درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

درس 1: مجموع جملات دنباله‌های حسابی و هندسی

بازدید7/5 K

تاریخ بروزرسانی1400/10/11

در سال قبل با مفهوم دنباله و دنباله‌های حسابی و هندسی آشنا شدید و می‌دانید که مجموعهٔ اعداد طبیعی $1,\,2\,,\,3\,,\,...$ یک دنبالهٔ حسابی با قدر نسبت یک می‌باشد. چگونگی به‌دست آوردن مجموع اعداد طبیعی 1 تا $n$ می‌تواند الگوی مناسبی باشد تا به یک دستور برای محاسبهٔ مجموع جملات هر دنبالهٔ حسابی برسیم.

تعدادی دگمه داریم که به شکل زیر آرایش شده‌اند. تعداد این دگمه‌ها چندتاست؟

1) یکی از راه‌ها، شمارش تعداد دگمه‌ها در هر ردیف است که مجموع آن برابر است با:

$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = ...$

2) راه دیگر استفاده از شهود و تجسم، با استفاده از شکل پایین، است.

در این شکل تعداد ردیف‌ها ... و تعداد دگمه‌ها در هر ردیف ... است، پس تعداد کل دگمه‌ها برابر ... است و چون تعداد دگمه‌های آبی و قرمز برابر است پس:

3) برای محاسبهٔ مجموع اعداد طبیعی 1 تا $n$ مراحل زیر را انجام داده‌ایم. چگونگی هر مرحله را توضیح دهید.

$2S = n(n + 1)$

$S = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

$1 + 2 + 3 + .... + n = \frac{{n(n + 1)}}{2}$

مثال: روی محیط دایره‌ای 20 نقطه متمایز قرار دارد. از هر نقطه به نقاط دیگر وصل می‌کنیم. تعداد کل وترهای تشکیل شده را به‌دست آورید.

حل: نقطه اول را به هر یک از نقاط دیگر وصل می‌کنیم در این صورت 19 وتر پدید می‌آید. با وصل نقطه دوم به نقاط دیگر (به‌غیر از نقطه اول 18) وتر به‌دست می‌آید. سپس نقطه سوم را به نقاط دیگر غیر از نقاط اول و دوم وصل می‌کنیم. 17 وتر حاصل می‌شود. با ادامه این عمل تعداد وترهای حاصل برابر است با:

$19 + 18 + 17 + ... + 2 + 1 = \frac{{19}}{2}(1 + 19) = 190$

تذکر: این مسئله را با استفاده از ترکیبیات نیز می‌توان حل کرد. آن را حل کرده و دو روش را با هم مقایسه کنید.

دنبالهٔ حسابی زیر را، که در آن $a$ جمله اول، $d$ قدر نسبت و $n$ تعداد جملات آن است، در نظر بگیرید.

$a,a + d\,\,,\,\,a + 2d\,\,\,,\,\,...\,\,,\,\,\,a + (n - 2)d\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,a + (n - 1)d$

مجموع جملات این دنباله را ${S_n}$ می‌نامیم و می‌نویسیم:

${S_n} = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + (a + (n - 2)d) + (a + (n - 1)d)$

حال، جملات ${S_n}$ را از آخر به اول بنویسید و با جمع جملات متناظر دو عبارت اخیر، $2{S_n}$ را به‌دست آورید. نتیجه خواهید گرفت:

${S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2a + (n - 1)d} \right]$

خواندنی

در ریاضیات آنچه مهم است فکر کردن، استدلال کردن و نتیجه گرفتن است. ریاضیات راهی برای اندیشیدن و روشی برای استدلال و درست فکر کردن است. استدلال وسیله‌ای است که به کمک آن می‌توان از روی اطلاعاتی که داریم حقایقی را کشف کنیم. البته ریاضیات به تجربه و مشاهده نیز مربوط می‌شود، ولی قسمت اعظم آن همان اندیشیدن، استدلال کردن و نتیجه گرفتن است. زمانی که گاوس ریاضیدان آلمانی ده ساله بود، روزی معلم از دانش‌آموزان کلاس خواست مداد و کاغذ بردارند و حاصل جمع اعداد 1 تا 100 را به‌دست آورند. چند دقیقه نگذشته بود که معلم، گاوس را دید که به کار دیگری مشغول است. از او پرسید: چرا مسئله را حل نمی‌کنی؟ او جواب داد: حل شد! معلم با تعجب گفت: این غیر ممکن است. ولی گاوس گفت: خیلی هم آسان بود. سپس گفت: اول چنین نوشتم:

$1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100$

و بعد چنین:

$100 + 99 + 98 + 97 + ... + 3 + 2 + 1$

و جفت جفت از اول تا آخر جمع کردم:

$101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101 + 101$

بدین ترتیب 100 تا عدد 101 به‌دست آوردم که حاصل ضرب آنها 10100 می‌شود و چون دو بار مجموع 1 تا صد را حساب کردم عدد 10100 را بر دو تقسیم کردم و 5050 به دست آمد. بنابراین حاصل جمع اعداد 1 تا 100 برابر 5050 می‌شود.

مثال: مجموع صد جملهٔ اول دنبالهٔ حسابی $3\,,\,7\,,\,11\,,\,15\,,\,.....$ را به‌دست آورید.

حل: جملهٔ اول 3، تعداد جمله‌ها 100 و قدرنسبت جملات 4 است. با استفاده از فرمول مجموع جملات دنباله حسابی می‌توان نوشت:

${S_{100}} = \frac{{100}}{2}\left[ {(2 \times 3) + (99 \times 4)} \right] = 50 \times 402 = 20100$

1) نشان دهید در یک دنباله حسابی اگر ${a_1}$ و ${a_n}$ به ترتیب جملات اول و آخر باشند آنگاه:

${S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n})$

2) مجموع همهٔ عددهای طبیعی دو رقمی مضرب 4 را به‌دست آورید.

مثال: در یک مسابقه تعداد بسیاری توپ روی یک خط مستقیم و هریک به فاصله 3 متر از هم قرار دارند. فاصله توپ اول تا سبد نیز 3 متر است (شکل زیر). دونده‌ای باید از کنار سبد شروع کرده توپ اول را بردارد و آن را تا سبد حمل کند و به سبد بیندازد، سپس به طرف توپ بعدی بدود و آن را بردارد و به داخل سبد بیندازد و این کار را ادامه دهد. اگر این دونده در پایان 918 متر دویده باشد؛ حساب کنید او جمعاً چند توپ در سبد انداخته است؟

حل: دونده برای برداشتن توپ اول و قرار دادن آن در سبد باید مسافت $3 + 3 = 6$ متر را طی کند؛ برای توپ دوم نیز باید 12 متر و برای توپ سوم 18 متر و ... طی کند. بنابراین مسافت‌های طی شده در این مراحل، تشکیل یک دنباله حسابی با جمله اول 6 و قدر نسبت 6 می‌دهد. اگر $n$ تعداد توپ‌های انداخته شده در سبد باشد از فرمول مجموع جملات دنباله حسابی داریم:

$S = \frac{n}{2}(2a + (n - 1)d)$

$918 = \frac{n}{2}(12 + (n - 1)6) \Rightarrow 306 = n(n + 1) \Rightarrow 17 \times 18 = n(n + 1) \Rightarrow n = 17$

مجموع جملات دنباله هندسی

1) قدر نسبت و مجموع $n$ جملهٔ اول دنبالهٔ هندسی زیر را به‌دست آورید. $(a \ne 0)$

$a\,,\,a\,,\,a\,,\,...\,,\,a$

2) دنباله هندسی زیر را در نظر بگیرید. $(q \ne 1)$

$a\,,\,aq\,,\,a{q^2}\,,\,...$

الف) جمله $n$ام دنباله چیست؟

ب) فرض می‌کنیم مجموع $n$ جملهٔ اولیه دنباله هندسی ${S_n}$ باشد:

${S_n} = a + aq + a{q^2} + ... + a{q^{n - 2}} + a{q^{n - 1}}$

طرفین رابطه را در $q$ ضرب می‌کنیم:

${S_n}q = aq + a{q^2} + ... + a{q^{n - 1}} + a{q^n}$

اگر ${S_n} - {S_n}q$ را تشکیل دهیم، پس از ساده‌سازی، نتیجه می‌گیریم:

${S_n} = a\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

مجموعه 10 جملهٔ اول دنباله هندسی زیر را به‌دست آورید.

$\frac{1}{8}\,,\,\frac{1}{4}\,,\,\frac{1}{2}\,,\,...$

خواندنی

در سده‌های چهارم و پنجم هجری، بسیاری از ریاضی‌دانان ایرانی، به بررسی دنباله‌های ریاضی پرداخته‌اند. از جمله «ابوریحان بیرونی» در کتاب خود «آثار الباقیه عن القرون الخالیه» مسئله معروف صفحه شطرنج را که در واقع یک دنباله هندسی است که جملهٔ اول آن واحد و تعداد جمله ها 64 می‌باشد، حل کرده است. او با استدلال دقیق، مجموع جمله‌های این دنباله را عدد 18446744073709551615 به‌دست آورده است. دربارهٔ صفحه شطرنج، داستانی وجود دارد؛ وقتی مخترع شطرنج، بازی خود را به شاه عرضه کرد، شاه از او خواست پاداشی بخواهد. دانشمند پاسخ داد: برای خانه اول شطرنج، یک دانه گندم به من بدهید و برای خانه دوم دو دانهٔ گندم و برای خانه سوم چهار دانهٔ گندم و همین طور برای هر خانه دو برابر خانهٔ پیش از آن گندم بدهید تا به خانه شصت و چهارم برسد. شاه با ساده لوحی فرمان داد یک کیسه گندم به این مرد بدهید. ولی او نپذیرفت و تقاضا کرد پس از محاسبهٔ دقیق، گندم را به او بدهند. قبول کردند و پس از محاسبه، عددی را که در بالا آوردیم پیدا کردند. سپس معلوم شد که اگر در تمام سطح کره زمین (یعنی هر جا که خشکی باشد) گندم بکارند این مقدار گندم به دست نمی‌آید! ابوریحان بیرونی با استدلال ریاضی به این نتیجه رسید که مقدار گندم‌ها برابر ${2^{64}} - 1$ دانه است. او برای محسوس کردن این عدد می‌گوید: در سطح کره زمین 2305 کوه را در نظر می‌گیریم، اگر از هر کوه 10000 رود خارج شود در طول هر رودخانه 1000 قطار قاطر حرکت کنند. و هر قطار شامل 1000 قاطر باشد و همراه هر قاطر 8 کیسه گندم قرار داده باشیم که در هر کیسه 10000 دانه گندم باشد، باز هم عدد همهٔ این گندم‌ها از تعداد گندم‌های صفحه شطرنج کوچک‌تر خواهد بود.

مثال: توپی داریم که از هر ارتفاعی رها شود پس از زمین خوردن به اندازه یک چهارم ارتفاع قبلی خود بالا می‌رود. این توپ را از زمین به هوا پرتاب کرده‌ایم تا به ارتفاع 10 متری برسد این توپ پس از چهار بار برخورد با زمین چه مسافتی را طی می‌کند؟

حل: ارتفاع توپ قبل از $n$ امین برخورد با زمین را ${A_n}$ می‌نامیم. داریم:

${A_1} = 10\,,\,{A_2} = \frac{{10}}{4}\,,\,{A_3} = \frac{{10}}{{16}}\,,\,...\,,\,{A_n} = \frac{{10}}{{{4^{n - 1}}}}$

بنابراین مسافت طی شده توسط توپ بین هر دو برخورد متوالی توپ با زمین دنباله زیر را تشکیل می‌دهد.

$20\,,\,\frac{{20}}{4}\,,\,\frac{{20}}{{16}}\,,\,...\,,\,\frac{{20}}{{{4^{n - 1}}}}$

دنباله فوق یک دنباله هندسی با مجموع ${S_n} = 20 \times \frac{{1 - {{(\frac{1}{4})}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}}$ داریم:

متر ${S_5} = 20 \times \frac{{1 - {{(\frac{1}{4})}^5}}}{{\frac{3}{4}}} = \frac{{80}}{3}\left( {1 - {{(\frac{1}{4})}^5}} \right) = \frac{{80}}{3}\left( {1 - \frac{1}{{1024}}} \right) \simeq 26/64$

در داستان مخترع شطرنج اگر در خانه اول یک دانه گندم و در خانه دوم دو دانه گندم و به همین صورت در هر خانه دوبرابر خانه قبلی گندم قرار دهیم و اگر هر دانه گندم را یک گرم در نظر بگیریم:

الف) این جایزه چند گرم می‌شود؟

ب) نشان دهید جایزه او بیش از 1000 میلیارد تُن خواهد شد.

1) الف) به کمک شکل زیر حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = $

ب) اکنون با استفاده از فرمول درستی جواب خود در قسمت الف را بررسی کنید.

2) مجموع همه اعداد طبیعی سه رقمی که مضرب شش هستند چقدر می‌شود؟

3) در دنباله حسابی $5\,,\,8\,,\,11\,,\,...$ حداقل چند جمله آن را با هم جمع کنیم تا حاصل آن از 493 بیشتر شود؟

4) در 20 جمله اول یک دنباله حسابی مجموع جملات شماره های فرد 135 و مجموع جملات شماره‌های زوج 150 می‌باشد. جمله اول و قدر نسبت دنباله را مشخص کنید.

5) جمله عمومی یک دنباله به‌صورت ${a_n} = {2^{n - 1}}$ است. چند جمله از این دنباله را با هم جمع کنیم تا مجموع آنها برابر 255 شود؟

6) طول ضلع مربعی یک متر است. ابتدا نیمی از مساحت مربع را رنگ می‌کنیم. سپس نیمی از مساحت باقی مانده را و به همین ترتیب در هر مرحله نیمی از مساحت باقی مانده از قبل را رنگ می‌کنیم. پس از دست کم چند مرحله حداقل 99 درصد سطح مربع رنگ شده است؟

7) برای عدد حقیقی $(a \ne 1)a$ و عدد طبیعی $n$؛

الف) حاصل عبارت زیر را به‌دست آورید.

$1 + a + {a^2} + ... + {a^{n - 1}}$

ب) با استفاده از قسمت الف نتیجه بگیرید که:

${a^n} - 1 = (a - 1)({a^{n - 1}} + ... + {a^2} + a + 1)$

درسنامه آموزشی فصل اول حسابان (1) کلاس یازدهم علوم ریاضی

درس 1: مجموع جملات دنباله‌های حسابی و هندسی

فعالیت (صفحه 2 کتاب درسی)

فعالیت (صفحه 3 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 4 کتاب درسی)

مجموع جملات دنباله هندسی

فعالیت (صفحه 4 تا 5 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 5 کتاب درسی)

کاردرکلاس (صفحه 6 کتاب درسی)

تمرین (صفحه 6 کتاب درسی)