درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (2) کلاس یازدهم انسانی و معارف

1) کدام یک از رابطه‌های زیر که با نمودار پیکانی نمایش داده شده‌اند، تابع نیست؟ چرا؟

2) کامل کنید:

$\left\{ \begin{gathered}   f:A \to B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\   f(x) = {x^2} - 1 \hfill \\  \end{gathered}  \right.$ ${D_f} = A = \{ 2\,,\, - 1\,,\,2\} \,\,\,\,\,\,{R_f} = \{ \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\} $

$f$ تابعی خطی از $A$ به $B$ $f(x) = $ ${D_f} = \{  - \frac{1}{2}\,,\,0\,,\,2\} \,\,\,\,\,\,{R_f} = \{  - \frac{3}{2}\,,\,0\,,\,6\} $

$\left\{ \begin{gathered}   f:A \to B \hfill \\   f(x) = \frac{1}{x} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$ ${D_f} = \{ \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\} \,\,\,\,\,\,{R_f} = \{ 1\,,\,\frac{1}{2}\,,\,\frac{1}{5}\} $

$\left\{ \begin{gathered}   f:A \to B\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \hfill \\   f(x) = {(x - 1)^2} \hfill \\  \end{gathered}  \right.$ ${D_f} = \{ \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\} \,\,\,\,\,\,{R_f} = \{ \,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\} $

1) با توجه به معرفی محور $x$ و $y$ در هر دستگاه مختصات، با هرکدام از توضیحات زیر کدام یک از توابع ثابت، چند ضابطه‌ای یا همانی معرفی می‌شود؟ نمودار هر حالت را با توجه به توضیحات کامل کنید.

الف) به مناسبت روز درخت‌کاری، در یک مدرسه هر دانش‌آموز یک نهال می‌کارد.

ب) هزینهٔ یک لیتر بنزین عادی در هر زمان از شبانه روز در یک پمپ بنزین 1000 تومان است.

ج) برای هر یک متر مربع نقاشی یک ساختمان یک قوطی رنگ کوچک استفاده می‌شود.

د) بلیت یک سینما در سه سانس اول 2000 تومان، در چهار سانس بعدی 3000 تومان و در دو سانس آخر 1500 تومان است.

هـ) دونده‌ای، کنار یک زمین فوتبال، با سرعت ثابت از نقطهٔ $A$ تا نقطهٔ $B$ شروع به دویدن می‌کند و دوباره به نقطهٔ $A$ برمی‌گردد.

2) کدام یک از گزاره‌های زیر درست است؟ چرا؟

الف) اگر دامنه و برد یک تابع برابر باشد، آن تابع همانی است.
ب) اگر دامنهٔ یک تابع همانی مجموعهٔ اعداد حقیقی باشد، آن‌گاه حاصل $f(x) + f( - x)$ همواره برابر صفر است.
ج) اگر $f$ یک تابع ثابت باشد، آنگاه $f(kx) = kf(x)$.

3) اگر $A = \left\{ {(2,b)\,,\,(a,4),\,(7,a + b)} \right\}$ یک تابع ثابت باشد، مقدار $a$ کدام است؟

4) اگر $A = \left\{ {({x_1},{y_1})\,,\,({x_2},{x_2}),\,({x_3},{y_3})} \right\}$ یک تابع ثابت باشد، میانگین، میانه و واریانس مقادیر ${y_1}$، ${y_2}$، ${y_3}$ را به‌دست آورید.

5) کدام یک از نمایش‌های پیکانی زیر یک تابع ثابت را معرفی می‌کند؟

6) در تابع ثابت $:f(x) = c$

الف) مقادیر $f(a)$، $f(b)$ و $f(a + b)$ را مشخص کنید.
ب) اگر در این تابع $:f(a + b) = f(a) \times f(b)$ باشد، $c$ چه مقادیر را اختیار می‌کند؟

7) اگر $A = \left\{ {(a,1)\,,\,(b,2)\,,\,(c,5)} \right\}$ یک تابع همانی باشد، میانگین $a$ و $b$ و $c$ را به‌دست آورید.

8) در هر یک از زوج مرتب های زیر $n \in \mathbb{N}$ را به‌گونه‌ای تعیین کنید که زوج مرتب داده شده روی نیمساز ناحیهٔ اول و سوم باشد.

$(2,{n^2} - 3n + 4)$

$( - 1,{n^2} - 4n + 2)$

9) اگر $f$ یک تابع ثابت با دامنهٔ دو عضوی و $n \in \mathbb{N}$ و $m$ باشد، مقدار $m + t$ را به‌دست آورید.

$f = \left\{ {( - 1,{n^2} - 2n)\,,\,(m - 4,3)\,,\,(m + n,t)} \right\}$

10) ضابطهٔ تابع زیر را مشخص کنید.

11) در تابع $f(x) = \left\{ \begin{gathered}
  x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \lt  - 1 \hfill \\
  {x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - 1 \leqslant x \leqslant 2 \hfill \\
  5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x \gt 2 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$ حاصل عبارت‌های زیر را به‌دست آورید.

$f(2)$

$f(3) + f( - 1)$

$f( - \sqrt 2 ) + f(\sqrt 3 )$

$f(\sqrt 2 ) + f(\sqrt 5 )$

12) نمودار زیر به کدام داستان مربوط است؟

الف) آوا و مادربزرگش برای قدم زدن در بوستان، از خانه خارج شدند. آنها در ابتدا آهسته قدم می‌زدند و سپس سرعتشان را بیشتر کردند تا به بوستان رسیدند. سپس، از مسیری که آمده بودند، برگشتند و به خانه رسیدند.
ب) علی با دوچرخه‌اش از خانه به سمت بالای تپه روبه‌روی خانه شان حرکت کرد. پس از مدتی شیب تپه کمتر شد تا به بالای تپه رسید. سپس از آنجا از سمت دیگر به پایین تپه سرازیر شد.
ج) محمدرضا برای دویدن روزانه‌اش از خانه خارج شد. هنگام دویدن با دوست خود که در حال دویدن بود، برخورد کرد که باعث شد از سرعت دویدنش کم شود؛ اما بعد از آن با سرعت بیشتری به سمت خانه حرکت کرد و به خانه رسید.

13) اگر هزینهٔ توقفگاه در روز جمعه بر اساس مدت زمان سپری شده از بازگشایی فروشگاه از ساعت 8 صبح از تابع

$C(x) = \left\{ \begin{gathered}
  1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant x < 2 \hfill \\
  x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \leqslant x < 10 \hfill \\
  0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,10 \leqslant x \leqslant 12 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right.$

پیروی کند، با رسم نمودار تابع، هزینهٔ توقفگاه هر خودرو را با توجه به ساعت و زمان ورودش به توقفگاه به کمک نمودار تابع محاسبه کنید. (هر واحد بر روی محور $y$ها معادل 500 تومان است).

14) درآمد فروشگاه از توقفگاه را از روز شنبه تا چهارشنبه در دو حالت زیر مقایسه کنید.

الف) قبل از هوشمندسازی و بر اساس هزینهٔ ثابت 700 تومان برای هر خودرو که مستقل از روز و ساعت ورود به توقفگاه است.
ب) بر اساس هوشمندسازی

در هر دو حالت از اطلاعات جدول 1 استفاده کنید.