درسنامه آموزشی فصل چهارم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

مشتق یکی از مفاهیم اساسی ریاضی است که دارای کاربردهای وسیع در ریاضیات و علوم دیگر است. ایده اولیه در مورد مفهوم مشتق، به شیب یک‌خط مربوط می‌شود. به کمک این ایده به تدریج به‌صورت دقیق‌تری با مفهوم مشتق آشنا می‌شویم.

خط مماس بر یک منحنی

یافتن خط مماس در یک نقطه از یک منحنی مسئله‌ای تاریخی است که زمانی طولانی برای حل آن صرف شده است. مفهوم خط مماس بر یک دایره از زمان‌های گذشته مشخص بوده است. خط مماس بر دایره، خطی است که با دایره یک و فقط یک نقطه مشترک داشته باشد. این تعریف در حالت کلی برای همه منحنی‌ها صادق نیست.

خط‌های ${d_1}$ تا ${d_4}$ را در نظر بگیرید. خط ${d_2}$ در نقطه $A$، خط ${d_3}$ در نقطه $B$ و خط ${d_4}$ در نقاط $A$ و $B$ بر منحنی مماس هستند. خط ${d_1}$ در نقطه $A$ بر منحنی مماس نیست. همچنین خطوط ${d_3}$ و ${d_4}$ در نقطه $c$ بر منحنی مماس نیستند. در ادامه این درس با دلایل این امر به‌صورت دقیق‌تری آشنا خواهید شد.

اگر بخواهیم دقیق‌تر صحبت کنیم، باید در مورد مقادیر عبارت $\frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h}$ وقتی $h$ به قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت) است، بررسی کنیم. روند بالا این حدس را تقویت می‌کند که هر چقدر که بخواهیم می‌توانیم این مقادیر را به عدد 6 نزدیک کنیم مشروط بر آنکه $h$ را به قدر کافی نزدیک به صفر (و مثبت) اختیار کنیم. به عبارت دیگر حدس می‌زنیم که: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$ کافی است با محاسبه مقدار حد، صحت حدس خود را بررسی کنیم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {{(2 + h)}^2} + 10(2 + h) - 16}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to { + ^ + }} \frac{{ - ( - {h^2} + 4h + 4) + 20 + 10h - 16}}{h} = $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {h^2} - 4h - \cancel{4} + \cancel{4} + 10h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{ - {h^2} + 6h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to { + ^ + }} \frac{{h( - h + 6)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - h + 6) = 6$

به طریق مشابه می‌توان دید که اگر نقاط روی منحنی را در سمت چپ $A$ اختیار کنیم، به عبارت دیگر اگر بازه‌هایی مانند، $\left[ {1/5,2} \right]$، $\left[ {1/6,2} \right]$، $\left[ {1/7,2} \right]$، $\left[ {1/8,2} \right]$ و ... را در نظر بگیریم شیب خط‌های قاطع برابر با 6/5، 6/4، 6/3، 6/2، ... خواهد شد. به عبارت دیگر در این حالت هم شیب خط‌های قاطع به هر اندازه که بخواهیم به عدد 6 نزدیک می‌شوند، مشروط برآنکه $h$ به قدر کافی از سمت چپ به صفر نزدیک شود، یعنی داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$

بنابراین به‌طور کلی می‌توان نوشت: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(2 + h) - f(2)}}{h} = 6$

حد مذکور را شیب منحنی در $a$ نیز می‌نامند.

بنابراین در مثال قبل داریم $f'(2) = 6$. در ادامه $f'(3)$ برای $f(x) =  - {x^2} + 10x$ محاسبه شده است:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {{(3 + h)}^2} + 10(3 + h) - 21}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - 9 - 6h - {h^2} + 30 + 10h - 21}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - {h^2} + 4h}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} ( - h + 4) = 4$

مثال: معادله خط مماس بر منحنی تابع $f(x) =  - {x^2} + 10x$ را در نقطه $A\left( {2,f(2)} \right)$ واقع بر نمودار تابع بنویسید.

حل: با توجه به آنچه که در فعالیت قبل مشاهده شد:

$ = f'(2) = 6$ شیب خط مماس در نقطه $A$

$A\left( {2,f(2)} \right) = (2,16)$

$y - 16 = 6(x - 2) \Rightarrow y = 6x + 4$

تذکر: با نمادهای معرفی شده در فعالیت در مورد شیب خط‌های قاطع می‌توان دستورهای معادل دیگری برای محاسبه مشتق در یک نقطه به‌دست آورد، به‌طور مثال شیب خطی که از نقاط $A$ و $B$ می‌گذرد برابر است با:

${m_{AB}} = \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}$

$f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(a + \Delta x) - f(a)}}{{\Delta x}}$

و از آنجا:

مثال: اگر $f(x) =  - {x^2} + 10x$، $f'(2)$ را از دستور بالا به‌دست آورید:

$f'(2) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(2 + \Delta x) - f(2)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - {{(2 + \Delta x)}^2} + 10(2 + \Delta x) - 16}}{{\Delta x}} = $

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \cancel{4} - \Delta {x^2} - 4\Delta x + \cancel{{20}} + 10\Delta x - \cancel{{16}}}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - \Delta {x^2} + 6\Delta x}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta x( - \Delta x + 6)}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} ( - \Delta x + 6) = 6$

محاسبه $f'(a)$ به روش دیگر

مشتق تابع $f$ در نقطه $x = a$ به‌صورت: $f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ تعریف شد. اکنون دستور دیگری برای مشتق تابع $f$ نقطه $x = a$ می‌یابیم که در برخی محاسبات کار را ساده‌تر می‌کند.

با استفاده از نموداری مشابه نمودار (الف) برای محاسبه مشتق $f$ در $a$ داریم:

$ = {m_{AB}} = \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ شیب خط $AB$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(a + h) - f(a)}}{h}$ شیب خط مماس بر منحنی در $A$

با استفاده از نمودار (ب) راه دیگر محاسبه شیب خط مماس این است که نقطه دلخواه $B$ را به مختصات $\left( {x,f(x)} \right)$ در نظر بگیریم در این صورت داریم:

$ = {m_{AB}}\frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ شیب خط $AB$

برای محاسبه شیب خط مماس کافی است که $x$ را مرتباً به $a$ نزدیک کنیم. در این صورت شیب خط مماس برابر با $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$ است مشروط بر اینکه این حد موجود باشد (واضح است که مانند قبل $x$ باید از راست و چپ به قدر کافی به $a$ نزدیک شود). به عبارت دیگر: $f'(a) = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x) - f(a)}}{{x - a}}$

مثال: اگر $f(x) = {x^2}$، $f'(3)$ را به دو روش به‌دست آورید.

حل:

روش اول:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(3 + h) - f(3)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{{(h + 3)}^2} - 9}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{h^2} + 6h + 9 - 9}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{{h^2} + 6h}}{h}$

$ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{h(h + 6)}}{h} = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} (h + 6) = 6$

روش دوم:

$f'(3) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 9}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x + 3)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} (x + 3) = 6$

در موقعیت‌های مختلف، ممکن است یکی از این دو روش بر دیگری به دلیل ساده‌تر بودن محاسبات برتری داشته باشد. معادل بودن این دو روش را به شیوه هندسی ملاحظه نمودید. در کار در کلاس بعد به شیوه جبری نیز معادل بودن دو روش بالا را بررسی کنید.