درسنامه آموزشی فصل اول آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی

1- مجموعه‌های زیر را که شامل شکل‌های هندسی در صفحه هستند، در نظر بگیرید:

$A=\left\{ x| \right.$ یک چهارضلعی است $\left. x \right\}$
$B=\left\{ x| \right.$ یک مستطیل است $\left. x \right\}$
$C=\left\{ x| \right.$ یک لوزی است $\left. x \right\}$
$D=\left\{ x| \right.$ یک مربع است $\left. x \right\}$

کدام‌یک از روابط زیر درست است؟ (با ذکر دلیل)

الف) $D\subseteq C$
درست، زیرا هر مربعی یک لوزی است (مربع یک نوع لوزی است که زاویه‌های آن 90 درجه است.)

ب) $B\subseteq D$
نادرست، زیرا هر مستطیلی مربع نیست.

پ) $A\subseteq B$
نادرست، هر چهارضلعی مستطیل نیست.

ت) $D\subseteq A$
درست، زیرا هر مربعی یک چهارضلعی است.

2- فرض کنید $A=\left\{ 1,2,3,...,8,9 \right\}$ و $B=\left\{ 2,4,6,8 \right\}$ و $C=\left\{ 1,3,5,7,9 \right\}$ و $D=\left\{ 3,4,5 \right\}$ و $E=\left\{ 3,5 \right\}$.
در هر یک از حالت‌های زیر مشخص کنید: X می‌تواند کدام‌یک از این مجموعه‌ها باشد؟

الف) X و B عضو مشترکی ندارند.
مجموعه‌های C و E

ب) $X\subseteq A$ ولی $X\cancel{\subseteq }C$
مجموعه‌های A و B و D (این سه مجموعه هر دو شرط را دارند یعنی هم زیرمجموعه A هستند و هم زیرمجموعه C نیستند. 

پ) $X\subseteq D$ ولی $X\cancel{\subseteq }B$
مجموعه‌های D و E (این دو مجموعه هر دو شرط را دارند یعنی هم زیرمجموعه D هستند و هم زیرمجموعهٔ B نیستند.)

ت) $X\subseteq C$ ولی $X\cancel{\subseteq }A$
هیچ‌کدام (زیرا تمام مجموعه‌ها زیرمجموعه A هستند.)

3- درستی یا نادرستی گزاره‌های زیر را با ذکر دلیل مشخص کنید.

الف) $\varnothing =\left\{ \varnothing  \right\}$
نادرست است، زیرا $\varnothing $ هیچ عضوی ندارد ولی $\left\{ \varnothing  \right\}$ دارای یک عضو است پس مساوی نیستند.

ب) $\varnothing \subseteq \left\{ \varnothing  \right\}$
درست است، زیرا $\varnothing $ زیرمجموعه‌ی همهٔ مجموعه‌هاست.

پ) $\varnothing \notin \left\{ \varnothing  \right\}$
نادرست است، زیرا $\varnothing $ در $\left\{ \varnothing  \right\}$ وجود دارد و عضو آن است.

ت) $\left\{ \varnothing \,,\,\left\{ \varnothing  \right\} \right\}\in \left\{ \varnothing \,,\,\left\{ \varnothing \,,\, \right.\left\{ \varnothing  \right\} \right\}\,,\,\left\{ \left. \varnothing  \right\} \right\}$
درست است، زیرا همان‌طور که می‌بینید مجموعهٔ سمت چپ داخل مجموعهٔ سمت راست قرار دارد، یعنی عضو آن می‌باشد.

4- کدام‌یک از مجموعه‌های زیر با هم مساوی‌اند؟

$A=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| \left| m \right|\lt 2 \right. \right\}$
$\left| m \right|\lt 2\Rightarrow -2\lt m\lt 2\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }}\,m=-1,0,1\Rightarrow A=\left\{ -1,0,1 \right\}$

$B=\left\{ x\in \mathbb{Z}\left| {{x}^{3}}=x \right. \right\}$
${{x}^{3}}=x\Rightarrow {{x}^{3}}-x=0\Rightarrow x\left( {{x}^{2}}-1 \right)=0\Rightarrow x\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)=0$
$\Rightarrow \left\{ \begin{align}
  & x=0\in \mathbb{Z} \\ 
 & x-1=0\to x=1\in \mathbb{Z} \\ 
 & x+1=0\to x=-1\in \mathbb{Z} \\ 
\end{align} \right.\Rightarrow B=\left\{ -1,0,1 \right\}$

$C=\left\{ y\in \mathbb{Z}\left| {{y}^{2}}\le 2y \right. \right\}$
${{y}^{2}}\le 2y\Rightarrow {{y}^{2}}-2y\le 0\Rightarrow y\left( y-2 \right)\le 0$ به‌کمک جدول تعیین علامت
$0\le y\le 2\xrightarrow{y\in \mathbb{Z}}y=0,1,2\Rightarrow C=\left\{ 0,1,2 \right\}$
$y\left( y-2 \right)=0\left\{ \begin{matrix}
   y=0  \\
   y=2  \\
\end{matrix} \right.$
 

$D=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| {{m}^{2}}\le 1 \right. \right\}$
${{m}^{2}}\le 1\Rightarrow -1\le m\le 1\overset{m\in \mathbb{Z}}{\mathop{\Rightarrow }}\,m=-1,0,1\Rightarrow D=\left\{ -1,0,1 \right\}$

$E=\left\{ m\in \mathbb{Z}\left| {{m}^{3}}+2m=3{{m}^{2}} \right. \right\}$
${{m}^{3}}+2m=3{{m}^{2}}\Rightarrow {{m}^{3}}-3{{m}^{2}}+2m=0\Rightarrow m\left( {{m}^{2}}-3m+2 \right)=0$
اتحاد جملهٔ مشترک $\Rightarrow m\left( m-2 \right)\left( m-1 \right)=0\Rightarrow \left\{ \begin{align}
  & m=0\in \mathbb{Z} \\ 
 & m-2=0\to m=2\in \mathbb{Z}\Rightarrow E=\left\{ 0,1,2 \right\} \\ 
 & m-1=0\to m=1\in \mathbb{Z} \\ 
\end{align} \right.$
$\begin{align}
  & A=B=D=\left\{ -1,0,1 \right\} \\ 
 & C=E=\left\{ 0,1,2 \right\} \\ 
\end{align}$

5- مثال‌هایی از مجموعه‌های دلخواه A و B و C بیاورید که برای آنها حکم‌های زیر درست باشند.

الف) $A\in B\,,\,B\in C\,,\,A\notin C$

$A=\left\{ 2 \right\}\,,\,B=\left\{ \left\{ 2 \right\} \right\}\,,\,C=\left\{ \left\{ \left\{ 2 \right\} \right\} \right\}$

ب) $A\in B\,,\,B\in C\,,\,A\in C$

$A=\varnothing \,,\,B=\left\{ \varnothing  \right\}\,,\,C=\left\{ \varnothing ,\left\{ \varnothing  \right\} \right\}$

پ) $A\in B\,,\,A\subseteq B$

$A=\varnothing \,,\,B=\left\{ \varnothing  \right\}$

6- اگر دو عضو از مجموعه A حذف کنیم، تعداد زیرمجموعه‌های آن 384 واحد کم می‌شود، مجموعهٔ A چند زیرمجموعه دارد؟
فرض می‌کنیم، مجموعهٔ n ، A عضوی باشد: 

${{2}^{n}}-{{2}^{n-1}}=384\Rightarrow {{2}^{n}}\left( 1-{{2}^{-2}} \right)=384\Rightarrow {{2}^{n}}\left( 1-\frac{1}{4} \right)=384$
$\begin{align}
  & \Rightarrow {{2}^{n}}\times \frac{3}{4}=384\Rightarrow {{2}^{n}}=384\times \frac{4}{3}=128\times 4 \\ 
 & ={{2}^{7}}\times {{2}^{2}}={{2}^{9}}\Rightarrow n=9 \\ 
\end{align}$

تعداد زیر مجموعه‌های A مساوی ${{2}^{19}}=512$ است.

7- اگر $A=\left\{ 2,x+2y,4 \right\}$ و $B=\left\{ 4,5,x-y \right\}$ و $A=B$ در این‌صورت، مقادیر x و y را بیابید.
از آن‌جایی‌که A و B مساوی هستند، پس باید عضوهای هر دو با هم مساوی باشند و عضو غیر مشترک نداشته باشند. عدد 5 عضو B است، پس مجموعهٔ A نیز باید عضو 5 را داشته باشد، پس: $x+2y=5\left( 1 \right)$
از طرف دیگر عدد 2 عضو A است، پس مجموعهٔ B نیز باید 2 را داشته باشد، پس:

$x-y=2\left( 2 \right)$
$\left( 1 \right)\,,\,\left( 2 \right)\Rightarrow \left\{ \begin{align}
  & x+2y=5 \\ 
 & x-y=2 \\ 
\end{align} \right.$

دو معادله را از هم کم می‌کنیم تا x حذف شود.

$\begin{align}
  & \left( x+2y \right)-\left( x-y \right)=5-2\to \cancel{x}+2y-\cancel{x}+y=3 \\ 
 & \Rightarrow 3y=3\Rightarrow y=1\Rightarrow x-y=2\xrightarrow[y=1]{}x=3 \\ 
\end{align}$

8- ثابت کنید برای مجموعه‌های A و B با مرجع U داریم: $A-B\subseteq A$.
فرض می‌کنیم x عضو دلخواهی از مجموعهٔ $A-B$ است و ثابت کنیم x عضو A نیز هست:

$\forall x\,;\left[ x\in \left( A-B \right) \right]\Rightarrow \left( x\in A\wedge x\notin B \right)\Rightarrow x\in A$

بنابراین داریم:

$\forall x\,;\left( x\in \left( A-B \right)\Rightarrow x\in A \right)\Rightarrow \left( A-B \right)\subseteq A$

9- فرض کنیم A و B و C سه مجموعه با مرجع U باشند، ثابت کنید: اگر $A\subseteq B$ آن‌گاه:

الف) $A\bigcup C\subseteq B\bigcup C$

$\forall x\,;\left( x\in A\bigcup C \right)\Rightarrow \left( x\in A\vee x\in C \right)\xrightarrow{A\subseteq B}\left( x\in B\vee x\in C \right)\Rightarrow x\in B\bigcup C$
$\forall x\,;\left( x\in A\bigcup C\Rightarrow x\in B\bigcup C \right)\Rightarrow A\bigcup C\subseteq B\bigcup C$

ب) $A\bigcap C\subseteq B\bigcap C$

$\forall x;\left( x\in A\bigcap C \right)\Rightarrow \left( x\in A\wedge x\in C \right)\xrightarrow{A\subseteq B}\left( x\in B\wedge x\in C \right)\Rightarrow x\in B\bigcap C$
$\forall x;\left( x\in A\bigcap C\Rightarrow x\in B\bigcap C \right)\Rightarrow A\bigcap C\subseteq B\bigcap C$

10- مجموعه‌های A و B و C و D با مرجع U را در نظر بگیرید، ثابت کنید: اگر $A\subseteq B$ و $C\subseteq D$ آن‌گاه:

الف) $A\bigcap C\subseteq B\bigcap D$

$\forall x\,;\left( x\in A\bigcap C \right)\Rightarrow \left( x\in A\wedge x\in C \right)\xrightarrow{A\subseteq B\,,\,C\subseteq D}\left( x\in B\wedge x\in D \right)\Rightarrow x\in B\bigcap D$

بنابراین:

$\forall x\,;\left( x\in A\bigcap C\Rightarrow x\in B\bigcap D \right)\Rightarrow A\bigcap C\subseteq B\bigcap D$

ب) $A\bigcap C\subseteq B\bigcup D$

$\forall x;\left( x\in A\bigcup C \right)\Rightarrow \left( x\in A\wedge x\in C \right)\xrightarrow{A\subseteq B,C\subseteq D}\left( x\in B\wedge x\in D \right)$
$\Rightarrow \left( x\in B\vee x\in D \right)\Rightarrow x\in B\bigcup D$

بنابراین:

$\forall x;\left( x\in A\bigcap C\Rightarrow x\in B\bigcup D \right)\Rightarrow A\bigcap C\subseteq B\bigcup D$

دقت داشته باشید که اگر $\left( x\in B\wedge x\in D \right)$ باشد، یعنی x عضو هر دو مجموعه است، پس می‌توان گفت $\left( x\in B\vee x\in D \right)$ زیرا ممکن است x فقط عضو B باشد و متعلق به D نباشد.

11- الف) فرض کنید: $A\subseteq \varnothing $ ثابت کنید: $A=\varnothing $. 
از یک طرف می‌دانیم: 

$\forall x\,;\left( x\in \varnothing \Rightarrow x\in A \right)\Rightarrow \varnothing \subseteq A$

گزاره شرطی $\left( x\in \varnothing \Rightarrow x\in A \right)$ به انتفای مقدم درست است زیرا Q هیچ عضوی ندارد.
و از طرف دیگر در فرض سؤال آمده است $A\subseteq \varnothing $. بنابراین طبق تعریف تساوی مجموعه‌ها می‌توانیم بگوییم:
اگر دو تا مجموعه هر دو زیرمجموعه‌ٔ همباشند آن دو مجموعه با هم مساوی هستند.

$\left. \begin{matrix}
   \varnothing \subseteq A  \\
   A\subseteq \varnothing   \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow A=\varnothing $

ب) فرض کنید $U\subseteq A$ ثابت کنید: $A=U$.
U مجموعهٔ مرجع است یعنی A زیرمجموعهٔ U است:
و از طرف دیگر در فرض سؤال آمده است $U\subseteq A$ بنابراین طبق تعریف تساوی مجموعه‌ها می‌توانیم بگوییم:

$\left. \begin{matrix}
   A\subseteq U  \\
   U\subseteq A  \\
\end{matrix} \right\}\Rightarrow A=U$

12- هرگاه A و B دو مجموعه با مرجع U باشند و $A\bigcap B=\varnothing $ در این‌صورت ثابت کنید:

الف) $B-A=B$
برای اثبات این تساوی باید دو قسمت را ثابت کنیم: 
1) $B-A\subseteq B$
2) $B\subseteq B-A$
اثبات 1)

$\forall x\,;\left( x\in B-A \right)\Rightarrow \left( x\in B\wedge x\notin A \right)\xrightarrow{A\bigcap B=\varnothing }\left( x\in B\wedge x\in B \right)=x\in B$

بنابراین:

$\forall x\,;\left( x\in B-A\Rightarrow x\in B \right)\Rightarrow B-A\subseteq B\left( I \right)$

اثبات 2)

$\forall x\,;x\in B\Rightarrow x\in B\xrightarrow{A\bigcap B=\varnothing }\left( x\in B\wedge x\notin A \right)\Rightarrow x\in B-A$

بنابراین:

$\forall x\,;\left( x\in B\Rightarrow x\in B-A \right)\Rightarrow B\subseteq B-A\left( II \right)$

از $\left( I \right)$ و $\left( II \right)$ می‌توانیم نتیجه بگیریم:

$B-A=B$

ب) $A-B=A$

مانند قسمت الف) برای اثبات این تساوی باید دو قسمت را ثابت کنیم:
1) $A-B\subseteq A$
2) $A\subseteq A-B$

اثبات 1) 

$\forall x\,;\left( x\in A-B \right)\Rightarrow \left( x\in A\wedge x\notin B \right)\xrightarrow{A\bigcap B=\varnothing }\left( x\in A\wedge x\in A \right)\Rightarrow x\in A$

بنابراین:

$\forall x\,;\left( x\in A-B\Rightarrow x\in A \right)\Rightarrow A-B\subseteq A\left( I \right)$

اثبات 2)

$\forall x\,;x\in A\Rightarrow x\in A\xrightarrow{A\bigcap B=\varnothing }\left( x\in A\wedge x\notin B \right)=x\in A-B$

بنابراین:

$\forall x\,;\left( x\in A\Rightarrow x\in A-B \right)\Rightarrow A\subseteq A-B\left( II \right)$

از $\left( I \right)$ و $\left( II \right)$ نتیجه می‌گیریم:

$A-B=A$

13- فرض کنید: $X=\left\{ a,b,c,d,e,f,g \right\}$، کدام‌یک از حالت‌های زیر یک افراز برای X محسوب می‌شود.

الف) $\left\{ a,c,e \right\}\,\,,\,\,\left\{ b \right\}\,\,,\,\,\left\{ d,g \right\}$
نادرست، زیرا اجتماع آنها مساوی مجموعهٔ X نمی‌شود. (عضو f وجود ندارد.)

ب) $\left\{ a,e,g \right\}\,\,,\,\,\left\{ c,d \right\}\,\,,\,\,\left\{ b,e,f \right\}$
نادرست، زیرا مجموعه‌های $\left\{ b,e,f \right\}$ و $\left\{ a,e,g \right\}$ اشتراک دارند.

پ) $\left\{ a,b,e,g \right\}\,\,,\,\,\left\{ c \right\}\,\,,\,\,\left\{ d,f \right\}$
درست، زیرا اشتراک دوبه‌دوی آنها تهی است و اجتماع آنها مساوی X است.

ت) $\left\{ a,x,c,d,e,f,g \right\}$
درست، زیرا هر مجموعه خودش به‌تنهایی نیز یک افراز برای خودش محسوب می‌شود.

ث) $\left\{ a \right\}\,\,,\,\,\left\{ b,c \right\}\,\,,\,\,\left\{ d \right\}\,\,,\,\,\left\{ f,g \right\}\,\,,\,\,\left\{ e \right\}$
درست، زیرا اشتراک دوبه‌دوی آنها تهی است و اجتماع آنها مساوی X است.