درسنامه آموزشی فصل سوم حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

ویژگی‌های لگاریتم

برای حل یک مسئله واقعی که در بیان ریاضی آن لگاریتم به کار رفته است، نیازمند استفاده از روابطی هستیم که بین لگاریتم‌ها برقرار است. به همین جهت در این قسمت به بیان و اثبات روابط و ویژگی‌های لگاریتم می‌پردازیم. برخی از ویژگی‌های سادهٔ لگاریتم به‌صورت زیر هستند:

مثال:

الف) ${\log _a}1 = 0$، زیرا ${a^0} = 1$

ب) ${\log _a}a = 1$، زیرا ${a^1} = a$

مثال: نشان دهید برای اعداد حقیقی مثبت $a$، $b$ و $c$، که $c \ne 1$، همواره داریم:

${\log _c}ab = {\log _c}a + {\log _c}b$

حل: فرض کنیم $x = {\log _c}a$ و $y = {\log _c}b$. پس طبق تعریف، $a = {c^x}$ و $b = {c^y}$. از این رو ${c^y} = {c^{x + y}}$ . $ab = {c^x}$ و طبق تعریف لگاریتم داریم ${\log _c}ab = x + y$. در نتیجه ${\log _c}ab = {\log _c}b$.

مثال: با توجه به مثال قبل، ${\log _a}{b^2} = {\log _a}(b \times b) = {\log _a}b + {\log _a}b = 2{\log _a}b$. به‌طور مشابه ${\log _a}{b^3} = {\log _a}({b^2} \times b) = ({\log _a}b + {\log _a}b) + {\log _a}b = 3{\log _a}b$ و به‌طور کلی اگر $b \gt 0$، $a \ne 1$ و د یک عدد حقیقی باشد، آنگاه

${\log _a}{b^n} = n{\log _a}b$

به خصوص ${\log _a}{a^n} = n$.

قرارداد: همواره منظور از $\log a$ عبارت است از ${\log _{10}}a$. همچنین، لگاریتم در پایه 10 را لگاریتم اعشاری می‌نامیم.

مثال: فرض کنیم $a = \log 2$. نشان دهید $\log 5 = 1 - a$.

حل: می‌دانیم ${\log _{10}}10 = 1$، پس طبق مثال بالا، $1 = \log 10 = \log 2 + \log 5$ و در نتیجه $\log 5 = 1 - \log 2 = 1 - a$.

معادلات لگاریتمی

در برخی از مدل‌سازی‌ها به یک معادلهٔ شامل عبارت‌های لگاریتمی می‌رسیم؛ مانند محاسبهٔ شدت زلزله، مشخص کردن ضعیف‌ترین صدای قابل شنیدن یا آستانه شنوایی، پیش بینی تعداد جمعیت یک جامعه پس از زمان مشخص و محاسبهٔ نیمه عمر عناصر رادیو اکتیو. در حل بسیاری از این معادلات، جواب‌ها با استفاده از خواص لگاریتم به‌دست می‌آیند که به این معادلات، معادلات لگاریتمی می‌گوییم. منظور از حل معادله لگاریتمی، یافتن مقدار یا مقادیری از متغیر است که در معادله صدق کند. تساوی‌های زیر نمونه هایی از معادلات لگاریتمی هستند:

$\log (x + 1) = 3\,\,\,\,,\,\,\,\,{\log _3}x = {\log _3}r\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{\log _3}x + {\log _3}(x - 1) = {\log _3}12$

در حالت کلی داریم:

مثال: معادلهٔ لگاریتمی ${\log _5}({x^2} - 2) = {\log _5}x$ را حل کنید.

حل: به سادگی می‌توان دید ${x^2} - 2 = x$ و از این‌رو ${x^2} - x - 2 = 0$. از طرفی ${x^2} - x - 2 = (x + 1)(x - 2)$ و در نتیجه ریشه‌های معادله اخیر برابر است با 2 و 1-. قسمت مهم حل یک معادله لگاریتمی آزمایش کردن جواب‌هاست. در این مثال، چون لگاریتم اعداد نامثبت تعریف نشده است، تنها جواب قابل قبول $x = 2$ است (چرا؟)

مثال: معادله لگاریتمی $3{\log _5}x - {\log _5}4 = {\log _5}16$ را حل کنید.

حل: می‌دانیم $3{\log _5}x - {\log _5}4 = {\log _5}\left( {\frac{{{x^3}}}{4}} \right)$، بنابراین ${\log _5}\left( {\frac{{{x^3}}}{4}} \right) = {\log _5}16$ و در نتیجه $\frac{{{x^3}}}{4}$. از این‌رو ${x^3} = 16 \times 4 = 64$. بنابراین $x = 4$. با جای‌گذاری $x = 4$ در معادله بالا می‌توان دید این جواب قابل قبول است.

کاربردهای لگاریتم

مثال: جدول زیر، جمعیت جهان را در قرن بیستم و پایان دهه اول قرن بیست و یکم نشان می‌دهد.

2010	2000	1990	1980	1970	1960	1950	1940	1930	1920	1910	1900	سال
6800	6080	5280	4450	3710	3040	2560	2300	2070	1860	1750	1650	جمعیت (میلیون)

الف) باتوجه به جدول، نمودار جمعیت جهان برحسب سال به‌صورت زیر است:

ب) اگر محور $x$ها بیانگر سال و محور $g$ها بیانگر جمعیت باشد، تابع جمعیت در انتهای هر سال به‌صورت $g(x) = 0/008{(1/01376)^x}$ برآورد می‌شود. به سادگی دیده می‌شود که جمعیت در پایان سال 2016 تقریباً برابر است با:

$g(2016) = 0/008{(1/01376)^{2016}} \simeq 7,385,074,512$

در اینجا می‌توان حدس زد که در چه سالی جمعیت جهان به 8 میلیارد خواهد رسید، زیرا داریم:

$g(x) = 8 \times {10^{ - 3}}{(1/01376)^x} = 8 \times {10^9}$

$ \Rightarrow {(1/01376)^x} = {10^{12}} \Rightarrow x\log 1/01376 = \log {10^{12}} \Rightarrow x = \frac{{12}}{{\log 1/01376}} \simeq 2021$

$(\log 1/01376 \simeq 0/005935)$

مثال: ریشتر، مقیاسی برای اندازه گیری بزرگی زمین لرزه و نماد میزان انرژی آزاد شده در زلزله است. اگر بزرگی زمین لرزه برابر $M$ در مقیاس ریشتر باشد، مقدار انرژی آزاد شده بر حسب ارگ $(Erg)$ از رابطهٔ زیر حاصل می‌شود:

$\log E = 11/8 + 1/5M$

از این رابطه می‌توان محاسبه کرد که مقدار انرژی آزاد شده در یک زلزله 6/6 ریشتری برابر است با:

$\log E = 11/8 + 1/5(6/6) = 21/7 \Rightarrow E = {10^{21/7}}Erg.$

مثال: نیمه عمر یک نوع ماده هسته‌ای حدود 25 سال است. اگر جرم نمونه‌ای از این ماده، 24 میلی‌گرم باشد جدول زیر تغییرات جرم نمونه پس از $t$ سال را نشان می‌دهد.

با توجه به جدول جرم باقی مانده از این نمونه بعد از گذشت $t$ سال از رابطه $m(t) = \frac{1}{{{2^{\frac{t}{{25}}}}}}(24) = 24 \times {2^{\frac{{ - t}}{{25}}}}$ به‌دست می‌‌آید. بنابراین، به عنوان مثال جرم باقی مانده پس از 40 سال برابر است با:

$m(t)$ (جرم برحسب میلی‌گرم)	$t$ (زمان برحسب سال)
24	0
$\frac{1}{2}(24) = 12$	25
$\frac{1}{{{2^2}}} \times 24 = 6$	50
$\frac{1}{{{2^3}}} \times 24 = 3$	75
$\frac{1}{{{2^4}}} \times 24 = 1/5$	100

$m(40) = 24\left( {{2^{ - \frac{{40}}{{25}}}}} \right) \simeq 7/90mg$