درسنامه آموزشی فصل پنجم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

نمودار زیر، نمودار تابع تغییرات دمای هوای یک شهر در دو شبانه روز متوالی است. اگر $x$ زمان و $y$ دما باشد؛ بیشترین و کمترین دما در این 48 ساعت در چه زمان‌هایی بوده است و مقدار آنها چند است؟

نقاط به طول 15 و 39 به گونه‌ای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها (نقاط یک همسایگی حول آنها) بیشتر است، بدین خاطر اصطلاحا گفته می‌شود تابع در این نقاط «ماکزیمم نسبی» دارد.

نقاط به طول 3 و 27 به گونه‌ای هستند که مقدار تابع در آنها نسبت به مقادیر تابع در نقاط اطراف آنها کمتر است، لذا اصطلاحاً گفته می‌شود تابع در این نقاط «مینیمم نسبی» دارد. به‌طور دقیق‌تر می‌توان گفت:

دقت کنید که در نمودار، مقادیر ماکزیمم نسبی برابر 25 و 27 هستند و نقاط ماکزیمم نسبی نقاط $(15,25)$ و $(39,27)$ هستند و یا به عبارتی مقادیر ماکزیمم‌های نسبی در نقاطی به طول $x = 15$ و $x = 39$ اتفاق افتاده‌اند. به طریق مشابه مقادیر مینیمم نسبی 10 و 13 هستند و نقاط مینیمم نسبی نقاط $(3,10)$ و $(27,13)$ هستند و یا به عبارتی مقادیر مینیمم‌های نسبی در نقاطی به طول $x = 10$ و $x = 13$ اتفاق افتاده‌اند.

در بسیاری از مسائل فقط بیشترین و کمترین مقدار یک تابع در یک مجموعه اهمیت دارد. به بزرگ‌ترین مقدار تابع $f$ در مجموع $A$ «ماکزیمم مطلق» این تابع در این مجموعه می‌گوییم. همچنین به کوچک‌ترین مقدار تابع $f$ در مجموعه $A$ «مینیمم مطلق» این تابع در این مجموعه می‌گوییم. بنابراین نقاط ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع $f$ در مجموعه $A$ به ترتیب «بالاترین» و «پایین‌ترین» نقطهٔ نمودار تابع در آن مجموعه هستند و زمانی که می‌گوییم ماکزیمم مطلق تابع $f$ در نقطهٔ $x = a$ (منظور نقطه ای از به طول $x = a$ است) اتفاق افتاده است یعنی $f(a)$ مقدار ماکزیمم مطلق و $\left( {a,f(a)} \right)$ نقطهٔ ماکزیمم مطلق تابع بر مجموعه مورد نظر است. به عبارتی برای هر $x \in A$ داریم $f(x) \leqslant f(a)$. همچنین وقتی می‌گوییم مینیمم مطلق تابع $f$ در نقطهٔ $x = a$ اتفاق افتاده است یعنی $f(a)$ مقدار مینیمم مطلق و $\left( {a,f(a)} \right)$ نقطهٔ مینیمم مطلق تابع بر مجموعه مورد نظر است.

تذکر: گوییم تابع $f$ در نقطهٔ $x = c$ اکسترمم نسبی دارد هرگاه در این نقطه ماکزیمم نسبی یا مینیمم نسبی داشته باشد و اگر در نقطهٔ $x = c$ ماکزیمم مطلق یا مینیمم مطلق داشته باشد می‌گوییم در آن نقطه اکسترمم مطلق دارد.

قضیهٔ زیر را بدون اثبات می‌پذیریم.

با توجه به آنچه تا به حال ملاحظه کردیم، اکسترمم‌های مطلق تابع در نقاطی اتفاق می‌افتد که مشتق تابع در آن نقاط برابر صفر باشد و یا تابع در آن نقاط مشتق‌پذیر نباشد. به چنین نقاطی، نقاط بحرانی تابع می‌گوییم.

برای یافتن نقاط اکسترمم مطلق ابتدا این نقاط بحرانی را مشخص می‌نماییم. در این صورت از بین تمام نقاط بحرانی و نقاط انتهایی بازه، نقطه یا نقاطی که بیشترین مقدار تابع در آنها اتفاق می‌افتد نقاط ماکزیمم مطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدار ماکزیمم مطلق تابع است. همچنین در بین نقاط مذکور نقطه یا نقاطی که کمترین مقدار تابع در آنها اتفاق می‌افتد نقاط مینیمم مطلق تابع و مقدار تابع در این نقاط مقدار مینیمم مطلق تابع است.

مثال: اکسترمم‌های مطلق تابع $f(x) = \frac{1}{3}{x^3} - x$ را در بازهٔ $\left[ { - 2,2} \right]$ بیابید.

حل: بنابر آنچه گفته شد باید نقاط بحرانی، یعنی نقاطی که مشتق در آنها وجود ندارد یا برابر صفر است را مشخص نماییم. بنابراین باید در بازهٔ $\left[ { - 2,2} \right]$ به دنبال نقاطی باشیم که تابع در آنها مشتق نداشته باشد و یا مشتق در آنها برابر صفر باشد. اما $f$ در تمام بازهٔ $( - 2,2)$ مشتق‌پذیر است و داریم $f'(x) = {x^2} - 1$ و مقدار $f'$ در $x =  \pm 1$ برابر صفر می‌شود یعنی داریم $f'(1) = 0$ و $f'( - 1) = 0$.

بنابراین $x =  \pm 1$ و $x =  \pm 2$ طول نقاط بحرانی هستند و از آنجا که داریم:

$f( - 2) =  - \frac{2}{3}$

$f( - 1) = \frac{2}{3}$

$f(1) =  - \frac{2}{3}$

$f(2) = \frac{2}{3}$

لذا مقادیر ماکزیمم و مینیمم مطلق تابع بر این بازه به ترتیب برابر $\frac{2}{3}$ و $ - \frac{2}{3}$ و نقاط ماکزیمم نقاط به طول $x =  - 1$ و $x = 2$ و نقاط مینیمم نقاط به طول $x = 1$ و $x =  - 2$ است.

مثال: مقادیر ماکزیمم مطلق و مینیمم مطلق تابع $f$ با ضابطه $f(x) = \left| {{x^2} - 1} \right|$ را روی بازه $\left[ { - 2,2} \right]$ پیدا کنید.

حل: نقاط $x =  \pm 2$ نقاط انتهایی بازه‌اند. برای یافتن نقاط اکسترمم مطلق، باید به دنبال نقاط بحرانی باشیم، یعنی نقاطی مانند $c$ که برای آنها $f'(c) = 0$ یا $f'(c)$ وجود نداشته باشد. لذا باید مشتق‌پذیری تابع $f$ در نقاط بازه بررسی شود. اما داریم:

$f(x) = \left| {{x^2} - 1} \right| = \left\{ \begin{gathered}
  {x^2} - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \leqslant  - 1\,\,\,\,\,Or\,\,\,\,1 \leqslant x \hfill \\
  1 - {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

$ \Rightarrow f'(x) = \left\{ \begin{gathered}
  2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt  - 1\,\,\,\,\,Or\,\,\,\,1 \lt x \hfill \\
   - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \lt x \lt 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

حال باید مشتقات چپ و راست را در نقاط $x = 1$ و $x =  - 1$ به دست آوریم که با توجه به تعاریف مشتق چپ و راست از فصل مشتق خواهیم داشت:

و                  ${f'_ - }( - 1) =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{f'_ + }( - 1) = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{f'_ - }(1) =  - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{f'_ + }(1) = 2$

بنابراین تابع $f$ در نقاط $x =  \pm 1$ مشتق‌پذیر نیست و از طرفی $f'$ تنها در نقطهٔ $x = 0$ مقدار صفر می‌گیرد. لذا نقاط $x = 0$ و $x =  \pm 1$ و $x =  \pm 2$ نقاط بحرانی این تابع‌اند و با بررسی مقدار تابع در این نقاط به سادگی مشخص می‌شود که مینیمم مطلق تابع در دو نقطهٔ $x =  \pm 1$ است و مقدار آن برابر صفر است و ماکزیمم مطلق در نقاط $x =  \pm 2$ و مقدار آن برابر 3 است.

در بسیاری از مسائل در زندگی خواهان این هستیم که با داشتن برخی شرایط از پیش تعیین شده، مسئله را طوری حل کنیم که بیشترین بازده را داشته باشیم. به‌عنوان نمونه در مثال زیر می‌خواهیم از ورقه‌ای با ابعاد مشخص جعبه‌ای با بیشترین حجم ممکن بسازیم.

مثال: یک سازنده جعبه‌های حلبی، با بریدن مربع‌های همنهشت از چهار گوشه ورق‌های حلبی به ابعاد 8 اینچ و 15 اینچ و بالا بردن چهار طرف آن، جعبه‌های سر باز می‌سازد. اگر بخواهیم حجم جعبه‌های ساخته شده بیشترین مقدار ممکن باشد، طول ضلع مربع‌هایی که باید بریده شود چقدر باید باشد؟

حل: فرض کنید طول ضلع مربعی که از گوشه‌های مستطیل مفروض برحسب اینچ بریده می‌شود $x$ باشد پس

$ = 15 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant \frac{{15}}{2}$ طول قوطی مورد نظر

$ = 8 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant 4$ عرض قوطی

پس با توجه به این مفروضات داریم:

$V(x) = x(15 - 2x)(8 - 2x) = 4{x^3} - 46{x^2} + 120x\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \leqslant 4$

چون $V$ روی $\left[ {0,4} \right]$ پیوسته است، پس دارای اکسترمم‌های مطلق در این بازه است و داریم:

$V'(x) = 12{x^2} - 92x + 120 = 0$

$x = 6$     یا    $(3x - 5)(x - 6) = 0 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$

اما $x = 6$ در بازه مورد نظر قرار ندارد، پس قابل قبول نیست $x = 0$ و $x = 4$ و $x = \frac{5}{3}$ نقاط بحرانی تابع هستند. از طرفی $V(0) = 0$، $V(\frac{5}{3}) \gt 0$ و $V(4) = 0$ نشان می‌دهد که ماکزیمم مطلق تابع در $x = \frac{5}{3}$ حاصل می‌شود و لذا طول ضلع مربع‌های مورد نظر باید $\frac{5}{3}$ اینچ باشد.

مثال: در کره‌ای به شعاع $R$ یک استوانه محاط کرده‌ایم. شعاع قاعده و ارتفاع استوانه را طوری به‌دست آورید که حجم استوانه، بیشترین مقدار ممکن را داشته باشد.

حل: فرض کنیم استوانه مورد نظر دارای شعاع قاعده $r$ و ارتفاع $h$ باشد. اگر $O$ مرکز کره باشد، در مثلث قائم الزاویه $OAB$، $OB = \frac{h}{2}$ و داریم:

$A{B^2} + O{B^2} = OA$

بنابراین ${r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = {R^2}$.

حجم این استوانه برابر است با:

$V = \pi {r^2}h = \pi ({R^2} - \frac{{{h^2}}}{4})h \Rightarrow V(h) = \pi {R^2}h - \frac{\pi }{4}{h^3}\,\,\,;\,\,\,0 \leqslant h \leqslant 2R$

برای یافتن نقاط بحرانی این تابع در بازه $\left[ {0,2R} \right]$، ریشه‌های مشتق را به‌دست می‌آوریم:

$V'(h) = \pi {R^2} - \frac{{3\pi }}{4}{h^2} = 0 \Rightarrow h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}$

از طرفی $V(0) = 0$ و $V(2R) = 0$

بنابراین تابع $V$ به ازای $h = \frac{{2R}}{{\sqrt 3 }}$، بیشترین مقدار حجم را دارد. با توجه به اینکه ${r^2} + \frac{{{h^2}}}{4} = {R^2}$، مقدار $r$ برابر با $r = \frac{{\sqrt 2 R}}{{\sqrt 3 }}$ می‌باشد.

تشخیص صعودی یا نزولی بودن یک تابع

در فصل اوّل با مفهوم صعودی یا نزولی بودن یک تابع در یک بازه آشنا شدیم. همچنین در فصل قبل با مفهوم مشتق آشنا شدیم و دیدیم که مقدار مشتق یک تابع در یک نقطه برابر است با شیب خط مماس بر نمودار تابع در آن نقطه. از طرفی برای یک تابع مانند $f$ با تابع $f'$ آشنا شدیم. اکنون خواهیم دید که با بررسی $f'$ می‌توان ویژگی‌هایی از تابع $f$ و نمودار آن از جمله صعودی و نزولی بودن تابع را مشخص نمود.

با توجه به آنچه گفته شد قضیهٔ زیر را بدون اثبات بیان می‌نماییم.

با توجه به آنچه گفته شد می‌توان محک زیر را که به نام آزمون مشتق اوّل معروف است بیان نمود.

آزمون مشتق اوّل

مثال: اکسترمم‌های نسبی و مطلق تابع $f(x) = {x^3} - 2{x^2} - 4x + 6$ را در بازهٔ $\left[ { - 3,4} \right]$ به‌دست آورید و مشخص کنید این تابع در چه بازه‌هایی صعودی و در چه بازه‌هایی نزولی است؟

حل: از آنجا که توابع چندجمله‌ای همواره مشتق‌پذیرند لذا برای مشخص کردن نقاط بحرانی تابع $f$ باید تمام نقاطی که مشتق تابع در آنها صفر می‌شود را به‌دست آوریم.

$f'(x) = 3{x^2} - 4x - 4$

$x =  - \frac{2}{3}$      یا      $f'(x) = 0 \Rightarrow x = 2$

لذا نقاط بحرانی این تابع نقاط $x = 2$ و $x =  - \frac{2}{3}$ است و نقاط $x =  - 3$ و $x = 4$ هم که نقاط انتهایی بازه هستند و داریم:

$( - 3, - 27)\,,\,( - \frac{2}{3},\frac{{202}}{{27}})\,,\,(2, - 2)\,,\,(4,22)$

لذا $x = 4$ و $x =  - 3$ به ترتیب طول نقاط ماکزیمم و مینیمم مطلق و مقادیر آنها به ترتیب 22 و 27- است. حال برای تعیین اکسترمم‌های نسبی و صعودی و نزولی بودن تابع باید مشتق تابع را تعیین علامت کنیم. با توجه به تعیین علامت معادلات درجهٔ دوم داریم:

	2		$ - \frac{2}{3}$		$x$
$ + $	0	$ - $	0	$ + $	$f'(x)$

از این جدول مشخص می‌شود که تابع $f$ در بازهٔ $\left( { - \frac{2}{3},2} \right)$ نزولی و در سایر جاها صعودی است. همچنین مشخص می‌شود که نقطهٔ $x =  - \frac{2}{3}$ یک ماکزیمم نسبی و مقدار آن برابر $\frac{{202}}{{27}}$ است و نقطهٔ $x = 2$ یک مینیمم نسبی و مقدار آن برابر 2- است.

می‌توان اطلاعات فوق را در جدول زیر که به آن جدول تغییرات تابع می‌گوییم نمایش داد.