درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

درس 2: نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا

بازدید3/5 K

تاریخ بروزرسانی1400/10/12

در سال گذشته به مقدار نسبت‌های مثلثاتی برای برخی از زوایای تند (مانند ${30^ \circ }$، ${45^ \circ }$، ${60^ \circ }$) و نیز زوایای مرزی (${0^ \circ }$، ${90^ \circ }$، ${180^ \circ }$، ${270^ \circ }$، ${360^ \circ }$) پرداختیم. همچنین علامت نسبت‌های مثلثاتی را در چهار ربع دایره مثلثاتی یاد گرفتیم. اکنون به مقدار این نسبت‌ها برای برخی دیگر از زوایا و رابطهٔ بین آنها می‌پردازیم.

نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمّم

می‌دانید که به هر دو زاویه‌ای که مجموع اندازهٔ آنها ${90^ \circ }$ باشد زاویه‌های متمّم می‌گویند. نسبت‌های مثلثاتی چنین زاویه‌هایی با هم ارتباط دارند. فعالیت زیر به شما کمک می‌کند تا این روابط را پیدا کنید.

یک مثلث قائم‌الزاویه دلخواه مانند شکل زیر را در نظر بگیرید.

با توجه به شکل، دو ستون زیر را همانند نمونه کامل و سپس مقادیر مساوی در دو ستون را با هم نظیر کنید.

$\sin (\frac{\pi }{2} - \theta ) = \frac{c}{a}$	$\sin \theta = \frac{b}{a}$
$\cos (\frac{\pi }{2} - \theta ) = .....$	$\cos \theta = .....$
$\tan (\frac{\pi }{2} - \theta ) = .....$	$\tan \theta = .....$
$\cot (\frac{\pi }{2} - \theta ) = .....$	$\cot \theta = .....$

در فعالیت قبل زاویه‌های مورد بحث تند بودند. روابط به‌دست آمده در آنجا در حالت کلی نیز برقرار است. به‌طور کلی برای دو زاویه متمم $\theta $ و $\frac{\pi }{2} - \theta $ همواره روابط زیر برقرار است.

$\sin (\frac{\pi }{2} - \theta ) = \cos \theta $
$\cos (\frac{\pi }{2} - \theta ) = \sin \theta $
$\tan (\frac{\pi }{2} - \theta ) = \cot \theta $
$\cot (\frac{\pi }{2} - \theta ) = \tan \theta $

نسبت‌های مثلثاتی زوایای قرینه

در دایره مثلثاتی زیر نقطه $P$ انتهای کمان روبه‌رو به زاویه $\alpha $ است.مختصات نقطه $P$ برحسب نسبت‌های مثلثاتی زاویه $\alpha $ که در سال گذشته آموختید، داده شده است. همچنین با توجه به دستگاه مختصات واضح است که قرینه نقطه $P({x_P},{y_P})$ نسبت به محور $x$ها نقطه $Q({x_Q},{y_Q}) = Q({x_P}, - {y_P})$ می‌باشد.

الف) باتوجه به رابطهٔ بین مختصات نقاط $P$ و $Q$ روابط مثلثاتی زیر را مانند نمونه تکمیل کنید.

${x_Q} = {x_P} \Rightarrow \cos ( - \alpha ) = \cos \alpha $

${y_Q} = - {y_P} \Rightarrow .....................$

ب) طرف دوم تساوی‌های زیر را با استفاده از روابط به‌دست آمده از قسمت الف کامل کنید.

$\tan ( - \alpha ) = $

$\cot ( - \alpha ) = $

دو زاویهٔ $\alpha $ و $ - \alpha $ قرینهٔ یکدیگرند. برای دو زاویهٔ قرینه روابط مثلثاتی زیر برقرار است.

$\sin ( - \alpha ) = - \sin \alpha $
$\cos ( - \alpha ) = \cos \alpha $
$\tan ( - \alpha ) = - \tan \alpha $
$\cot ( - \alpha ) = - \cot \alpha $

مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویه‌های مکمل

دو زاویه را مکمل گوییم اگر مجموع آنها ${180^ \circ }$ باشد. در فعالیت بعد روابط بین مقدار نسبت‌های مثلثاتی برای چنین زاویه‌هایی را به‌دست خواهیم آورد.

در دایره مثلثاتی زیر نقطه $P({x_P},{y_P})$ انتهای کمان روبه‌رو به زاویه $\alpha $ است. با توجه به دستگاه مختصات واضح است که نقطه $Q({x_Q},{x_Q}) = Q( - {x_P},{y_P})$ قرینه نقطه $P$ نسبت به محور $y$ها است.

الف) با توجه به مختصات نقاط $P$ و $Q$ روابط زیر را همانند نمونه تکمیل کنید.

${x_Q} = - {x_P} \Rightarrow \cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha $

${y_Q} = {y_P} \Rightarrow .......................$

ب) با توجه به روابط قسمت الف، تساوی‌های زیر را تکمیل کنید.

$\tan (\pi - \alpha ) = $

$\cot (\pi - \alpha ) = $

از فعالیت قبل می‌توان نتیجه گرفت که بین هر دو زاویه مکمل $\alpha $ و $\pi - \alpha $ روابط زیر برقرار است.

$\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha $
$\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha $
$\tan (\pi - \alpha ) = - \tan \alpha $
$\cot (\pi - \alpha ) = - \cot \alpha $

زوایای $\alpha $ و $\pi + \alpha $ را در یک دایره مثلثاتی رسم کنید و نقاط انتهایی کمان‌های روبه‌رو به این دو زاویه را به ترتیب $P({x_P},{y_P})$ و $Q({x_Q},{y_Q})$ بنامید. از دستگاه مختصات واضح است که نقطه $Q$ قرینه نقطه $P$ نسبت به مبدأ مختصات است و از این رو $Q({x_Q},{y_Q}) = Q( - {x_P}, - {y_P})$. اکنون با استدلالی مشابه به فعالیت بالا نشان دهید که روابط زیر برقرار است.

$\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha $
$\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha $
$\tan (\pi + \alpha ) = \tan \alpha $
$\cot (\pi + \alpha ) = \cot \alpha $

مثال: مقدار نسبت های مثلثاتی برخی زوایا در زیر محاسبه شده است.

$\sin ( - \frac{{7\pi }}{6}) = - \sin (\frac{{7\pi }}{6}) = - \sin (\pi + \frac{\pi }{6}) = \sin \frac{\pi }{6} = \frac{1}{2}$

$\sin ({225^ \circ }) = \tan ({180^ \circ } + {45^ \circ }) = \tan {45^ \circ } = 1$

$\cos ({120^ \circ }) = \cos ({180^ \circ } - {60^ \circ }) = - \cos ({60^ \circ }) = - \frac{1}{2}$

نسبت‌های مثلثاتی زوایای با مجموع یا تفاضل $2k\pi $ رادیان

زاویه‌هایی مانند $\alpha $ و $2\pi + \alpha $ در شکل زیر که انتهای کمان‌های آنها برهم منطبق می‌شود را زوایای هم انتها گویند. از آنجا که نقطه $P$ انتهای هر دو کمان می‌باشد لذا نسبت‌های مثلثاتی این دو زاویه باهم برابرند.

$\sin (2\pi + \alpha ) = \sin \alpha $
$\cos (2\pi + \alpha ) = \cos \alpha $
$\tan (2\pi + \alpha ) = \tan \alpha $
$\cot (2\pi + \alpha ) = \cot \alpha $

این حالت برای بیش از یک دوران کامل، یعنی زوایای به‌صورت $2k\pi + \alpha $، نیز برقرار است. $(k \in \mathbb{Z})$

$\sin (2k\pi + \alpha ) = \sin \alpha $
$\cos (2k\pi + \alpha ) = \cos \alpha $
$\tan (2k\pi + \alpha ) = \tan \alpha $
$\cot (2k\pi + \alpha ) = \cot \alpha $

از آنجا که زوایای $ - \alpha $ و $2k\pi - \alpha $ $(k \in \mathbb{Z})$ نیز هم انتها هستند (چرا؟)، با استدلالی مشابه بالا و با استفاده از نتیجه فعالیت بالا نشان دهید که نسبت‌های مثلثاتی زوایای $2k\pi - \alpha $ به‌صورت زیر برقرارند.

$\sin (2k\pi - \alpha ) = - \sin \alpha $
$\cos (2k\pi - \alpha ) = \cos \alpha $
$\tan (2k\pi - \alpha ) = - \tan \alpha $
$\cot (2k\pi - \alpha ) = - \cot \alpha $

مثال: مقدار نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا در زیر محاسبه شده است.

$\tan (\frac{{5\pi }}{3}) = \tan (2\pi - \frac{\pi }{3}) = - \tan (\frac{\pi }{3}) = - \sqrt 3 $ (الف

$\sin ({405^ \circ }) = \sin ({360^ \circ } + {45^ \circ }) = \sin ({45^ \circ }) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (ب

1) مقدار نسبت‌های مثلثاتی زیر را به‌دست آورید.

$\sin ({210^ \circ }) = $ (الف

$\tan ( - \frac{{7\pi }}{4}) = $ (ب

$\cot ({135^ \circ }) = $ (پ

$\cot (\frac{{3\pi }}{4}) = $ (ت

2) جدول زیر را همانند نمونه کامل کنید. $(0 \lt \theta \lt \frac{\pi }{2})$

3) برای زوایای قرینهٔ $(\alpha = - \theta )$ از کدام ستون جدول بالا می‌توان کمک گرفت؟ چرا؟

در دایرهٔ مثلثاتی زیر زاویه‌های $\theta $ و $\frac{\pi }{2} + \theta $ رسم شده‌اند.

الف) با توجه به شکل، نشان دهید دو مثلث $\mathop {OPP'}\limits^\Delta $ و $\mathop {OQQ'}\limits^\Delta $ هم‌نهشت هستند.

ب) از تساوی اضلاع نظیر در دو مثلث فوق روابط زیر را همانند نمونه تکمیل کنید.

${x_Q} = - {y_p} \Rightarrow \cos (\frac{\pi }{2} + \theta ) = - \sin \theta $

${y_Q} = ........................$

پ) طرف دوم تساوی‌های زیر را با استفاده از روابط قسمت ب کامل کنید.

$\tan (\frac{\pi }{2} + \theta ) = ........................$

$\cot (\frac{\pi }{2} + \theta ) = ........................$

به طور کلی برای دو زاویهٔ $\theta $ و $\frac{\pi }{2} + \theta $ روابط زیر برقرار است.

$\sin (\frac{\pi }{2} + \theta ) = \cos \theta $
$\cos (\frac{\pi }{2} + \theta ) = - \sin \theta $
$\tan (\frac{\pi }{2} + \theta ) = - \cot \theta $
$\cot (\frac{\pi }{2} + \theta ) = - \tan \theta $

1) مقدار نسبت‌های مثلثاتی زیر را به‌دست آورید.

$\sin ({300^ \circ }) = $ (الف

$\cot ({750^ \circ }) = $ (ب

$\cos ( - \frac{\pi }{6}) = $ (پ

$\cos ( - \frac{{23\pi }}{4}) = $ (ت

$\sin (\frac{{5\pi }}{4}) = $ (ث

$\tan ( - {840^ \circ }) = $ (ج

$\tan ( - {150^ \circ }) = $ (چ

$\cos (\frac{{9\pi }}{4}) = $ (ح

$\tan (\frac{{10\pi }}{3}) = $ (خ

2) شدت نور وارد بر یک سلول خورشیدی، با زاویه تابش $\alpha $ در ارتباط است(شکل زیر). اگر شدت نور را با $I$ نشان دهیم، رابطهٔ $I = k\sin (\frac{\pi }{2} - \alpha )$ که در آن $k$ یک عدد ثابت مثبت است، شدت نور را به‌دست می‌دهد.

الف) با توجه به شکل و با استفاده از روابط مثلثاتی، رابطه شدت نور را بر حسب کسینوس زاویه $\theta $ در شکل بازنویسی کنید.

ب) شدت نور را برای زاویه‌های $\theta = 0$، $\theta = \frac{\pi }{6}$ و $\theta = \frac{\pi }{3}$ برحسب $k$ به‌دست آورید.

پ) زاویه $\theta $ چقدر باشد تا بیشترین شدت نور به‌دست آید؟ چرا؟ (راهنمایی: از دایره مثلثاتی کمک بگیرید).

3) درستی یا نادرستی عبارات زیر را مشخص کنید (زوایا برحسب رادیان است).

$\cos \theta + \cos (\pi - \theta ) = 0$ (الف

$\sin (\frac{\pi }{2} - \theta ) + \cos \theta = 1$ (ب

$\cos (7) = \cos ( - 7)$ (ج

$\tan (\pi - \theta ) = \tan \pi - \tan \theta $ (د

درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

درس 2: نسبت‌های مثلثاتی برخی زوایا

نسبت‌های مثلثاتی زوایای متمّم

فعالیت (صفحه 98 کتاب درسی)

نسبت‌های مثلثاتی زوایای قرینه

فعالیت (صفحه 99 کتاب درسی)

مقادیر نسبت های مثلثاتی زاویه‌های مکمل

فعالیت (صفحه 100 کتاب درسی)

نسبت‌های مثلثاتی زوایای با مجموع یا تفاضل $2k\pi $ رادیان

کاردرکلاس (صفحه 102 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 103 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 104 کتاب درسی)