درسنامه آموزشی فصل اول آمار و احتمال کلاس یازدهم ریاضی

منطق ریاضی که عده‌ای به آن منطق نمادین (Symbolic Logic) نیز می‌گویند، دستور زبان ریاضی، یا مطالعهٔ ساختار جمله‌هایی است که در ریاضی به‌کار برده می‌شود. این شاخه از ریاضیات به بررسی دقیق استدلال‌ها می‌پردازد و اعتبار یک استدلال را مشخص می‌کند. امروزه منطق ریاضی در علوم مربوط به رایانه نیز به‌کار گرفته می‌شود. در این درس، کار ما بسیار شبیه بیان قواعد دستور زبان برای یک زبان معیّن است.

گزاره

استدلال سادهٔ زیر را در نظر بگیرید:

تیم ملی فوتبال ایران، یا تیم ملی فوتبال استرالیا به جام جهانی می‌رود.
تیم ملی فوتبال استرالیا به جام جهانی نمی‌رود.
نتیجه: تیم ملی فوتبال ایران به جام جهانی می‌رود.

این استدلال از چند جملهٔ خبری به‌دست می‌آید، اگر دو جملهٔ اوّل این استدلال را درست در نظر بگیریم، در این صورت، نتیجه‌گیری جملهٔ سوم منطقی به نظر می‌رسد. در منطق ریاضی به دو جملهٔ خبری نخست، مفروضات استدلال و به جملهٔ خبری سوم، نتیجهٔ استدلال گفته می‌شود.

یک استدلال می‌تواند از چندین جملهٔ خبری تشکیل شود که یکی از آنها نتیجه استدلال و بقیه، مفروضات استدلال‌اند.

این استدلال‌ها، از جمله‌های خبری تشکیل شده است. به جملهٔ خبری که در حال حاضر یا آینده، دارای ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) باشد، گزاره می‌گوییم. معمولاً گزاره‌ها را با حروف r ،q ،p و... نمایش می‌دهند.

درست یا نادرست بودن یک گزاره را ارزش گزاره می‌گوییم. ارزش گزارهٔ درست را با حرف «د» یا «T» و ارزش گزارهٔ نادرست را با حرف «ن» یا «F» نمایش می‌دهیم.

یک گزاره نمی‌تواند هم درست و هم نادرست باشد؛ یعنی گزاره فقط یک ارزش دارد. برای مثال، گزاره زیر یک حدس در ریاضیات است.
«هر عدد زوج بزرگ‌تر از 2 را می‌توان به‌صورت حاصل جمع دو عدد اوّل نوشت»؛ 
مانند:

$4 = 2 + 2;6 = 3 + 3;8 = 3 + 5;10 = 5 + 5;12 = 5 + 7;...$

این حدس (حدس گلدباخ) تاکنون اثبات نشده است؛ از طرفی هم برای آن مثال نقضی یافت نشده است. در هر صورت، این گزاره فقط یک ارزش دارد. اگر ارزش این گزاره درست نباشد، پس ارزش آن حدس، نادرست است.

جمله‌های پرسشی، امری و عاطفی (نشان‌دهندهٔ احساسات) گزاره محسوب نمی‌شوند؛ زیرا خبری را بیان نمی‌کنند.

جمله‌های زیر هیچ خبری را بیان نمی‌کنند؛ بنابراین، گزاره محسوب نمی‌شوند.

- چه هوای خوبی! (ابراز احساسات)
- لطفاً در کلاس را ببندید. (امری)
- اینجا آشپز کیست؟ (پرسشی)

جدول ارزش گزاره‌ها (Truth Table)

هر گزاره دارای ارزش درست یا نادرست است؛ بنابراین، هر گزارهٔ مانند p فقط یکی از دو حالت ارزش گزاره را طبق جدول زیر می‌گیرد.

ارزش‌های دو گزاره‌ی p و q، طبق جدول زیر چهار حالت دارد.

گزاره‌نما

دامنۀ متغیّر گزاره‌نما

برای مثال، دامنهٔ متغیر گزاره‌نمای «p عددی اوّل است» مجموعهٔ اعداد طبیعی، دامنهٔ متغیر گزاره‌نمای «x عددی زوج است» مجموعهٔ اعداد صحیح و دامنهٔ متغیر گزاره‌نمای «$4{{x}^{2}}+x-5=0$» مجموعهٔ اعداد حقیقی می‌توان درنظر گرفت.

ترکیب گزاره‌ها

از ترکیب دو یا چند گزاره به‌وسیلهٔ رابط‌های گزاره‌ای (ادات ربط)، گزاره‌های مرکب به‌دست می‌آیند.

در ادامه ادات ربط را برای ترکیب گزاره‌ها معرفی می‌کنیم. با در دست داشتن ارزش گزاره‌های r ،q ،p و... و معرفی ادات ربط، می‌توان گزاره‌های مرکب را تعریف کرد که ارزش گزاره‌های مرکب فقط به ارزش گزاره‌های r ،q ،p و ... و ادات ربط بین آنها بستگی دارد.

نقیض یک گزاره

نقیض گزارۀ p به‌صورت $\sim p$ نوشته می‌شود و آن‌را «چنین نیست که p» می‌خوانیم. اگر ارزش گزارۀ p درست باشد، در این‌صورت، ارزش گزارهٔ $\sim p$ نادرست است و وقتی که p نادرست باشد، ارزش نقیض آن درست است. به علامت «$\sim $» ناقض گفته می‌شود و «چنین نیست که» خوانده می‌شود.

مثال: نقیض گزارهٔ «2 عددی گنگ است» را می‌توان به‌صورت‌های زیر نوشت.
«چنین نیست که 2 عددی گنگ باشد»، یا «2 عددی گنگ نیست.» 

جدول ارزش برای نقیض یک گزاره که تمام حالت‌های ممکن را برای درستی یا نادرستی گزاره در نظر می‌گیرد، به‌صورت زیر است:

مثال: جدول ارزش گزارهٔ $\sim \left( \sim p \right)$ را تشکیل دهید و ارزش آن‌را در هر حالت، با ارزش گزاره p مقایسه کنید.

حل:
همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، در هر حالت از جدول، ارزش p با ارزش $\sim \left( \sim p \right)$ یکسان است. در این حالت می‌گوییم: دو گزاره p و $\sim \left( \sim p \right)$ هم‌ارز منطقی هستند و می‌نویسیم: $\sim \left( \sim p \right)\equiv p$.
در حالت کلّی اگر دو گزاره p و q هم‌ارزش باشند می‌نویسیم: $p\equiv q$ و می‌خوانیم: p هم‌ارز است با q 

ترکیب فصلی دو گزاره

گزاره‌های زیر را در نظر بگیرید.
p: $\sqrt{3}$ عددی حقیقی است.
q: دو (2) عددی اوّل نیست.

گزارهٔ مرکب «$\sqrt{3}$ عددی حقیقی است، یا 2 عددی اوّل نیست» که از ترکیب دو گزارهٔ ساده p و q با رابط منطقی «یا» تشکیل شده است، ترکیب فصلی دو گزاره می‌گوییم. هرگاه p و q دو گزاره باشند، گزارهٔ مرکب «p یا q» را که به‌صورت «$p\vee q$» می‌نویسند، ترکیب فصلی دو گزاره می‌گوییم. در اینجا به رابط منطقی «$\vee $» فاصل گفته می‌شود.

گزارهٔ مرکب زیر را در نظر بگیرید:
«پدر علی امروز برای گرفتن کارنامه به مدرسه می‌آید، یا مادر علی امروز برای گرفتن کارنامه به مدرسه می‌آید».

اگر پدر علی برای گرفتن کارنامه به مدرسه بیاید، در این‌صورت ارزش گزارهٔ مرکب بالا درست است. اگر مادر علی هم برای گرفتن کارنامه به مدرسه بیاید، آن‌گاه ارزش گزارهٔ مرکب درست است. در حالتی‌که هم پدر علی و هم مادر علی برای گرفتن کارنامه به مدرسه بیایند، ارزش گزارهٔ مرکب درست است.

گزارهٔ مرکب بالا وقتی نادرست است که پدر و مادر علی به مدرسه برای گرفتن کارنامه مراجعه نکنند.

بنابراین، ارزش گزاره مرکب $p\vee q$ وقتی نادرست است که ارزش هر دو گزاره p و q نادرست باشد و در بقیهٔ حالات، ارزش $p\vee q$ درست است. جدول ارزش گزارهٔ $p\vee q$ به‌صورت زیر است.

مثال: هرگاه a و b دو عدد حقیقی باشند به‌طوری‌که $a\times b=0$ در این‌صورت $\alpha =0$ یا $b=0$ یعنی:

$a,b\in \mathbb{R},a\times b=0\Rightarrow \left( a=0 \right)\vee \left( b=0 \right)$

از ویژگی مثال قبل، برای حلّ معادله‌ها استفاده می‌کنیم:

${{x}^{2}}+7x=0\Rightarrow x\left( x+7 \right)=0\Rightarrow x=0\,\,*\,\,x+7=0\Rightarrow x=0\,\,*\,\,x=-7$

ترکیب عطفی دو گزاره

هرگاه p و q دو گزاره باشند، گزارهٔ مرکب «$p\wedge q$» که خوانده می‌شود «p و q» را ترکیب عطفی دو گزاره می‌گوییم. در اینجا به رابط منطقی «$\wedge $» عاطف گفته می‌شود.

ترکیب شرطی دو گزاره

هرگاه p و q دو گزاره باشند، گزارهٔ مرکب «$p\Rightarrow q$» که خوانده می‌شود «اگر p آن‌گاه q» را ترکیب شرطی دو گزاره می‌گوییم. در این ترکیب شرطی p را مقدم (فرض) و q را تالی (حکم) می‌نامیم.

تا به حال در ریاضیات و هندسه با گزاره‌های شرطی بسیاری مواجه بوده‌اید، در زیر چند نمونه می‌آوریم.

1- اگر مثلثی متساوی‌الساقین باشد. آن‌گاه دو زاویهٔ مجاور به قاعده برابرند.

$\vartriangle ABC:AB=AC\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}$

2- اگر در مثلث ABC، داشته باشیم: $MN\left\| BC \right.$ آن‌گاه $\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}$

3- اگر A پیشامدی در فضای نمونه S باشد، آن‌گاه $A\subseteq S$.

جدول ارزش گزارهٔ شرطی $p\Rightarrow q$ به‌صورت زیر است.

با توجه به جدول ملاحظه می‌کنید که:

1- هرگاه ارزش p (مقدم) نادرست باشد، آن‌گاه ارزش گزارهٔ مرکب «$p\Rightarrow q$» همواره درست است و ارزش آن به ارزش گزاره q بستگی ندارد.
در این حالت می‌گویند. ارزش «$p\Rightarrow q$» به انتفای مقدم درست است.

2- ارزش گزارهٔ $p\Rightarrow q$ وقتی نادرست است که p درست و q نادرست باشد.
مثال: ارزش گزارهٔ «اگر 2 فرد است، آن‌گاه $2\lt 5$» به انتفای مقدّم درست است.

مثال: ثابت کنید اگر $a\in \mathbb{Z}$ و ${{a}^{2}}$ عددی فرد باشد، آن‌گاه a عددی فرد است.
حل: به‌جای اثبات این حکم، عکس نقیض آن را ثابت می‌کنیم (اثبات عکس نقیض آن ساده‌تر است).

(${{a}^{2}}$ عددی زوج است $a\Rightarrow $ عددی زوج است) $\equiv $ (a عددی فرد است ${{a}^{2}}\Rightarrow $ عددی فرد است)

اگر a عددی زوج باشد، یعنی $a=2k$، خواهیم داشت:

${{a}^{2}}={{\left( 2k \right)}^{2}}=4{{k}^{2}}=2\underbrace{\left( 2{{k}^{2}} \right)}_{{k}'\in \mathbb{Z}}=2{k}'$

درنتیجه ${{a}^{2}}$ عددی زوج است.

ترکیب دو شرطی دو گزاره

هرگاه p و q دو گزاره باشند، گزارهٔ مرکب $\left( p\Rightarrow q \right)\wedge \left( q\Rightarrow p \right)$ را به‌صورت «$p\Leftrightarrow q$» می‌نویسیم و آن را ترکیب دو شرطی p و q می‌نامیم. گزارهٔ «$p\Leftrightarrow q$» را به‌صورت زیر می‌خوانیم.
«اگر p، آن‌گاه q و برعکس»، «p شرط لازم و کافی برای q است» و «p اگر و تنها اگر q»

مثال: گزاره‌های زیر، نمونه‌ای از ترکیب دو شرطی گزاره‌هاست.
الف) 6 عدد اوّل است $2\gt 5\Leftrightarrow $
ب) 99 عدد اوّل نیست $\sqrt 2  \Leftrightarrow$ عددی گویاست.
پ) در پرتاب یک تاس، شرط لازم و کافی برای آنکه احتمال پیشامدی برابر با صفر باشد، آن است که پیشامد تهی باشد.
ت) شرط لازم و کافی برای آنکه نقطه‌ای واقع بر عمود منصف یک پاره‌خط باشد، آن است که فاصلهٔ آن نقطه تا دو سر پاره‌خط برابر باشد.

[${M \in d}$ AB عمودمنصف پاره‌خط] $ \Leftrightarrow MA = MB $

سورها

به جملات زیر دقت کنید:
«همهٔ دانش‌آموزان کلاس در سال گذشته قبول شده‌اند». «هر گردویی گرد است». «هر مستطیلی یک مربع است». «هر مثلث متساوی‌الاضلاعی یک مثلث متساوی‌الساقین است». «بعضی از تیم‌های دستهٔ یک به دستهٔ برتر صعود می‌کنند». «بعضی از اعداد اوّل، زوج‌اند». «بعضی از ذوزنقه‌ها، مستطیل‌اند».

عبارت‌های «به‌ازای هر» و «به‌ازای بعضی مقادیر» به سور معروف‌اند. این عبارت‌ها می‌توانند قبل از گزاره‌نماها قرار گیرند و به این وسیله گزاره‌هایی با ارزش درست یا نادرست ایجاد کنند.

برای بیان عبارت‌ها با استفاده از نمادهای ریاضی به‌جای «به‌ازای هر»، یا «به‌ازای جمیع مقادیر» از نماد $\forall $ و به‌جای «وجود دارد»، یا «به‌ازای بعضی مقادیر» از نماد $\exists $ استفاده می‌کنیم. نماد $\forall $ سور عمومی و نماد $\exists $ سور وجودی نامیده می‌شود.

مثال: ارزش گزارهٔ $\forall x\in \mathbb{R}\,\,:\,{{x}^{2}}\ge \,x$ نادرست است؛ زیرا $x=\frac{1}{2}$ برای آن مثال نقض محسوب می‌شود.

مثال: کدام‌یک از عبارت‌های زیر، گزاره‌هایی درست‌اند؟
الف) $\forall x\in \mathbb{Z}\,;\,x(x+1)=2k(k\in \mathbb{Z})$
حل: چون حاصل‌ضرب هر دو عدد متوالی صحیح، عددی زوج است. بنابراین، برای هر عضو از دامنهٔ متغیر $(\mathbb{Z})$ گزاره‌نما به گزاره‌ای درست تبدیل می‌شود، پس این عبارت درست است.

ب) $\forall x\in \mathbb{R}\,;\,\tan x\times \cot x=1$
حل: نادرست است؛ زیرا $x=\frac{\pi }{2}$، گزاره‌نما را به گزاره‌ای نادرست تبدیل می‌کند.

مثال: گزارهٔ $\exists x\in \mathbb{Z}\,;\,\left| x \right|-1\lt 0$
درست است؛ زیرا حداقل یک عضو $x=0$ وجود دارد که به‌ازای آن، گزاره‌نما به گزاره‌ای با ارزش درست تبدیل می‌شود.

مثال: کدام‌یک از عبارت‌های زیر درست‌اند:
الف) $\exists x\in P\,;\,x=2k$
حل: درست است؛ زیرا 2 عددی اوّل و زوج است، پس مجموعهٔ جواب گزاره‌نما $\left\{ 2 \right\}$ و ناتهی است.

ب) $\exists x\in \mathbb{R}\,;\,{{x}^{2}}+1=0$
حل: نادرست است؛ زیرا مجموعهٔ جواب گزاره‌نما مجموعهٔ تهی است.

نقیض گزاره‌های سوری

گزارهٔ «علی به مدرسه رفت» را در نظر بگیرید و نقیض آن را بنویسید.

معمولاً برای نقیض کردن یک گزاره، فعل آن را منفی می‌کنند. اکنون گزاره زیر را در نظر بگیرید و نقیض آن را بنویسید.
هر آسیایی، ایرانی است.

در زبان طبیعی معمولاً این اشتباه رخ می‌دهد که برای نوشتن نقیض این گزاره، فقط فعل آن را منفی می‌کنند و می‌نویسند:
هر آسیایی، ایرانی نیست.

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، ارزش دو گزارهٔ قبل («هر آسیایی، ایرانی است» و «هر آسیایی، ایرانی نیست») نادرست است و این غیر ممکن است (چرا؟) بنابراین، جملهٔ دوم نمی‌تواند نقیض جملهٔ اوّل باشد.

برای رفع این مشکل؛ فرض کنیم A مجموعه مردمان آسیا و ایرانی بودن x را با $P\left( x \right)$ نمایش دهیم؛ بنابراین، گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به‌صورت $\forall x\in A\,;\,P\left( x \right)$ بیان می‌شود.

چون ارزش این گزاره: «$\forall x\in A\,;\,P\left( x \right)$» نادرست است، پس ارزش گزارهٔ نقیض آن، یعنی: 
$\sim \left( \forall x\in A\,;\,P\left( x \right) \right)$ باید درست باشد. از آنجا که ارزش گزارهٔ $\sim \left( \forall x\in A\,;\,P\left( x \right) \right)$ باید درست باشد. از آن‌جا که ارزش گزارهٔ $ \left( {\forall x \in A{\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} P\left( x \right)} \right) $ نادرست است، پس وجود دارد $x\in A$ به‌طوری‌که $P\left( x \right)$ نادرست است؛ بنابراین ارزش $\sim P\left( x \right)$ درست می‌باشد، در نتیجه ارزش گزارهٔ $\exists x\in A;\sim P\left( x \right)$ درست است و ارزش این گزاره با ارزش گزارهٔ $\sim \left( \forall x\in A\,;\,P\left( x \right) \right)$ یکسان است، بنابراین داریم:

$\sim \left( \forall x;P\left( x \right) \right)\equiv \exists x;\sim P\left( x \right)$

در این صورت، نقیض گزارهٔ «هر آسیایی، ایرانی است» به‌صورت زیر است:

«بعضی از آسیایی‌ها، ایرانی نیستند»

به همین ترتیب می‌توان نقیض گزاره‌ای را که سور وجودی دارد، به‌صورت زیر نوشت:

$ \~\left( {\exists x;P\left( x \right)} \right) \equiv \forall x;\~P\left( x \right) $

مثال: ارزش گزاره‌های سوری زیر را تعیین کنید و سپس نقیض هریک را بنویسید.

الف) $\forall x\in \mathbb{R};{{x}^{2}}\gt 0$

حل: ارزش این گزاره نادرست است؛ چون $x=0$، مثالی نقض برای آن است.

$\sim \left( \forall x\in \mathbb{R};{{x}^{2}}\gt 0 \right)\equiv \exists x\in \mathbb{R};{{x}^{2}}\cancel{\gt }0\equiv \exists x\in \mathbb{R};{{x}^{2}}\le 0$

ب) $\exists y\in \mathbb{R};y\lt 0\wedge {{y}^{2}}\le 1$

حل: درست است؛ زیرا $y=-1$ در آن صدق می‌کند، پس مجموعهٔ جواب آن ناتهی است.

$\begin{align}
  & \sim \left( \exists y\in \mathbb{R};y\lt 0\wedge {{y}^{2}}\le 1 \right)\equiv \forall y\in \mathbb{R};\sim \left( y\lt 0\wedge {{y}^{2}}\le 1 \right) \\ 
 & \equiv \forall y\in \mathbb{R};y\ge 0\vee {{y}^{2}}\gt 1 \\ 
\end{align}$