درسنامه آموزشی فصل دوم آمار و احتمال کلاس یازدهم علوم ریاضی

1) در پرتاب یک سکه‌ٔ ناسالم، احتمال آمدن «رو» نصف احتمال آمدن «پشت» است. در پرتاب این سکه، احتمال ظاهر شدن «رو» و احتمال ظاهر شدن «پشت» را به‌دست آورید.
در پرتاب سکه فضای نمونه‌ای عبارت است از {پشت و رو} $S=$ بنابراین:

$=1$ (پست) $P$ (رو) $P$

طبق فرض مسئله احتمال آمدن «رو» نصف آمدن «پشت» است، یعنی (پشت) $P=\frac{1}{2}$ با جای‌گذاری این رابطه در تساوی بالا داریم:

$=\frac{1}{2}\times \frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ (رو) $=\frac{2}{3}\Rightarrow P$ (پشت) $=1\Rightarrow P$ (پشت) $=1\Rightarrow \frac{3}{2}P$ (پشت) $P$ (پشت) $\frac{1}{2}P$

2) در پرتاب یک تاس، احتمال مشاهدهٔ هر عدد، متناسب با همان عدد است. اگر این تاس را به هوا پرتاب کنیم، احتمال اینکه عدد مشاهده شده، کمتر از 4 باشد را تعیین کنید.

طبق فرض مسئله اگر $P\left( 1 \right)=x$ باشد، داریم: $P\left( 2 \right)=2x\,,\,P\left( 3 \right)=3x\,,\,P\left( 4 \right)=4x\,,\,P\left( 5 \right)=5x\,,\,P\left( 6 \right)=6x$ از طرفی چون $S=\left\{ 1,2,3,4,5,6 \right\}$ می‌توانیم تساوی زیر را بنویسیم:

$\begin{align}
  & P\left( 1 \right)+P\left( 2 \right)+P\left( 3 \right)+P\left( 4 \right)+P\left( 5 \right)+P\left( 6 \right)=1 \\ 
 & \Rightarrow x+2x+3x+4x+5x+6x=1\Rightarrow 21x=1 \\ 
 & \Rightarrow x=\frac{1}{21}\Rightarrow P\left( 1 \right)=\frac{1}{21}\,,\,P\left( 2 \right)=\frac{2}{21}\,,\,P\left( 3 \right)=\frac{3}{21}\,,\,P\left( 4 \right)=\frac{4}{21}\,,\,P\left( 5 \right)=\frac{5}{21}\,,\,P\left( 6 \right)=\frac{6}{21} \\ 
\end{align}$ 

احتمال اینکه عدد مشاهده شده کمتر از 4 باشد، برابر است با:

$P\left( \left\{ 1,2,3 \right\} \right)=P\left( 1 \right)+P\left( 2 \right)+P\left( 3 \right)=\frac{1}{21}+\frac{2}{21}+\frac{3}{21}=\frac{6}{21}$

3) اگر $S=\left\{ a,b,c,d,e \right\}$ فضای نمونه‌ای یک آزمایش تصادفی و $A=\left\{ a,b \right\}$ و $B=\left\{ a,b,c,d \right\}$ و $C=\left\{ a,b,e \right\}$ سه پیشامد باشند به‌طوری‌که $P\left( A \right)=\frac{2}{7}$ و $P\left( B \right)=\frac{3}{5}$، مقدار $P\left( {{C}''} \right)$ را به‌دست آورید.

ابتدا مجموعهٔ ${C}'$ را به‌دست می‌آوریم:

$\begin{align}
  & {C}'=S-C=\left\{ a,b,c,d,e \right\}-\left\{ a,b,e \right\}=\left\{ c,d \right\} \\ 
 & \Rightarrow P\left( {{C}'} \right)=P\left( \left\{ c,d \right\} \right)=P\left( c \right)+P\left( d \right) \\ 
\end{align}$

با داشتن مجموعهٔ $B=\left\{ a,b,c \right\}$ و$P\left( B \right)=\frac{3}{5}$ می‌توانیم بنویسیم:

$P\left( a \right)+P\left( b \right)=\frac{2}{7}\,\,\left( 1 \right)$

و با داشتن مجموعهٔ $B=\left\{ a,b,c \right\}$ و $P\left( B \right)=\frac{3}{5}$ می‌توانیم بنویسیم:

$P\left( a \right)+P\left( b \right)+P\left( c \right)+P\left( d \right)=\frac{3}{5}\,\,\left( 2 \right)$

اگر رابطهٔ $\left( 2 \right)$ را منهای $\left( 1 \right)$ کنیم مقدار $P\left( c \right)+P\left( d \right)$ به‌دست می‌آید:

$\begin{align}
  & \left[ P\left( a \right)+P\left( b \right)+P\left( c \right)+P\left( d \right) \right]-\left[ P\left( a \right)+P\left( b \right) \right]=\frac{3}{5}-\frac{2}{7} \\ 
 & \Rightarrow P\left( a \right)+P\left( b \right)+P\left( c \right)+P\left( d \right)-P\left( a \right)-P\left( b \right)=\frac{21-10}{35}=\frac{11}{35} \\ 
 & \Rightarrow P\left( c \right)+P\left( d \right)=\frac{11}{35}\Rightarrow P\left( {{C}'} \right)=\frac{11}{35} \\ 
\end{align}$

4) در یک تجربهٔ تصادفی، $S=\left\{ x,y,z \right\}$ فضای نمونه‌ای است. اگر $P\left( x \right)$، $P\left( y \right)$ و $P\left( z \right)$ یک دنبالهٔ حسابی با قدر نسبت $\frac{1}{4}$ تشکیل دهند، احتمال وقوع هر کدام از این پیشامدها را به‌دست آورید.

با فرض اینکه $P\left( x \right)$، $P\left( y \right)$ و $P\left( z \right)$ تشکیل دنبالهٔ حسابی می‌دهند، مقادیر $P\left( y \right)$ و $P\left( z \right)$ را برحسب $P\left( x \right)$ می‌نویسیم:

$P\left( y \right)=P\left( x \right)+\frac{1}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( z \right)=P\left( x \right)+\frac{2}{4}$

و با توجه به اینکه $S=\left\{ x,y,z \right\}$ می‌توانیم بنویسیم $P\left( x \right)+P\left( y \right)+P\left( z \right)=1$
با جای‌گذاری مقادیر $P\left( z \right)$ و $P\left( y \right)$ برحسب $P\left( x \right)$ در این تساوی به یک معادله برحسب  $P\left( x \right)$ می‌رسیم:

$\begin{align}
  & P\left( x \right)+P\left( x \right)+\frac{1}{4}+P\left( x \right)+\frac{2}{4}=1\Rightarrow 3P\left( x \right)+\frac{3}{4}=1 \\ 
 & \Rightarrow 3P\left( x \right)=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}\Rightarrow P\left( x \right)=\frac{1}{12} \\ 
 & \Rightarrow P\left( y \right)=P\left( x \right)+\frac{1}{4}=\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1+3}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}\Rightarrow P\left( y \right)=\frac{1}{3} \\ 
 & \Rightarrow P\left( z \right)=P\left( x \right)+\frac{2}{4}=\frac{1}{12}+\frac{2}{4}=\frac{1+6}{12}=\frac{7}{12}\Rightarrow P\left( z \right)=\frac{7}{12} \\ 
\end{align}$

5) در پرتاب یک دارت به یک صفحه دایره‌ای شکل مطابق شکل زیر که به پنج ناحیه مجزا تقسیم شده است، فرض کنید احتمال اصابت دارت به ناحیهٔ اول، x باشد. اگر احتمال اصابت به ناحیهٔ kام، $\left( 2k-1 \right)x$ باشد:

الف) احتمال اصابت دارت به هر ناحیه را به‌دست آورید.

$:P\left( 1 \right)=x$ احتمال اصابت به ناحیه اول
$:P\left( 2 \right)=\left( 2\times 2-1 \right)x=3x$ احتمال اصابت به ناحیه دوم
$:P\left( 3 \right)=\left( 2\times 3-1 \right)x=5x$ احتمال اصابت به ناحیه سوم
$:P\left( 3 \right)=\left( 2\times 4-1 \right)x=7x$ احتمال اصابت به ناحیه چهارم
$:P\left( 3 \right)=\left( 2\times 5-1 \right)x=9x$ احتمال اصابت به ناحیه پنجم
مجموع احتمالات این 5 ناحیه باید یک شود:

$\begin{align}
  & P\left( 1 \right)+P\left( 2 \right)+P\left( 3 \right)+P\left( 4 \right)+P\left( 5 \right)=1\Rightarrow x+3x+5x+7x+9x=1 \\ 
 & \Rightarrow 25x=1\Rightarrow x=\frac{1}{25}\Rightarrow P\left( 1 \right)=\frac{1}{25}\,\,,\,\,P\left( 2 \right)=\frac{3}{25}\,\,,\,\,P\left( 3 \right)=\frac{5}{25}\,\,,\,\,P\left( 4 \right)=\frac{7}{25}\,\,,\,\,P\left( 5 \right)=\frac{9}{25} \\ 
\end{align}$

ب) احتمال اصابت دارت به یکی از ناحیه‌های اول، سوم یا چهارم بیش‌تر است یا اصابت به ناحیهٔ دوم یا پنجم؟

$P\left( \left\{ 1,3,4 \right\} \right)=P\left( 1 \right)+P\left( 3 \right)+P\left( 4 \right)=\frac{1}{25}+\frac{5}{25}+\frac{7}{25}=\frac{13}{25}$
$P\left( \left\{ 2,5 \right\} \right)=P\left( 2 \right)+P\left( 5 \right)=\frac{3}{25}+\frac{9}{25}=\frac{12}{25}\Rightarrow \frac{13}{25}\lt \frac{12}{25}$

احتمال اصابت دارت به یکی از ناحیه‌های اول، سوم یا چهارم بیش‌تر است.