درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی
درس 2: معادلات درجه دوم
در سالهای قبل با معادلههای درجه اول و درجه دوم و حل آنها آشنا شدهاید. صورت کلی معادلات درجه دوم بهصورت $a{x^2} + bx + c = 0$ است $(a \ne 0)$ که جوابهای آن، در صورت وجود، از رابطهٔ $x = \frac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}}$ بهدست میآید. اینک، در این بخش، با برخی از انواع معادلات درجه دوم، روابط بین ریشهها و ضرایب این معادلات و دیگر نکات تکمیلی آشنا خواهید شد.
کاردرکلاس (صفحه 7 کتاب درسی)
1) معادله $3{x^2} = 5x - 2$ را حل کنید.
2) اگر $x = - 1$ یک ریشهٔ معادله $4{x^2} - mx - 7 = 0$ باشد، ریشه دیگر کدام است؟
روابط بین ضرایب و ریشههای معادلۀ درجه دوم
فعالیت (صفحه 8 کتاب درسی)
1) جدول زیر را مطابق نمونه کامل کنید.
| $\frac{c}{a}$ | $\frac{{ - b}}{a}$ | $c$ | $b$ | $a$ | ضرب ریشهها ($P$) | جمع ریشهها ($S$) | مقدار هر ریشه ${x_1}$ و ${x_2}$ |
$a{x^2} + bx + c = 0$ | |
| $3{x^2} - 5x + 2 = 0$ | |||||||||
| $\frac{{ - 7}}{4}$ | $ - $ |
7- | 3- | 4 | $\frac{{ - 7}}{4}$ | $\frac{3}{4}$ | $\frac{7}{4}$ | 1- | $4{x^2} - 3x - 7 = 0$ |
| 1 | ${x^2} - 2x + 1 = 0$ | ||||||||
| $\frac{4}{5}$ | $5{x^2} + 6x - 8 = 0$ | ||||||||
2) الف) در جدول بالا بین جمع ریشهها و ضرایب هر معادله چه ارتباطی مشاهده میکنید؟
ب) در جدول بالا بین حاصل ضرب ریشهها و ضرایب معادله چه ارتباطی وجود دارد؟
3) اگر ${x_1}$ و ${x_2}$ ریشهها و $S$ و $P$ به ترتیب حاصل جمع و حاصل ضرب ریشههای معادلهٔ درجه دوم $a{x^2} + bx + c = 0$ باشند، نشان دهید:
$S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b + \sqrt \Delta }}{{2a}} + \frac{{ - b - \sqrt \Delta }}{{2a}} = ... = \frac{{ - b}}{a}$
$P = {x_1}{x_2} = (\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,) = \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{c}{a}$
مثال: اگر $x = - 1$ یک ریشهٔ معادلهٔ $4{x^2} - mx - 7 = 0$ باشد ریشه دیگر و مقدار $m$ را با استفاده از روابط بین ضرایب و ریشهها بهدست آورید.
حل: اگر ${x_1}$ و ${x_2}$ ریشههای این معادله باشند، داریم:
$P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \Rightarrow ( - 1){x_2} = \frac{{ - 7}}{4} \Rightarrow {x_2} = \frac{7}{4}$
از طرفی با استفاده از جمع ریشهها داریم:
$S = {x_1} + {x_2} = \frac{{ - b}}{a} \Rightarrow - 1 + \frac{7}{4} = \frac{m}{4} \Rightarrow m = 3$
فعالیت (صفحه 9 کتاب درسی)
1) برای تشکیل معادله درجه دومی که ریشه های آن 2 و 3- باشند راه حل زیر ارائه شده است.
مراحل حل را توضیح دهید.
$\left\{ \begin{gathered}
x = 2 \hfill \\
x = - 3 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x - 2 = 0 \hfill \\
x + 3 = 0 \hfill \\
\end{gathered} \right. \Rightarrow (x - 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow {x^2} + x - 6 = 0$
2) اگر ${x_1} = \alpha $ و ${x_2} = \beta $ ریشههای یک معادله درجه دوم باشند، با استفاده از روش قسمت قبل معادله را مشخص کنید.
کاردرکلاس (صفحه 9 کتاب درسی)
معادله درجه دومی تشکیل دهید که ریشههای آن $2 + \sqrt 3 $ و $2 - \sqrt 3 $ باشند.
مثال: محیط یک مستطیل 33 سانتیمتر و مساحت آن 65 سانتیمتر مربع است. ابعاد مستطیل را بهدست آورید.
حل: فرض کنید طول و عرض مستطیل به ترتیب ${x_1}$ و ${x_2}$ باشند، داریم:
${x_1} + {x_2} = \frac{{33}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x_1}{x_2} = 65$
معادله درجه دومی تشکیل میدهیم که در آن $S = \frac{{33}}{2}$ و $P = 65$ باشد و آن را حل میکنیم.
${x^2} - Sx + P = 0 \Rightarrow {x^2} - \frac{{33}}{2}x + 65 = 0 \Rightarrow 2{x^2} - 33x + 130 = 0$
از حل معادله اخیر ${x_1} = 10$ یا ${x_2} = \frac{{13}}{2}$ بهدست میآید؛ در نتیجه، طول و عرض مستطیل به ترتیب 10 و $\frac{{13}}{2}$ خواهد بود.
صفرهای تابع
فعالیت (صفحه 10 کتاب درسی)
نمودار تابع $f$ با ضابطه $f(x) = {x^2} + 4x + 3$ در شکل زیر رسم شده است.
1) معادله $f(x) = 0$ را حل کنید و جوابهای آن را بهدست آورید.
2) محل تلافی نمودار تابع $f$ با محور طولها چه رابطهای با جوابهای معادله $f(x) = 0$ دارد؟
کاردرکلاس (صفحه 10 کتاب درسی)
1) نمودار سهمیهای $f(x) = {x^2} - 2x + 1$ و $g(x) = {x^2} + 1$ را رسم کنید.
2) با توجه به نمودارهایی که رسم کردید در مورد جوابهای معادلههای $f(x) = 0$ و $g(x) = 0$ چه میتوان گفت؟
مثال: اگر $x'$ و $x''$ صفرهای تابع درجه دوم $f(x) = a{x^2} + bx + c$ باشند نشان دهید
$a{x^2} + bx + c = a(x - x')(x - x'')$
حل: از آنجا که $x'$ و $x''$ صفرهای تابع $f(x) = a{x^2} + bx + c$ هستند پس جوابهای معادله $a{x^2} + bx + c = 0$ هستند و داریم:
$a(x - x')(x - x'') = a({x^2} - (x' + x'')x + x'x'')$
$ = a({x^2} - Sx + p)$
$ = a\left[ {{x^2} - (\frac{{ - b}}{a})x + \frac{c}{a}} \right]$
$ = a{x^2} + bx + c$
مثال: اگر نمودار سهمی $y = a{x^2} + bx + c$ بهصورت زیر باشد ضابطه سهمی را مشخص کنید.
روش اول: از آنجا که $x' = 2$ و $x'' = 6$ صفرهای تابع $f(x) = a{x^2} + bx + c$ هستند با استفاده از رابطهای که درمثال قبل آمده است میتوان نوشت:
$f(x) = a{x^2} + bx + c = a(x - 2)(x - 6)$
میدانیم نمودار تابع از نقطه $(0,3)$ میگذرد پس مختصات این نقطه در ضابطهٔ تابع صدق میکند و داریم.
$3 = a(0 - 2)(0 - 6) \Rightarrow a = \frac{1}{4}$
معادله سهمی بهصورت $y = \frac{1}{4}(x - 2)(x - 6)$ میباشد که پس از سادهسازی بهصورت $y = \frac{1}{4}{x^2} - 2x + 3$ نوشته میشود.
روش دوم: از آنجا که $f(0) = 3$ میتوان نوشت $f(x) = a{x^2} + bx + 3$؛ حال از روابط بین صفرهای تابع استفاده میکنیم.
$\frac{c}{a} = 12 \Rightarrow \frac{3}{a} = 12 \Rightarrow a = \frac{1}{4}$
از طرفی از آنجا که $\frac{{ - b}}{a} = 8$ و $a = \frac{1}{4}$ پس $b = - 2$ و در نتیجه $y = \frac{1}{4}{x^2} - 2x + 3$
کاردرکلاس (صفحه 12 کتاب درسی)
هر یک از شکلهای زیر نمودار یک سهمی به معادلهٔ کلی $f(x) = a{x^2} + bx + c$ است.
1) با توجه به معادله $f(x) = 0$ نمودار یا نمودارهای متناظر با هر یک از ویژگیهای زیر را مشخص کنید.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
الف) دو ریشهٔ متمایز مثبت دارد. (شکلهای 8 و 9)
ب) دو ریشهٔ منفی دارد. ( )
پ) یک ریشهٔ مثبت و یک ریشهٔ منفی دارد . ( )
ت) ریشه ندارد. ( )
ث) ریشه ندارد و داری ماکزیمم است. ( )
ج) یک ریشه مضاعف دارد. ( )
چ) حاصل جمع ریشههای متمایز مثبت است. ( )
ح) حاصل جمع ریشهها منفی است. ( )
2) با توجه به نمودارهای داده شده مقابل، جدول زیر را مانند نمونه کامل کنید.
| ویژگی | شماره شکل | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| تعداد صفر $f$ | 2 | 0 | ||||||||
| علامت $a$ | + | + | - | |||||||
| علامت $b$ | + | - | - | |||||||
| علامت $c$ | - | + | - | |||||||
تذکر: ستون نظیر شکل پنجم را با توجه به استدلال زیر کامل کردهایم. از آنجا که منحنی سهمی محور $x$ها را قطع نکرده است پس تعداد صفرهای تابع متناظر آن صفر خواهد بود؛ و چون شاخههای منحنی به سمت بالا هستند علامت $a$ مثبت است. از آنجا که منحنی، محور $y$ها را در نقطه با عرض مثبت قطع میکند پس $c gt 0$ و طول نقطه مینیمم تابع ، مقداری مثبت است . پس $\frac{{ - b}}{{2a}} \gt 0$ و از مثبت بودن $a$ و رابطه اخیر نتیجه میشود $b \lt 0$.
مثال: اگر $x = 2$ یکی از صفرهای تابع $p(x) = {x^3} - {x^2} - 4x + 4$ باشد سایر صفرهای تابع را در صورت وجود بیابید.
حل: از آنجا که $x = 2$ یک صفر تابع $p(x)$ است میتوان نشان داد که $p(x)$ عاملی بهصورت $x - 2$ دارد7 پس با تقسیم $p(x)$ بر $x - 2$ عامل دیگر $p(x)$ را مییابیم.
میتوان نوشت $p(x) = (x - 2)\,\,({x^2} + x - 2)$. آنگاه از حل معادله $p(x) = 0$ داریم:
$\left\{ \begin{gathered}
x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2 \hfill \\
{x^2} + x - 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}
x = - 2 \hfill \\
x = 1 \hfill \\
\end{gathered} \right. \hfill \\
\end{gathered} \right.\,\,$
کاردرکلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
مقدار $k$ را چنان بیایید که یکی از صفرهای تابع $f(x) = {x^3} + k{x^2} - x - 2$ برابر (2-) باشد، سپس صفرهای دیگر تابع را بهدست آورید.
مثال: صفرهای تابع $f$ با ضابطه $f(x) = {({x^2} - 1)^2} + ({x^2} - 1) - 2$ را بهدست آورید.
حل: هر چند معادله $f(x) = 0$ از درجهٔ چهار است امّا میتوان با یک تغییر متغیر مناسب آن را به یک معادله درجه دوم تبدیل کرد. با فرض ${x^2} - 1 = t$ معادله بهصورت ${t^2} + t - 2 = 0$ در میآید. اکنون با حل این معادله و یافتن $t$ با استفاده از عبارت ${x^2} - 1 = t$ مقادیر $x$ را مییابیم.
$\left\{ \begin{gathered}
t = 1 \Rightarrow {x^2} - 1 = 1 \Rightarrow x = \pm \sqrt 2 \,\,\,\,\,\, \hfill \\
t = - 2 \Rightarrow {x^2} - 1 = - 2 \Rightarrow {x^2} = - 1 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
پس تنها صفرهای قابل قبول برای تابع $f$، $\sqrt 2 $ و $ - \sqrt 2 $ میباشد.
کاردرکلاس (صفحه 13 کتاب درسی)
همهٔ صفرهای تابع $f(x) = {x^4} - 10{x^2} + 16$ را به دست آورید.
روش هندسی حل معادلات
فعالیت (صفحه 14 کتاب درسی)
1) معادله ${(x - 1)^2} = \frac{1}{2}x + 1$ را حل کنبد.
2) نمودار دو تابع $y = {(x - 1)^2}$ و $y = \frac{1}{2}x + 1$ را رسم کنید.
3) چه ارتباطی بین ریشههای معادله ${(x - 1)^2} = \frac{1}{2}x + 1$ و طولهای نقاط تلاقی نمودارها وجود دارد؟
مثال: به روش هندسی معادله $\left| x \right| = {x^2} - 2x$ را حل کنید.
حل: با فرض $f(x) = {x^2} - 2x$ و $g(x) = \left| x \right|$، نمودار این دو تابع را رسم میکنیم:
با توجه به نمودارهای دو تابع طول نقاط تلاقی دو نمودار عبارتاند از: $x = 3\,\,\,\,,\,\,\,\,x = 0$
که جوابهای معادله $\left| x \right| = {x^2} - 2x$ میباشند.
تمرین (صفحه 15 تا 16 کتاب درسی)
1) معادلهٔ درجه دومی بنویسید که:
الف) ریشههای آن $\frac{1}{3}$ و $\frac{2}{3}$ باشند.
ب) یکی از ریشههای آن دو برابر دیگری باشد (مسئله چند جواب دارد؟).
2) در هر یک از شکلهای زیر نمودار سهمی $P(x) = a{x^2} + bx + c$ داده شده است. در هر حالت صفرهای تابع $P(x)$ و ضابطه آن را مشخص کنید.
3) یک توپ فوتبال بر اثر ضربه بازیکن طبق شکل زیر حرکت میکند تا دوباره به زمین بخورد. در هر لحظه ارتفاع توپ از سطح زمین را میتوانیم با رابطهٔ $h(x) = 0/03x(x - 36)$ مدلسازی کنیم که $x$ فاصله افقی توپ از نقطه اولیه است ($x$ برحسب متر است)
الف) توپ چند متر افقی را طی میکند تا دوباره به زمین بخورد.
ب) توپ حداکثر تا چه ارتفاعی بالا میرود.
4) صفرهای توابع زیر را در صورت وجود بهدست آورید.
$f(x) = {x^3} - 4x$ (الف
$g(x) = 2{x^3} + {x^2} + 3x$ (ب
$h(x) = {x^4} + 3{x^2} + 5$ (پ
5) معادلات زیر را حل کنید.
${x^4} - 3{x^2} - 4 = 0$ (الف
${(\frac{{{x^2}}}{3} - 2)^2} - 7(\frac{{{x^2}}}{3} - 2) + 6 = 0$ (ب
${(4 - {x^2})^2} - (4 - {x^2}) = 12$ (پ
6) تعداد و مقدار تقریبی ریشههای معادله $\left| {x - 1} \right| = {x^2} - x - 1$ را با استفاده از روش هندسی بهدست آورید.
7) هر یک از سهمیهای زیر نمودار حالتی از تابع $f(x) = a{x^2} + bx + c$ است که در آن $\left| a \right| = 1$ است و نقطهٔ رأس سهمی نیز داده شده است.صفرهای تابع را در صورت وجود بهدست آورید و ضابطهٔ تابع را مشخص کنید.
8) یک استخر مستطیل شکل به ابعاد طول 10 و عرض 3 متر داریم که یک آبراه بتونی در اطرافش است. اگر این آبراه دارای پهنای یکسان و مساحت 14 متر مربع باشد، پهنای آن را محاسبه کنید.
9) طول یک نوع کاشی یک سانتیمتر بلندتر از چهار برابر عرض آن است. برای پوشانیدن دیواری به مساحت 52/8 متر مربع تعداد دو هزار کاشی مصرف شده است. طول هر کاشی چند سانتیمتر است؟
