circ $}
\kern-0.1em/\kern-0.15em
\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle ^\circ $}}$

16- فرض کنید از بین چهار کارت با شماره‌های 1 تا 4، کارتی را به‌تصادف انتخاب می‌کنیم و سپس سکه‌ای را به تعداد عدد کارت پرتاب می‌کنیم. اگر 2 بار رو بیاید، احتمال اینکه شمارهٔ کارت خارج شده 3 باشد چقدر است؟

فرض می‌کنیم:
A پیشامد این باشد که 2 بار رو بیاید.
${B_1}$ پیشامد این باشد که کارت شماره 1 خارج شده باشد.
${B_2}$ پیشامد این باشد که کارت شماره 2 خارج شده باشد.
${B_3}$ پیشامد این باشد که کارت شماره 3 خارج شده باشد.
${B_4}$ پیشامد این باشد که کارت شماره 4 خارج شده باشد.
آنچه که مسئله از ما خواسته محاسبه با توجه به فرض‌های مسئله می‌توانیم بگوییم:
- احتمال انتخاب هر کارت با بقیه یکسان است، بنابراین $P\left( {{B_1}} \right) = P\left( {{B_2}} \right) = P\left( {{B_3}} \right) = P\left( {{B_4}} \right) = \frac{1}{4}$
احتمال اینکه 2 بار رو بیاید، اگر کارت شماره 1 خارج شود، صفر است، زیرا با کارت شماره 1 فقط یک‌بار سکه را پرتاب می‌کنیم، پس امکان ندارد 2 بار رو بیاید $P\left( {A\left| {{B_1}} \right.} \right) = 0 \leftarrow $
احتمال اینکه 2 بار رو بیاید اگر کارت شماره 2 خارج شود، $P\left( A\left| {{B}_{2}} \right. \right)=\frac{\left( \begin{matrix}
   2  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)}{{{2}^{2}}}=\frac{1}{4}\leftarrow $
زیرا تعداد کل حالت‌های دو سکه $2\times 2=4$ است و تعداد حالت‌هایی که هر دو رو شوند $\left( \begin{matrix}
   2  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=1$ می‌باشد.
احتمال اینکه 2 بار رو بیاید اگر کارت شماره 3 خارج شود $\frac{3}{8}$ است $P\left( A\left| {{B}_{3}} \right. \right)=\frac{\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)}{{{2}^{3}}}=\frac{3}{8}\leftarrow $
زیرا تعداد کل حالت‌های سه سکه $2 \times 2 \times 2 = 8$ است و تعداد حالت‌هایی که دو بار رو بیاید $\left( \begin{matrix}
   3  \\
   2  \\
\end{matrix} \right)=3$ می‌باشد.
احتمال اینکه 2 بار رو بیاید اگر کارت شماره 4 خارج شود $\frac{6}{16}$ است $P\left( A\left| {{B}_{4}} \right. \right)=\frac{\left( \begin{matrix}   4 \\   2 \\ \end{matrix} \right)}{{{2}^{4}}}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\leftarrow $
زیرا تعداد کل حالت‌های 4 سکه $2 \times 2 \times 2 = 8$ است و تعداد حالت‌هایی که دو بار رو بیاید $\left( \begin{matrix}   4 \\   2 \\ \end{matrix} \right)=6$  می‌باشد.
با جای‌گذاری این اعداد در رابطه بیز داریم:

$\eqalign{
  & P\left( {{B_3}\left| A \right.} \right) = \frac{{\frac{1}{4} \times \frac{3}{8}}}{{\frac{1}{4} \times 0 + \frac{1}{4} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{8} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{8}}} = \frac{{\frac{1}{4} \times \frac{3}{8}}}{{\frac{1}{4}\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8}} \right)}}  \cr 
  &  = \frac{{\frac{3}{8}}}{{\frac{2}{8} + \frac{3}{8} + \frac{3}{8}}} = \frac{{\frac{3}{8}}}{{\frac{8}{8}}} = \frac{3}{8} \Rightarrow P\left( {{B_3}\left| A \right.} \right) = \frac{3}{8} \cr} $

اگر 2 بار بیاید، احتمال اینکه کارت شماره 3 خارج شده باشد، $\frac{3}{8}$ است. 

17- یک شرکت بیمه، بیمه‌گزاران خود را به دو گروه تقسیم کرده است؛ گروه «پرخطر» که در یک‌سال با احتمال 0/4 تصادف می‌کنند و گروه «کم‌خطر» که احتمال تصادف کردن آنها در یک‌سال 0/2 است. می‌دانیم که 30 درصد بیمه‌گذاران پرخطرند.

الف) احتمال اینکه یک بیمه‌گزار در سال آینده تصادف کند را به‌دست آورید.

فرض می‌کنیم: 
A پیشامد این باشد که یک بیمه‌گذار تصادف کند.
B پیشامد این باشد که یک بیمه‌گذار جزو گروه «پرخطر» باشد.
${B}'$ پیشامد این باشد که یک بیمه‌گذار جزو گروه «کم‌خطر» باشد.
آنچه مسئله در قسمت الف از ما خواسته است $P\left( A \right)$ می‌باشد.
با توجه به قانون احتمال کل و دو مجموعهٔ B و ${B}'$ که فضای نمونه را افراز می‌کنند رابطهٔ زیر را برای $P\left( A \right)$ می‌توانیم بنویسیم:

$P\left( A \right)=P\left( B \right)P\left( A\left| B \right. \right)+P\left( {{B}'} \right)P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)$

طبق فرضیات مسئله داریم:

$P\left( B \right)=30{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}=0/30\Rightarrow P\left( {{B}'} \right)=1-0/30=0/70$

احتمال اینکه بیمه‌گذار تصادف کند اگر جزو گروه پرخطر باشد. $P\left( A\left| B \right. \right)=0/4$

احتمال اینکه بیمه‌گذار تصادف کند اگر جزو گروه کم‌خطر باشد. $P\left( A\left| {{B}'} \right. \right)=0/2$

در نتیجه:

$P\left( A \right)=0/3\times 0/4+0/7\times 0/2=0/12+0/14=0/26\Rightarrow P\left( A \right)=0/26$

احتمال اینکه یک بیمه‌گذار تصادف کند 0/25 یا 26 درصد است.

ب) اگر یک بیمه‌گزار در سال گذشته تصادف کرده باشد، احتمال اینکه جزء گروه پرخطر باشد چقدر است؟

آنچه مسئله در قسمت ب از ما خواسته است $P\left( B\left| A \right. \right)$ می‌باشد.
به‌کمک رابطه بیز مقدار $P\left( B\left| A \right. \right)$ را به‌دست می‌آوریم:

$P\left( B\left| A \right. \right)=\frac{P\left( B \right)\times P\left( A\left| B \right. \right)}{P\left( A \right)}$

مقادیر $P\left( A\left| B \right. \right)$ و $P\left( B \right)$ را از فرض مسئله داریم و مقدار $P\left( A \right)$ را نیز در قسمت الف محاسبه کردیم، پس:

$P\left( B\left| A \right. \right)=\frac{0/3\times 0/4}{0/26}=\frac{0/12}{0/26}=\frac{12}{26}=\frac{6}{13}\simeq 46{\scriptstyle{}^{{}^\circ }/{}_{{}^\circ }}$

احتمال اینکه اگر یک بیمه‌گذار تصادف کرده باشد، جزو گروه پرخطر باشد $\frac{6}{13}$ یا تقریباً 46 درصد است.