درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

در درس گذشته مشتق تابع $f$ در نقطه‌ای به طول ${x_0}$ به یکی از دو صورت زیر تعریف شد:

$f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}$            یا           $f'({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f({x_0} + h) - f({x_0})}}{h}$

در صورت وجود حد (متناهی) فوق گفته می‌شود که $f$ در ${x_0}$ مشتق‌پذیر است.

در مطالعه رفتار یک تابع، مشخص کردن نقاطی که تابع در آن نقاط مشتق‌پذیر نیست دارای اهمیت است.

در فعالیت زیر با یکی از حالت‌هایی که یک تابع در آن مشتق‌پذیر نیست آشنا می‌شوید.

توابع $f$ و $g$ فعالیت و کار در کلاس قبل به ترتیب در $x = 2$ و $x = 1$ ناپیوسته بودند و همان‌گونه که مشاهده کردید، $f'(2)$ و $g'(1)$ موجود نبودند. بنابراین به نظر می‌رسد که اگر تابعی در یک نقطه مشتق‌پذیر باشد، الزاماً در آن نقطه باید پیوسته باشد. این مطلب را به‌عنوان یک قضیه ثابت می‌کنیم.

با توجه به این قضیه به‌طور منطقی می‌توان نتیجه گرفت که:

مثال بعد نشان می‌دهد که عکس قضیه درست نیست، یعنی حتی با وجود پیوستگی تابع در یک نقطه، لزوماً نمی‌توان مشتق‌پذیری تابع در آن نقطه را نتیجه گرفت.

مثال: مشتق‌پذیری تابع $f(x) = \left| {{x^2} - 1} \right|$ را در $x = 1$ بررسی کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f(x) - f(1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left| {{x^2} - 1} \right| - 0}}{{x - 1}}$

برای محاسبه $f'(1)$ ناچاریم حدهای راست و چپ را به‌دست آوریم.

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left| {{x^2} - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = 2$ حد راست

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\left| {{x^2} - 1} \right|}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{ - ({x^2} - 1)}}{{x - 1}} =  - 2$ حد چپ

در مثال قبل $f$ در $x = 1$ پیوسته است ولی $f$ در آن مشتق‌پذیر نیست.

نیم خط‌های مماس راست و چپ را به اختصار، نیم مماس راست و چپ می‌نامیم.

در حقیقت:

شیب نیم مماس چپ ${f'_ - }(1) = $
شیب نیم مماس راست ${f'_ + }(1) = $

معادله این نیم مماس‌ها نیز به ترتیب عبارت‌اند از:

$x \geqslant 1$، $y = 2x - 2$ یا $y - 0 = 2(x - 1)$  نیم مماس راست

$x \leqslant 1$، $y = 2x + 2$ یا $y - 0 =  - 2(x - 1)$ نیم مماس چپ

مثال: توابع $f(x) = \left[ x \right]$ و $g(x) = \sqrt x $ در صفر پیوسته نیستند. بنابراین $f'(0)$ و $g'(0)$ موجود نیستند.

اکنون به بررسی حالت دیگری می‌پردازیم که در آن تابع مشتق‌پذیر نیست.

مثال: تابع $f(x) = \sqrt[3]{x}$ را درنظر می‌گیریم. مشتق‌پذیری این تابع را در $x = 0$ بررسی کنید.

$f' (0)= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{x}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} =  + \infty $

بنابراین تابع $f$ در صفر مشتق‌پذیر نیست. شکل‌ها نشان می‌دهند که وقتی از سمت راست یا چپ به نقطه صفر نزدیک می‌شویم خط‌های قاطع به خط $x = 0$ نزدیک می‌شوند.

تابع $f(x) = \sqrt[3]{x}$ در $x = 0$ مشتق‌پذیر نیست. خط $x = 0$ را «مماس قائم» منحنی می‌نامیم.

به‌طور خلاصه می‌توان گفت:

تابع مشتق

تاکنون با مفهوم مشتق تابع در یک نقطه (معین) آشنا شده‌اید. حال به دنبال یافتن رابطه‌ای بین مجموعه نقاط متعلق به دامنه یک تابع و مشتق تابع در آن نقاط هستیم.

به‌طور مثال برای تابع $f(x) = {x^2}$، دامنه تابع $f'$، مجموعه اعداد حقیقی است. روش محاسبه ضابطه تابع $f'$ نیز، در ادامه ارائه شده است.

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{{(x + h)}^2} - {x^2}}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{x^2} + 2hx + {h^2} - {x^2}}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{h(2x + h)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2x + h) = 2x$

بنابراین $f'(x) = 2x$. همان‌گونه که قبلاً ذکر شد دامنه تابع $f'$، مجموعه اعداد حقیقی است. به کمک این دستور مقدار مشتق تابع $f(x) = {x^2}$ در هر نقطه را می‌توان حساب کرد، به‌طور مثال:

$f'(50) = 100$  و $f'( - \frac{1}{5}) =  - \frac{2}{5}\,\,,\,\,f'(\sqrt 7 ) = 2\sqrt 7 \,$

مثال: اگر $f(x) = \frac{1}{x}$، تابع مشتق و دامنه آن را به‌دست آورید. سپس $f'(3)$ را مشخص نمایید.

حل: $f'(0)$ وجود ندارد. دامنه $f'$ برابر $\mathbb{R} - \left\{ 0 \right\}$ است. اگر $x \ne 0$ داریم:

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1}{{x + h}} - \frac{1}{x}}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x - x - h}}{{hx(x + h)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - h}}{{hx(x + h)}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 1}}{{x(x + h)}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

با استفاده از دستور فوق داریم: $f'(3) = \frac{{ - 1}}{9}$ البته مشتق $f$ در هر نقطه دیگر $(x \ne 0)$ را نیز به کمک این دستور می‌توان محاسبه کرد، به‌طور مثال: $f'(\sqrt 5 ) = \frac{{ - 1}}{5}$ و $f'( - 2) =  - \frac{1}{4}$، $f'(3)$ را به‌طور مستقیم نیز می‌توان حساب کرد:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\frac{{3 - x}}{{3x}}}}{{\frac{{x - 3}}{1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - (\cancel{{x - 3}})}}{{3x(\cancel{{x - 3}})}} =  - \frac{1}{9}$

در عمل هنگام حل مسائل با توجه به شرایط هر یک از دو روش فوق ممکن است مورد استفاده قرار گیرد.

اکنون آماده هستیم که برای برخی از توابع، تابع مشتق را محاسبه کنیم.

محاسبه تابع مشتق برخی توابع

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{c - c}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{0}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} 0 = 0$

به‌طور مثال اگر $f(x) = 7$ و $g(x) =  - \frac{2}{5}$ آن‌گاه $f'(x) = 0$ و $g'(x) = 0$.

این دستور کاربرد زیادی دارد. قبلاً ثابت کردیم که اگر $f(x) = {x^2}$، آن‌گاه $f'(x) = 2x$. همچنین اگر $f(x) = {x^3}$، به کمک این دستور نشان می‌دهیم که: $f'(x) = 3{x^2}$

ابتدا این رابطه آخر را ثابت می‌کنیم و از روش ارائه شده برای اثبات دستور مشتق $f(x) = {x^n}$ استفاده می‌کنیم. اگر $f(x) = {x^3}$ داریم:

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(x + h)}^3} - {x^3}}}{h}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(x + h - x)\left[ {{{(x + h)}^2} + x(x + h) + {x^2}} \right]}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h\left[ {{{(x + h)}^2} + x(x + h) + {x^2}} \right]}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {{{(x + h)}^2} + x(x + h) + {x^2}} \right] = {x^2} + {x^2} + {x^2} = 3{x^2}$

اکنون اگر $f(x) = {x^n}$، محاسبات کمی دشوارتر می‌شود، اما در عوض دستور مهم‌تری را ثابت کرده‌ایم.

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(x + h)}^n} - {x^n}}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\cancel{x} + h - \cancel{x})\left[ {{{(x + h)}^{n - 1}} + {{(x + h)}^{n - 2}}x + ... + (x + h){x^{n - 2}} + {x^{n - 1}}} \right]}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \left[ {{{(x + h)}^{n - 1}} + {{(x + h)}^{n - 2}}x + ... + (x + h){x^{n - 2}} + {x^{n - 1}}} \right]$

$\underbrace {{x^{n - 1}} + {x^{n - 1}} + ... + {x^{n - 1}} + {x^{n - 1}}}_n = n{x^{n - 1}}$

مثال: اگر $f(x) = \frac{1}{x}$ و $x \ne 0$ قبلاً دیدید که $f'(x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

همچنین با استفاده از دستور اخیر داریم:

$f(x) = \frac{1}{x} = {x^{ - 1}} \Rightarrow f'(x) =  - {x^{ - 1 - 1}} =  - {x^{ - 2}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}$

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {x + h}  - \sqrt x }}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\sqrt {x + h}  - \sqrt x )(\sqrt {x + h}  + \sqrt x )}}{{h(\sqrt {x + h}  + \sqrt x )}}$

$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x + h - x}}{{h(\sqrt {x + h}  + \sqrt x )}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{1}{{\sqrt {x + h}  + \sqrt x }} = \frac{1}{{2\sqrt x }}$

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt {a(x + h) + b}  - \sqrt {ax + b} }}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\sqrt {a(x + h) + b}  - \sqrt {ax + b} )(\sqrt {a(x + h) + b}  + \sqrt {ax + b} )}}{{h(\sqrt {a(x + h) + b}  + \sqrt {ax + b} )}}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cancel{{ax}} + ah + \cancel{b} - \cancel{{ax}} - \cancel{b}}}{{h(\sqrt {a(x + h) + b}  + \sqrt {ax + b} )}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{a}{{\sqrt {a(x + h) + b}  + \sqrt {ax + b} }} = \frac{a}{{2\sqrt {ax}  + b}}$

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + h}} - \sqrt[3]{x}}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\sqrt[3]{{x + h}} - \sqrt[3]{x})(\sqrt[3]{{{{(x + h)}^2}}} + \sqrt[3]{{x(x + h)}} + \sqrt[3]{{{x^2}}})}}{{h\underbrace {(\sqrt[3]{{(x + {h^2})}} + \sqrt[3]{{x(x + h)}} + \sqrt[3]{{{x^2}}})}_A}} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{x + h - x}}{{h.A}} = \frac{1}{{3\sqrt[3]{{{x^2}}}}}$

به کمک تعریف مشتق هر یک از روابط بالا را می‌توان ثابت نمود، اما در این کتاب به اثبات آنها نمی‌پردازیم.

مثال: مشتق چند تابع محاسبه شده است.

$f(x) =  - \frac{2}{3}{x^4} \Rightarrow f'(x) =  - \frac{8}{3}{x^3}$ (الف

$g(x) = {x^5} + 4{x^3} - \sqrt 2 x + 1 \Rightarrow g'(x) = 5{x^4} + 12{x^2} - \sqrt 2 $ (ب

$h(x) = (2{x^3} + 1)( - {x^2} + 7x - 2) \Rightarrow h'(x) = 6{x^2}( - {x^2} + 7x - 2) + (2{x^3} + 1)( - 2x + 7)$ (پ

$t(x) = \frac{{{x^2} - 4}}{{3x + 1}} \Rightarrow t'(x) = \frac{{2x(3x + 1) - 3({x^2} - 4)}}{{{{(3x + 1)}^2}}}$ (ت

مشتق توابع مثلثاتی

اثبات: با استفاده از تعریف مشتق داریم:

$f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin (x + h) - \sin x}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x \cos h + \cos x\sin h - \sin x}}{h}\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin x(\cos h - 1) + \cos x\sin h }}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\sin x\frac{{\cos h  - 1}}{h}) + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (\cos x\frac{{\sin h }}{h})$

در حسابان (1) دیدیم که:

$\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos h  - 1}}{h} = 0\,,\,\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h }}{h} = 1$

بنابراین: $f'(x) = (\sin x)(0) + (\cos x)(1)$ و در نتیجه $f'(x) = \cos x$

به طریق مشابه اگر $g(x) = \cos x$ داریم:

$g'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{g(x + h) - g(x)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos (x + h) - \cos x}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x\cos h  - \sin x\sin h  - \cos x}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos x(\cos h  - 1) - \sin x\sin h }}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \cos x\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{(\cos h  - 1)}}{h} - \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \sin x\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin h }}{h}$

$ = (\cos x)(0) - (\sin x)(1) =  - \sin x \Rightarrow g'(x) =  - \sin x$

با استفاده از دو دستور فوق می‌توان مشتق بسیاری از توابع مثلثاتی را به‌دست آورد.

مثال: مشتق $f(x) = \tan x$ را به‌دست آورید.

مشتق تابع مرکب / قاعده زنجیری

مثال: اگر $h(x) = {({x^2} + 3x + 1)^7}$، مطلوب است $h'(x)$.

حل: اگر $f(x) = {x^7}$ و $g(x) = {x^2} + 3x + 1$. آن‌گاه: $h(x) = f\left( {g(x)} \right)$

$h'(x) = g'(x)f'\left( {g(x)} \right) = (2x + 3)f'\left( {g(x)} \right)$

اگر $g(x) = u$ آن‌گاه لازم است که $f'(u)$ را پیدا کنیم.

$f(u) = {u^7} \Rightarrow f'(u) = 7{u^6} = 7{\left( {g(x)} \right)^6} = 7{({x^2} + 3x + 1)^6}$

بنابراین:

$h'(x) = (2x + 3)(7){({x^2} + 3x + 1)^6}$

دستور فوق را به‌صورت زیر نیز می‌توان ارائه کرد،

مثال: مشتق تابع $y = {\sin ^2}x$ را به‌دست آورید.

حل: با فرض $\sin x = u$ داریم: $y = {u^2}$ و از آنجا:

$y' = u'.2u = (\cos x)(2)(\sin x) = 2\sin x\cos x$

مشتق‌پذیری روی یک‌بازه

اگر ${D_f} = \mathbb{R}$ و $f$ در هر عدد حقیقی مشتق‌پذیر باشد، گوییم $f$ روی بازه $( - \infty , + \infty )$ مشتق‌پذیر است.

مثال: تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 2 \leqslant x \leqslant 1 \hfill \\
  x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 1 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ را در نظر می‌گیریم.

$f$ روی بازه‌های $\left[ { - 2,1} \right]$ و $(1,\infty )$ مشتق‌پذیر است. ولی $f$ روی بازه $\left[ {1,2} \right]$ مشتق‌پذیر نیست (چرا؟)

مشتق مرتبه دوم

مشتق تابع $y = f(x)$ با نماد $y' = f'(x)$ نمایش داده شد. به همین ترتیب اگر تابع مشتق، مشتق‌پذیر باشد، مشتق مرتبه دوم $y = f(x)$ را به $y'' = f''(x)$ نمایش می‌دهیم و برای محاسبه آن از تابع $y' = f'(x)$ نسبت به $x$ مشتق می‌گیریم.

مثال: اگر $y = 3{x^4} + 2{x^2} - 1$ آن‌گاه:

$y' = 12{x^3} + 4x\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'' = 36{x^2} + 4$