درسنامه آموزشی فصل سوم حسابان (2) کلاس دوازدهم علوم ریاضی

در سال قبل با حد یک تابع در یک نقطه آشنا شدیم. دیدیم که $l$ حد تابع $f$ در نقطه $a$ است هرگاه بتوانیم مقدارهای $f(x)$ را به دلخواه (هر قدر که بخواهیم) به $l$ نزدیک کنیم به شرطی که $x$ را به اندازه کافی به $a$ (از دو طرف $a$) نزدیک کرده باشیم اما $x$ برابر $a$ نشده باشد در این درس با رفتار برخی دیگر از توابع در همسایگی محذوف یک نقطه آشنا می‌شویم.

با توجه به آنچه در فعالیت و کار در کلاس بالا مشاهده شد تعریف زیر را می‌توان ارائه داد.

تذکر: تعریف حدهای یک طرفه نامتناهی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty $ نیز مشابه تعاریف فوق است. توصیف حالت‌های مختلف حدهای یک طرفه نامتناهی در شکل‌های زیر آمده است.

مثال: نمودار تابع $f(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}}$ در شکل زیر رسم شده است می‌خواهیم رفتار تابع $f$ را در همسایگی محذوف نقطه $x = 0$ بررسی کنیم به جدول زیر توجه کنید:

0/5	0/1	0/01	0/001	$ \leftarrow \,000$	0	$000 \to $	0/001-	0/01-	0/1-	0/5-	$x$
				$ \leftarrow \,000$	تعریف نشده	$000 \to $					$f(x)$

مشاهده می‌شود با نزدیک کردن $x$ به اندازه کافی به صفر، مقدارهای $f(x)$ را می‌توان به دلخواه بزرگ کرد بنابراین $f(x)$ از هر عدد دلخواهی بزرگ‌تر می‌شود و در نتیجه مقدار حد تابع یک عدد خاصی نمی‌شود و حد متناهی ندارد. در اینجا می‌نویسیم $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty $.

تعریف مشابهی از حد در مورد تابع‌هایی که وقتی $x$ به $a$ نزدیک می‌شود و مقدار تابع خیلی کوچک‌تر می‌شود در زیر وجود دارد.

مثال: برای حدّ تابع $f(x) = \frac{1}{x}$ در نقطه $x = 0$ می‌توان گفت: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) =  - \infty $

مثال: در مورد حد تابع $f(x) = \frac{1}{{\left| x \right|}}$ در نقطه $x = 0$ می‌توان گفت: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{\left| x \right|}} =  + \infty $

برخی از قضایای حدهای بی‌نهایت

قضیه 1: اگر $n$ یک عدد طبیعی باشد؛ آنگاه:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^n}}} = \left\{ \begin{gathered}
   + \infty \,\,\,\,\,\,n \hfill \\
   - \infty \,\,\,\,\,\,n \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$        و      $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^n}}} =  + \infty $

مثال: با توجه به قضیه فوق می‌توان نوشت:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^4}}} =  + \infty \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{1}{{{x^3}}} =  - \infty $          و                $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{{x^4}}} =  + \infty $

قضیه 2: الف) اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  + \infty $  و  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  + \infty $ آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) =  + \infty $ و برعکس.

ب) اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f(x) =  - \infty $  و  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f(x) =  - \infty $ آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) =  - \infty $ و برعکس.

مثال: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} =  + \infty $  و  $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} =  + \infty $ و در نتیجه $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{2}{{\left| {x - 1} \right|}} =  + \infty $

قضیه 3: اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L \ne 0$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = 0$ آن‌گاه:

الف) اگر $L \gt 0$ و مقادیر $g(x)$ در یک همسایگی محذوف $a$ مثبت باشد، آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  + \infty $

ب) اگر $L \lt 0$ و مقادیر $g(x)$ در یک همسایگی محذوف $a$ مثبت باشد، آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  - \infty $

پ) اگر $L \gt 0$ و مقادیر $g(x)$ در یک همسایگی محذوف $a$ منفی باشد، آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  - \infty $

ت) اگر $L \lt 0$ و مقادیر $g(x)$ در یک همسایگی محذوف $a$ منفی باشد، آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =  + \infty $

تذکر: قضیه 3 در حالتی که $x \to {a^ + }$ یا $x \to {a^ - }$ نیز برقرار است.

مثال: هزینه پاک‌سازی $x$ درصد از آلودگی‌های شهری و صنعتی از رودخانه‌ای به وسیله تابعی، با ضابطه $f(x) = \frac{{255x}}{{100 - x}}$ محاسبه می‌شود که در آن $x$ درصد آلودگی و $f(x)$ هزینه پاک‌سازی برحسب میلیون تومان است دامنه تابع $\left[ {0,100} \right)$ می‌باشد. مثلاً برای هزینه 20 درصد از آلودگی‌های این رودخانه 63/75 میلیون تومان لازم است.

برای پاک‌سازی 95 درصد از آلودگی‌ها $f(95) = 4845$ و در نتیجه نزدیک به پنج میلیارد تومان برای این کار لازم است. با توجه به قضیه فوق داریم: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{100}^ - }} \frac{{255x}}{{100 - x}} =  + \infty $

و این بدان معنا است که با نزدیک شدن $x$ به عدد 100 مقدار $f(x)$ از هر عدد مثبت از پیش تعیین شده‌ای بزرگ‌تر خواهد شد لذا نمی‌توان صددرصد آلودگی‌های رودخانه را پاک‌سازی کرد.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}}$ را به‌دست آورید.

حل: از آنجا که $4 - {x^2} = (2 - x)(2 + x)$ وقتی $x$ در همسایگی چپ 2، باشد. مخرج کسر با مقادیر مثبت به صفر میل می‌کند. از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} x + 1 = 3$ طبق بند (الف) قضیه فوق $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{x + 1}}{{4 - {x^2}}} =  + \infty $

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x}}$ را به‌دست آورید.

حل: وقتی $x$ در همسایگی راست صفر باشد حد صورت کسر برابر 1- و حد مخرج کسر برابر صفر است و از آنجا که در همسایگی راست و صفر ${\sin x}$ مقداری مثبت است. در نتیجه طبق بند (ب) قضیه فوق $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x - 1}}{{\sin x}} =  - \infty $

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}}$ را به‌دست آورید.

حل: از آنجا که حد فوق به‌صورت $\frac{0}{0}$ در می‌آید و چون $x \ne  - 1$ پس می‌توان صورت و مخرج کسر را بر $x + 1$ تقسیم کرد. داریم:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{{x^2} + x}}{{{x^2} + 2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{{x(x + 1)}}{{{{(x + 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ - }} \frac{x}{{x + 1}} =  + \infty $

قضیه 4: اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) = L$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) =  + \infty $ (و یا $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) =  - \infty $) آنگاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f(x)}}{{g(x)}} = 0$

تذکر: قضیه فوق در حالتی که $x \to {a^ + }$ یا $x \to {a^ - }$ نیز برقرار است.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}}$ را به‌دست آورید.

حل: در یکی از کار در کلاس‌های قبل به‌صورت شهودی دیده شد که: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ + }} \tan x =  - \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{\pi }{2}}^ - }} \tan x =  + \infty $ از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} (x + 1) = \frac{\pi }{2} + 1$ طبق قضیه فوق $\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{2}} \frac{{x + 1}}{{\tan x}} = 0$

همان‌طور که در فعالیت فوق مشاهده کردید به‌طور کلی قضیه زیر را می‌توان بیان کرد.

قضیه 5: اگر $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} g(x) = L$ آن‌گاه:

الف) $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x) + g(x)} \right) =  + \infty $

ب) اگر $L \gt 0$ آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x).g(x)} \right) =  + \infty $

پ) اگر $L \lt 0$ آن‌گاه $\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {f(x).g(x)} \right) =  - \infty $

تذکر: قضیه فوق برای حالتی که $x \to {a^ + }$ یا $x \to {a^ - }$ نیز برقرار است.

مثال: برای به‌دست آوردن حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} (2x + 1 + \frac{1}{{{x^2}}})$ از آنجا که $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2x + 1 = 1$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{{x^2}}} =  + \infty $ با توجه به بند الف قضیه فوق حاصل حد برابر $ + \infty $ می‌شود.

مثال: حاصل $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{x + {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}$ را به‌دست آورید.

حل: می‌توان نوشت $\frac{{x + {{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = \frac{1}{x} + \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}}$ از طرفی $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{x^2}}} = 1$ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{x} =  + \infty $ و با توجه به بند الف قضیه فوق حاصل حد برابر $ + \infty $ خواهد شد.

مجانب قائم

به نمودارهای هر یک از توابع $f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}$ و $g(x) = \frac{1}{x}$ در اطراف نقطه صفر توجه کنید.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} g(x) =  + \infty $ و $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} g(x) =  - \infty $ خط $x = 0$ را در هر دو منحنی، مجانب قائم نمودار می‌گویند.

مثال: در هر یک از شکل‌های زیر خط $x = a$ یک مجانب قائم منحنی داده شده است.

مثال: کدام یک از خطوط $x =  - 1$ و $x = 3$ مجانب‌های قائم تابع $f(x) = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 2x - 3}}$ می‌باشند؟

حل: شرایط مجانب قائم را برای دو خط مذکور بررسی می‌کنیم.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 2x - 3}} =  - \infty $

به علاوه از آنجا که $\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} f(x) =  + \infty $ می‌توانیم بگوییم $x =  - 1$ نیز مجانب قائم منحنی تابع $f$ است از طرفی

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 2x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{(x - 3)(x - 1)}}{{(x - 3)(x + 1)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{1}{2}$

خط ${x = 3}$ شرایط مجانب قائم را ندارد. لذا منحنی تابع $f$ فقط یک مجانب قائم به‌صورت ${x =  - 1}$ دارد.

مثال: نمودار تابع با ضابطه $f(x) = \frac{{x + 1}}{{{x^3} + x}}$ در نزدیکی مجانب قائم آن به چه صورتی می‌باشد؟

حل:

$f(x) = \frac{{x + 1}}{{x({x^2} + 1)}}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) =  + \infty \,\,\,,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) =  - \infty $

پس خط $x = 0$ مجانب قائم منحنی تابع است و در مجاورت این خط نمودار تابع به‌صورت زیر خواهد بود.