درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 3: توابع مثلثاتی
در درسهای قبل مقدار نسبتهای مثلثاتی را برای برخی زوایا بهدست آوردیم. اکنون این سؤال به ذهن میرسد که آیا میتوان این نسبتها را برای یک عدد حقیقی تعریف کرد؟ مثلاً عبارات $\sin 3$ یا $\cos 3$ چه مفهومی دارند؟ فعالیت زیر به شما کمک میکند تا پاسخ این سؤالات را بیابید.
فعالیت (صفحه 105 تا 106 کتاب درسی)
1) در جدول زیر نسبت سینوس به ازای برخی مقادیر در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ مشخص شده است. این جدول را تکمیل کنید.
| $2\pi $ | $\frac{{11\pi }}{6}$ | $\frac{{3\pi }}{2}$ | $\frac{{7\pi }}{6}$ | $\frac{{5\pi }}{6}$ | $\frac{\pi }{2}$ | $\frac{\pi }{3}$ | $\frac{\pi }{6}$ | $0$ | (رادیان) $x$ | |
| $ - 1$ | $0$ | $\frac{{\sqrt 3 }}{2} \simeq 0/86$ | $\frac{1}{2}$ | $0$ | $y = \sin x$ |
2) جدول بالا به صورت زوج مرتب در زیر داده شده است. باتوجه به جدول فوق مجموعه زوج مرتبها را تکمیل و سپس نقاط بهدست آمده را در دستگاه مختصات زیر پیدا کنید. آیا نقاط متناظر با زوجهای مرتب روی منحنی داده شده قرار میگیرند؟ آیا این منحنی تابع است؟ (با رسم خطوط موازی محور $y$ها بررسی کنید).
$f = \left\{ {(0,0),(\frac{\pi }{6},\frac{1}{2}),(\frac{\pi }{3},\frac{{\sqrt 3 }}{2}),(\frac{\pi }{2},...),(\frac{{5\pi }}{6},...),(...,0),(\frac{{7\pi }}{6},...),(\frac{{3\pi }}{2}, - 1),(\frac{{11\pi }}{6},...),(2\pi ,...)} \right\}$
3) نمودار داده شده در سؤال قبل منحنی تابع $y = \sin x$ در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ میباشد. با توجه به نمودار، مقدار $\sin 1$ کجای محور $y$ها قرار میگیرد؟
4) در تابع $y = \sin x$، همیشه $x$ را برحسب رادیان در نظر میگیرند مگر آنکه صریحاً گفته شود $x$ برحسب درجه است یا از نماد ${x^0}$ استفاده شود. باتوجه به ارتباط دایره مثلثاتی و نمودار تابع سینوس که در زیر داده شده، تفاوت $\sin 2$ و $\sin {2^0}$ را بیان کنید.
فعالیت (صفحه 106 تا 107 کتاب درسی)
1) همانند فعالیت قبل، $y = \cos x$ در زیر رسم شده است. مجموعه زوجهای مرتب داده شده از این تابع را تکمیل کنید و نقاط بهدست آمده را مانند نمونه بر روی نمودار نمایش دهید.
$f = \left\{ {(0,1),(\frac{\pi }{3},\frac{1}{2}),(\frac{\pi }{2},...),(\frac{{2\pi }}{3},...),(\pi , - 1),(\frac{{4\pi }}{3},...),(\frac{{3\pi }}{2},...),(\frac{{5\pi }}{3},...),(2\pi ,...)} \right\}$
2) در نمودار بالا ابتدا نقطه نظیر $\sqrt 2 $ رادیان را بر روی محور $x$ها بیابید و سپس مکان $\cos \sqrt 2 $ راب بر روی محو $y$ها بهطور تقریبی پیدا کنید. درستی پاسخ خود را با ماشین حساب بررسی کنید.
خواندنی
در همهٔ ماشین حسابهای پیشرفته، برای محاسبه نسبتهای مثلثاتی میتوان از دو حالت استفاده کرد که یک حالت برحسب درجه $\left( {DEG} \right)$ و حالت دیگری برحسب رادیان $\left( {RAD} \right)$ است. هنگام استفاده از ماشین حساب باید ابتدا آن را در حالت مورد نظر قرار داد. در ماشین حساب زیر آن را در حالت رادیان قرار داده و سپس مقدار $\cos \sqrt 2 $ را حساب کردهاند.
3) از درسهای قبل میدانیم که $\cos (x + 2k\pi ) = \cos x$ و نیز $\cos ( - x) = \cos x$. با استفاده از این روابط مقدار تابع $y = \cos x$ را در دیگر نقاط داده شده بر روی محور $x$ها بهدست آورید و نمودار تابع را از دو طرف ادامه دهید. آیا نمودار این تابع در بازههای $\left[ {2\pi ,4\pi } \right]$ و $\left[ {0,2\pi } \right]$ و $\left[ { - 2\pi ,0} \right]$ با هم متفاوت هستند؟
4) باتوجه به نمودار تابع $y = \cos x$ در بازه $\left[ { - 2\pi ,4\pi } \right]$ به سؤالات زیر پاسخ دهید.
الف) آیا میتوان بر روی محور $x$ها عددی مانند ${x_0}$ یافت که برای آن $\cos {x_0} = \frac{1}{3}$ باشد؟
ب) آیا میتوان بر روی محور $x$ها عددی مانند ${x_0}$ یافت که برای آن $\cos {x_0} = 2$ باشد؟
پ) بیشترین و کمترین مقدار تابع $y = \cos x$ در این بازه چقدر است؟
همانطور که در فعالیت 2 بررسی شد تابع $y = \cos x$ در بازههای به طول $2\pi $ تکرار میشود. این وضعیت برای تابع $y = \sin x$ نیز برقرار است (چرا؟). با توجه به این ویژگی در توابع مثلثاتیِ بالا، میتوان نمودار آنها را بهصورت زیر رسم کرد.
کاردرکلاس (صفحه 108 کتاب درسی)
درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید.
الف) $\sin x$ یعنی سینوس زاویهای از دایره مثلثاتی که اندازه آن $x$ درجه باشد.
ب) $\sin \sqrt 5 $ یک عدد حقیقی است.
پ) $\cos 3 = \cos {3^0}$.
ت) اگر $0 \lt x \lt \frac{\pi }{2}$ آنگاه $ - 1 \lt \cos x \lt 0$ است.
ث) عددی میتوان یافت که سینوس آن برابر 2- باشد.
ج) $x = \pi $ صفر تابع $f(x) = \cos x$ است.
مثال: با توجه به نمودار توابع مثلثاتی $y = \sin x$ و $y = \cos x$، نمودار توابع $y = - \cos (x + \frac{\pi }{2})$ و $y = \left| {\cos x} \right|$ در زیر رسم شده است.
مثال: روباتها در زمینههای مختلف کاربرد دارند. در طراحی انواع روباتها از توابع مثلثاتی استفاده میشود. در شکل زیر یک روبات صنعتی را که در صنایع خودروسازی کاربرد دارد مشاهده میکنید. باتوجه به مقادیر داده شده، ارتفاع نوک گیره روبات را از سطح زمین به کمک یک تابع مثلثاتی مدلسازی کنید. $(0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2})$
حل: کافی است وضعیت روبات را بهصورت زیر ترسیم کنیم. اکنون کل ارتفاع نوک گیره از سطح زمین ($h$) بهصورت زیر بهدست میآید:
$\sin \theta = \frac{l}{{153}} \to l = 153\sin \theta \Rightarrow h = 50 + l = 50 + 153\sin \theta $
تمرین (صفحه 109 کتاب درسی)
1) توابع مثلثاتی زیر را با نمودارهای داده شده نظیر کنید.
| الف) $y = - \left| {\sin x} \right|$ | ب) $y = \cos (x + \frac{\pi }{6})$ | پ) $y = \sin (x - \frac{\pi }{3})$ |
|
|
||
2) در هر یک از نمودارهای زیر بخشی از یک تابع مثلثاتی رسم شده است. با توجه به بخش رسم شده، توابع مثلثاتی داده شده در زیر را به نمودارها نظیر کنید و سپس نمودار را کامل سازید.
| الف) $y = - \sin (x + \frac{\pi }{6})$ | ب) $y = \cos (x - \frac{\pi }{3}) - 1$ | پ) $y = 1 + \left| {\cos x} \right|$ |
|
|
||
3) با توجه به نمودارهای بالا در سؤال 2، بیشترین و کمترین مقدار توابع مثلثاتی داده شده در آن سؤال در چه نقاطی رخ میدهد؟
4) با توجه به نمودارهای سؤال 2، کدام یک از توابع مثلثاتی داده شده در آن سؤال در بازهٔ $(0,\pi )$ یک به یک است؟
5) در طراحی روباتهای صنعتی برای انعطاف بیشتر در حرکت روباتها، معمولاً دو مفصل مکانیکی برای بازوی آن بهصورت زیر در نظر میگیرند.
الف) ارتفاع نوک گیره این روبات را، از سطح زمین، بر اساس توابعی از $\theta $ و $\alpha $ مدلسازی کنید. $( - \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha \leqslant \frac{\pi }{2}\,,\,0 \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi }{2})$
ب) فرض کنید این روبات برای گرفتن یک شیء در ارتفاع $23/5cm$ مفصل دوم خود را در حالت $\alpha = - {30^0}$ قرار داده است. تعیین کنید زاویه $\theta $ در این وضعیت چند درجه است؟