درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

معادلاتِ شامل عبارات گویا

حل یک مسئله

در یک مغازهٔ ماهی‌های تزیینی، ماهی‌های آب‌شور در محلول‌های آب نمک 7 درصدی نگهداری می‌شوند. یک کارگر مبتدی 200 کیلوگرم محلول آب نمک 4 درصدی ساخته است. او چگونه باید این محلول را به غلظت مورد نظر برساند؟

برای حل این مسئله سه حالت مختلف فرض می‌کنیم. ممکن است نمک به اندازه کافی وجود داشته باشد و یا نمک در مغازه موجود نباشد و یا نمک به میزان کافی وجود نداشته باشد. در هر حالت می‌توان مسئله را مورد بررسی قرار داد.

حالت اول: فرض کنیم نمک به اندازه کافی موجود باشد.

ابتدا تعیین می‌کنیم در محلول 4 درصدی چند کیلوگرم نمک وجود دارد:

کیلوگرم $200 \times \frac{4}{{100}} = 8$

حالا اگر بخواهیم برای رساندن این محلول به محلول 7 درصدی $x$ کیلوگرم نمک به محلول بیفزاییم، وزن نمک $8 + x$ و وزن کل محلول $200 + x$ و نسبت میزان نمک موجود به کل محلول برابر $\frac{{8 + x}}{{200 + x}}$ خواهد بود. از آنجا که این نسبت باید 7 درصد باشد تناسب زیر برقرار خواهد بود:

$\frac{{8 + x}}{{200 + x}} = \frac{7}{{100}}$

برای حل این معادله که شامل عبارت گویا است، طرفین معادله را در کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها یعنی $100(200 + x)$ ضرب می‌کنیم.

$100(8 + x) = 7(200 + x)$

از حل این معادله خواهیم داشت: $93x = 600$ و در نتیجه $x = \frac{{600}}{{93}}$

بنابراین تقریباً 6 کیلو و 451 گرم نمک باید به محلول اضافه شود تا محلول 7 درصد نمک به‌دست آید.

حالت دوم: اگر نمک در مغازه موجود نباشد.

در این حالت باید $y$ کیلوگرم از آب محلول را تبخیر کنیم تا درصد نمک محلول خودبه‌خود به 7 برسد. واضح است که میزان نمک محلول کم نخواهد شد. در این حالت معادله مورد نظر به‌صورت زیر خواهد بود. (چرا؟)

$\frac{8}{{200 - y}} = \frac{7}{{100}}$

از حل این معادله خواهیم داشت $800 = 7(200 - y)$ و از آنجا $y = \frac{{600}}{7}$ و این بدین معنی است که کارگر باید با تبخیر 85 کیلو و 714 گرم از آب محلول به غلظت مورد نظر برسد.

مثال: معادله $\frac{3}{{x + 2}} + \frac{2}{x} = \frac{{4x - 4}}{{{x^2} - 4}}$ را حل کنید.

حل: کوچک‌ترین مضرب مشترک مخرج‌ها برابر $x({x^2} - 4)$ است. (چرا؟)

با ضرب طرفبن معادله در این عبارت داریم:

$3x(x - 2) + 2({x^2} - 4) = x(4x - 4)$

$3{x^2} - 6x + 2{x^2} - 8 = 4{x^2} - 4x$

$x =  - 2$  یا  ${x^2} - 2x - 8 = 0 \Rightarrow (x - 4)(x + 2) = 0 \Rightarrow x = 4$

البته جواب $x =  - 2$ مورد قبول نیست. (چرا؟)

معادلات شامل عبارت‌های گنگ

طرح یک مسئله

معمولا مرغ‌های دریایی، برای شکار ماهی‌ها، بخشی از مسیر خود را در هوا و بخشی را به موازات سطح آب طی می کنند. یک مرغ دریایی در نقطه $A$ به ارتفاع 6 متر از سطح آب قرار دارد. فاصله تصویر مرغ روی آب از ماهی که در نقطه $C$ قرار دارد 12 متر است. مرغ ابتدا از نقطه $A$ به نقطه $B$ می‌آید سپس در سطح آب از $B$ به $C$ می‌رود و ماهی را شکار می‌کند. اگر مرغ دریایی برای طی هر متر در هوا 14 کیلوکالری و برای طی هر متر در سطح آب 10 کیلوکالری انرژی مصرف کند، نقطه $B$ در چه فاصله‌ای از $C$ باید باشد تا مرغ دریایی روی هم 180 کیلوکالری انرژی مصرف کند؟

حل: برای درک بهتر صورت مسئله شکل زیر را رسم می‌کنیم. فاصلهٔ $B$ از تصویر مرغ بر روی آب ($H$) را $x$ می‌گیریم در نتیجه فاصله میان $B$ و $C$ برابر $12 - x$ می شود. با استفاده از رابطه فیثاغورس طول $AB$ برابر $\sqrt {36 + {x^2}} $.

میزان انرژی مصرف شده توسط مرغ دریایی برابر است با:

$14\sqrt {36 + {x^2}}  + 10(12 - x)$

برای آنکه مرغ دریایی روی هم 180 کیلوکالری انرژی مصرف کند باید داشته باشیم:

$14\sqrt {36 + {x^2}}  + 120 - 10x = 180 \Rightarrow 14\sqrt {36 + {x^2}}  = 10x + 60$

$7\sqrt {36 + {x^2}}  = 5x + 30$

با به توان دو رساندن طرفین معادله اخیر و ساده کردن به معادله درجه دوم $2{x^2} - 25x + 72 = 0$ می‌رسیم که از آنجا $x = 8$ یا $x = 4/5$. در این صورت فاصلهٔ $B$ تا $C$ برابر $12 - 8 = 4$ یا $12 - 4/5 = 7/5$ خواهد بود.

اگر مرغ دریایی مستقیماً از $A$ به $C$ پرواز می‌کرد چقدر کالری مصرف می‌کرد؟

آیا اقدام مرغ دریایی برای شکار ماهی‌ها هوشمندانه نمی‌باشد؟!

مثال: معادله $\sqrt {x + 2}  = x - 4$ را حل کنید.

حل:

${(\sqrt {x + 2} )^2} = {(x - 4)^2}$

$x + 2 = {x^2} - 8x + 16$

${x^2} - 9x + 14 = 0$

$x = 7$   و   $(x - 2)(x - 7) = 0 \Rightarrow x = 2$

آزمایش جواب‌ها

${x_1} = 2:\sqrt {2 + 2} \mathop  = \limits^? 2 - 4$

$ \times $ $2 \ne  - 2$
جواب مسئله نیست 

${x_2} = 7:\sqrt {7 + 3} \mathop  = \limits^? 7 - 4$

$ + $ $3 = 3$
جواب معادله است

بنابراین $x = 7$ تنها جواب معادله است.

تذکر: در حل این مسئله طرفین معادله اولیه نامنفی بودند و به‌توان دو رساندن آنها مشکلی ایجاد نمی‌کرد. در حل معادلات گنگ می‌توان با تعیین دامنه تعریف معادله، جواب‌های نهایی را با استفاده از آن مورد بررسی قرار داد. در حل این مسئله برای به‌دست آوردن دامنه تعریف داریم:

$\left\{ \begin{gathered}
  x + 2 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant  - 2 \hfill \\
  x - 4 \geqslant 0 \Rightarrow x \geqslant 4\,\,\, \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.\,\,\,\, \Rightarrow x \geqslant 4$

بنابراین تنها جواب‌هایی قابل قبول است که در شرط $x \geqslant 4$ صدق کنند.