درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (2) کلاس یازدهم انسانی و معارف
درس 2: توابع پلکانی و قدر مطلقی
تابع پلکانی (Step Function)
روش محاسبۀ قبض برق
محاسبهٔ هزینهٔ برق مصرفی در هر خانه بر اساس میزان «کیلووات ساعت» برقی است که در هر سی روز در یک خانه مصرف میشود. یک کیلووات ساعت $(kwh)$ در واقع مصرف یک وسیلهٔ هزار واتی در مدت زمان یک ساعت است، مثلاً اگر 10 لامپ صد واتی را به مدت یک ساعت روشن کنیم، یک کیلووات ساعت برق مصرف کردهایم.
اگر فرض کنیم مصرف برق یک خانه در سی روز $246/23\,kwh$ بوده است، برای محاسبهٔ هزینهٔ مصرف برق، میزان کیلووات ساعت مصرفی مطابق این جدول بهصورت پلکانی تقسیم میشود.
مجموع مبالغ ستون آخر، مبلغ قبض یک ماه (سی روز) را مشخص میکند (البته در عمل به این مبلغ مالیات بر ارزش افزوده و عوارض برق و... اضافه میشود و عموماً قبضهای برق برای بیشتر از سی روز صادر میشوند).
جدول بالا را با نمودار زیر نیز میتوان مشخص کرد:
فعالیت (صفحه 35 کتاب درسی)
به کمک نمودار پلکانی رسم شده برای محاسبه هزینهٔ برق مصرفی یک خانه:
1) هزینه $100\,kwh$ اول چگونه محاسبه میشود؟ آیا میتوانیم مساحتی را در نمودار داده شده، مشخص کنیم که این هزینه را تعیین کند؟
2) مساحت قسمت هاشور خوردهٔ زیر بیانگر چه مفهومی است؟
3) هزینهٔ کل برق مصرفی این خانه معادل چه مساحتی است؟ این مساحت را هاشور بزنید و مقدار هزینه را مشخص کنید.
تابع علامت (Sign Function)
کار در کلاس (صفحه 35 کتاب درسی)
بر اساس ضابطهٔ تابع پلکانی $y = f(x)$، نمودار آن را رسم کنید. دامنه و برد آن را مشخص کنید.
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x = 0 \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
کار در کلاس (صفحه 36 کتاب درسی)
1) نمودار زیر مدل ریاضی چه مفهومی را بیان میکند؟ محورهای $x$ و $y$ بیانگر چه کمیتهایی هستند؟ واحدهای آنها را مشخص کنید. ضابطهٔ تابع را بنویسید؟
2) هر کدام از نمودارهای توابع سمت چپ را به تصویری که بیانگر آن مفهوم است، مرتبط کنید.
تابع جزء صحیح (Greatest Integer Function)
فعالیت (صفحه 37 کتاب درسی)
فرض کنید $g$ تابعی است که به هر عدد صحیح، خود همان عدد را نسبت میدهد و به هر عدد بین دو عدد صحیح متوالی، عدد صحیح کوچکتر را نسبت میدهد.
برای مثال، در این تابع اگر $x$ عدد صحیح 1 انتخاب شود یا عددی بین 1و 2 باشد، تابع $g$، این اعداد را به عدد 1 نسبت میدهد.
به بیانی دیگر:
$1 \leqslant x \lt 2\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,g(x) = 1$
مطابق تعریف تابع $g$، اگر $x$ عددی بین دو عدد صحیح متوالی 2- و 3- باشد، این تابع مقادیر $x$ را به عدد ... نسبت میدهد (شکل 2).
و اگر $x$ عددی بین اعداد 2 و 3 باشد، این تابع مقادیر $x$ را به عدد ... نسبت میدهد (شکل 3).
$... \leqslant x \lt ...\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,g(x) = ...$
$... \leqslant x \lt ...\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\,\,g(x) = ...$
کار در کلاس (صفحه 38 تا 39 کتاب درسی)
به کمک تابع $g$ که در فعالیت بالا تعریف شده است، جدول زیر را کامل کنید.
| نمودار تابع | جواب تابع $g$ | حدود $x$ |
|
|
$g(x) = $ |
|
|
|
$g(x) = 1$ |
|
|
|
$g(x) = $ |
|
|
|
$g(x) = - 1$ |
|
|
|
$g(x) = $ |
|
این حالتها را میتوانیم با یک تابع چند ضابطهای و نمودار متناظرش بهصورت زیر بیان کنیم:
$g(x) = \left\{ \begin{gathered}
\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
- 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \leqslant x \lt 0 \hfill \\
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x \lt 1 \hfill \\
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \leqslant x \lt 2 \hfill \\
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \leqslant x \lt 3 \hfill \\
\vdots \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\
\end{gathered} \right.$
کار در کلاس (صفحه 39 کتاب درسی)
به کمک تعریف تابع جزء صحیح و با استفاده از محور اعداد، حاصل عبارتهای خواسته شده را بهدست آورید.
$\left[ 2 \right]$
$\left[ {0/7} \right]$
$\left[ { - 3/2} \right]$
$\left[ {2/7} \right]$
$\left[ { - 0/7} \right]$
$\left[ { - \pi } \right]$
$\left[ { - 2/7} \right]$
$\left[ { - 0/07} \right]$
$\left[ { - 2/2} \right]$
تابع قدرمطلق (Absolute Value Function)
فعالیت (صفحه 40 تا 41 کتاب درسی)
فعالیت 1: هر چند امروزه بخش عمدهای از افراد از اضافه وزن رنج میبرند، بخش دیگری نیز دچار کمبود وزن نسبت به وزن استاندارد هستند. هر دو گروه باید تلاش کنند که وزن خود را استاندارد کنند. یک روش برای این کار، پیادهروی منظم روزانه است. فرض کنیم یک گروه خاص از افراد در یک روز، بهازای هر یک گرم افزایش یا کاهش وزن باید یک ثانیه پیادهروی کند. بر این اساس فردی با 1200 گرم اضافه وزن یا 1200 گرم کمبود وزن باید 1200 ثانیه، یعنی 20 دقیقه روزانه بهصورت منظم پیادهروی کند و فردی با 2400 گرم اضافه وزن یا 2400 گرم کمبود وزن باید روزانه 2400 ثانیه یعنی 40 دقیقه بهصورت منظم پیادهروی کند.
این مفهوم را میتوان به کمک نمودار زیر نشان داد:
اگر مقدار اضافه وزن را با علامت مثبت و مقدار کمبود وزن را با علامت منفی نشان دهیم و $f$ بیانگر تابعی باشد که میزان پیادهروی برحسب ثانیه را نشان میدهد، اطلاعات پیش گفته را بهصورت زیر میتوانیم بیان کنیم:
$f(1200) = ......$
$f( - 1200) = ......$
$f(......) = 2400$
$f(......) = - 2400$
که این مفهوم را در یک تابع دو ضابطهای مینویسیم
$f(x) = \left\{ \begin{gathered}
x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 0 \hfill \\
- x\,\,\,\,\,\,\,x \lt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
این تابع را میتوان چنین تعبیر کرد که هر مقدار در دامنه را، بهقدر مطلق همان مقدار در برد نظیر میکند.
فعالیت 2: پلی که روی رودخانهٔ سیمینه رود در استان آذربایجان غربی ساخته شده، طبق قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه باید در تیر 1395 افتتاح شود. اگر احداث این پل زودتر از موعد مقرر انجام شود، به دلیل هزینهٔ نگهداری پل و عدم استفاده از آن (به خاطر پایان نیافتن بقیهٔ جادهٔ مواصلاتی به پل) به ضرر است. همچنین تأخیر در زمان افتتاح پل نیز موجب خسارت به صاحب کار (وزارت راه) است. بر این اساس مطابق قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه بهازای هر یک ماه اختلاف با زمان تحویل، پیمانکار متعهد است یک میلیون تومان جریمه پرداخت کند. تحویل پروژه به روز بستگی ندارد؛ بلکه به ماه تحویل بستگی دارد.
الف) نمودار تابع جریمه برحسب زمان تحویل پروژه در ماههای مختلف را کامل کنید.
ب) آیا میتوانید این نمودار را به زبان یک تابع قدر مطلقی بیان کنید؟
ج) اگر پیمانکار چهار میلیون تومان جریمه پرداخت کرده باشد، تحویل پروژه در چه ماه یا ماههایی میتواند انجام شده باشد؟ چرا؟ پاسخ این پرسش را به کمک نمودار بالا و ضابطهٔ تابع قدر مطلق بهدست آمده توضیح دهید.
کار در کلاس (صفحه 41 کتاب درسی)
با توجه به نمودار
الف) شرایط تحویل ندادن به موقع پروژه میان پیمانکار و وزارت راه را بیان کنید.
ب) به کمک نقاط مندرج در نمودار، ضابطهٔ هریک از نیمخطها با شیب مثبت و منفی را بهدست آورید.
ج) به کمک تعریف تابع قدرمطلق، دو ضابطه را با یک ضابطه بیان کنید.
د) شیبخط در تابع بهدست آمده در قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه چه معنایی دارد؟
حل یک مسئله
نمودار تابع $y = \left| {2x - 6} \right|$ را رسم کنید.
با توجه به تعریف قدرمطلق $\left| u \right| = \left\{ \begin{gathered}
u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,u \geqslant 0 \hfill \\
- u\,\,\,\,\,\,\,\,u \lt 0 \hfill \\
\end{gathered} \right.$
$y = \left| {2x - 6} \right| = \left\{ \begin{gathered}
2x - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2x - 6 \geqslant 0\,\,\,\,\,(1) \hfill \\
- (2x - 6)\,\,\,\,2x - 6 \lt 0\,\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
برای تعیین حدود $x$ برای هرکدام از ضابطههای بالا، به کمک قوانین نامساویها در ریاضی نهم:
$\left\{ \begin{gathered}
2x - 6 \geqslant 0\,,\,2x \geqslant 6 \Rightarrow x \geqslant 3\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\
2x - 6 \lt 0\,,\,2x \lt 6 \Rightarrow x \lt 3\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
پس ضابطهٔ تابع اینگونه مشخص میشود:
$y = \left| {2x - 6} \right| = \left\{ \begin{gathered}
2x - 6\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \geqslant 3\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \\
- (2x - 6)\,\,\,\,\,\,x \lt 3\,\,\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \\
\end{gathered} \right.$
و نمودار تابع بهصورت زیر رسم میشود:
کار در کلاس (صفحه 42 کتاب درسی)
الف) نمودار $y = \left| {x - 4} \right|$ را رسم کنید.
ب) نمودار $y = \left| x \right|$ را در همین صفحهٔ مختصات رسم کنید.
ج) آیا میتوان بدون مراحل حل بالا، بر اساس نمودار $y = \left| x \right|$، نمودار $y = \left| {x - 4} \right|$ را رسم کرد؟ چگونه؟
د) نمودار $y = \left| {x - 3} \right|$ و $y = \left| {x + 1} \right|$ را با توجه به «ج» رسم کنید.
هـ) نمودار $y = \left| x \right| + 1$ را چگونه میتوان براساس نمودار $y = \left| x \right|$ رسم نمود؟
تمرین (صفحه 43 تا 44 کتاب درسی)
1) به کمک تعریف تابع جزء صحیح و با استفاده از محور زیر حاصل عبارتهای زیر را بهدست آورید.
$\left[ {4/2} \right] = $
$\left[ { - 4/2} \right] = $
$\left[ {3/99} \right] = $
$\left[ { - 1/2} \right] = $
$\left[ { - 2} \right] = $
$\left[ \pi \right] = $
2) باتوجه به تعریف تابع جزء صحیح، جدول زیر را کامل کنید.
| مقدار $f(x)$ | مقدار $x$ | ضابطه تابع |
| $x = - 2/3$ $x = 5$ |
$f(x) = \left[ x \right]$ | |
| $x = 1/7$ $x = 2/3$ |
$f(x) = \left[ { - x} \right]$ | |
| $x = 1$ $x = 1/3$ $x = 1/7$ $x = 2$ |
$f(x) = \left[ x \right] + \left[ { - x} \right]$ | |
| $x = 1$ $x = 0/2$ $x = 1/3$ |
$f(x) = \left[ {3x} \right]$ |
3) جدول مالیاتی زیر را که توسط هیئت مدیرهٔ یک شرکت برای سال جدید مالی آماده و تصویب شده است، در نظر بگیرید:
| حقوق ماهیانه (تومان) | نرخ مالیات (درصد) |
| حقوق تا 1/300/000 | معاف مالیات |
| مازاد بر 1/300/000 تا 2/500/000 | 10 |
| مازاد بر 2/500/000 تا 4/500/000 | 15 |
| مازاد بر 4/500/000 | 25 |
الف) نمودار پلکانی متناظر با جدول مالیاتی را رسم کنید.
ب) به کمک نمودار پلکانی و محاسبهٔ سطح متناظر با هر یک از حقوقهای ماهیانه، مبلغ مالیات هر کدام از کارمندان زیر را محاسبه کنید.
- کارمندی با حقوق 1/200/000 تومان
- کارمندی با حقوق 2/400/000 تومان
- کارمندی با حقوق 6/000/000 تومان
4) با توجه به نمودارهای زیر، کدام نمودار، تابع الف و کدام نمودار، تابع ب را مشخص میکند؟ چه نتیجه ای میگیرید؟
$y = \left| x \right| + 2$ (الف
$y = \left| x \right| - 3$ (ب
$y = \left| {x + 1} \right|$ (الف
$y = \left| {x - 4} \right|$ (ب
$y = - \left| x \right|$ (الف
$y = - \left| x \right| + 1$ (ب
5) نمودار توابع زیر را رسم کنید.
$y = \left| {2x - 3} \right|$ (الف
$y = \left| {3x + 1} \right|$ (ب
6) با توجه به نمودار
الف) شرایط تحویل ندادن به موقع پروژه میان پیمانکار و وزارت راه را بیان کنید.
ب) به کمک نقاط مندرج در نمودار، ضابطهٔ هر یک از نیمخطها با شیب مثبت و منفی را بهدست آورید.
ج) به کمک تعریف تابع قدر مطلق، دو ضابطه را با یک ضابطه بیان کنید.
د) شیب خط در تابع بهدست آمده در قرارداد میان پیمانکار و وزارت راه چه معنایی دارد؟ افزایش یا کاهش شیبخط به چه معناست؟