درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی و آمار (2) کلاس یازدهم انسانی و معارف

مَنطِق در لغت به معنای «آنچه به گفته درآمده» و عموماً آن را به معنای بررسی استدلال ها تعبیر می‌کنند. کاربرد منطق در تشخیص اعتبار استدلال هاست. امروزه منطق صرفاً به عنوان شاخه‌ای از فلسفه شمرده نشده و در ریاضیات و علوم مربوط به رایانه نیز به آن پرداخته می‌شود.

تعبیر دیگری از منطق، روش درست فکر کردن است. با تکیه بر این تعبیر می‌توان ادعا کرد که منطق‌دانان و افرادی که با منطق مأنوس‌ترند، بسیار کمتر از دیگران در استدلال ها اشتباه می‌کنند.

از میان انواع منطق و کاربردهای آن در این فصل قصد داریم شما را با منطق ریاضی که شاخه‌ای از ریاضیات است و به بیان ریاضی گونهٔ منطق می‌پردازد، آشنا کنیم. اگر ریاضیات را به‌عنوان یک زبان برای انتقال مفاهیم و اطلاعات در نظر بگیریم، منطق ریاضی، دستور این زبان است.

در بین جملاتی که ما از آنها استفاده می‌کنیم، جملات خبری از اهمیت و جایگاه ویژه‌ای برخوردارند و به‌ویژه صدق و کذب یا درستی و نادرستی این خبرها برای ما و مخاطب ما اهمیت دارد. به‌عنوان مثال وقتی شما به دوست خود می‌گویید؛ «من امروز ساعت 8 صبح در محل قرار حضور داشتم.» خبری را برای او بیان می‌کنید که صدق یا کذب این خبر برای شما و دوستتان مهم است.

در منطق ریاضی به هر جملهٔ خبری که بتوانیم (در حال حاضر یا در آینده) دقیقاً یکی از دو ارزش درست یا نادرست (راست یا دروغ) را به آن نسبت بدهیم، یک گزاره گفته می‌شود.

جمله‌های غیر خبری مانند «چه هوای خوبی» یا «شما اهل کجایید؟» و همچنین جمله‌های خبری که نتوانیم ارزش آنها را تعیین کنیم، گزاره نیستند؛ مثلاً «درس فلسفه از درس عربی آسان‌تر است».

ترکیب گزاره‌ها

در منطق ریاضی و در حساب گزاره‌ها، به صورت‌های متفاوتی می‌توان گزاره‌های ساده را با هم ترکیب و گزاره‌های مرکب تولید کرد. در این کتاب، ترکیب گزاره‌ها توسط 4 رابط «و»، «یا»، «شرطی» و دو شرطی انجام می‌شود. هر گزارهٔ مرکب که از ترکیب دو یا بیشتر از دو گزارهٔ ساده تولید می‌شود، خودش یک گزاره است و باید بتوانیم ارزش آن را تعیین کنیم. به گزاره‌های ترکیبی زیر توجه کنید؛

الف) «5 عددی فرد است و 4 عددی اول است».
ب) «121 مضرب 12 است یا $\sqrt 3 $ مثبت است».
پ) «اگر من مسلمان باشم، آنگاه نبوّت حضرت رسول اکرم (ص) را قبول دارم».
ت) «اگر $n$ عددی زوج باشد، آنگاه ${n^2}$ زوج است و اگر ${n^2}$ زوج باشد، آنگاه $n$ زوج است».

هر یک از گزاره‌های ترکیبی فوق از ترکیب دو گزاره به‌دست آمده‌اند و اگر از شما بخواهیم ارزش هر یک از آنها را تعیین کنید، شاید کمی مشکل به نظر برسد، ولی آنچه که مسلّم است این است که ارزش گزاره‌های ترکیبی فوق به ارزش (درستی یا نادرستی) گزاره‌های سادهٔ تشکیل دهندهٔ آنها و نوع رابط به کار رفته بین آنها بستگی دارد.

1) ترکیب عطفی دو گزاره: گزارهٔ «عدد 3 فرد است و 7 عددی اول است» را در نظر بگیرید. چه استنباطی نسبت به درستی یا نادرستی این گزاره دارید؟ نسبت به صدق و کذب گزارهٔ «افلاطون شاگرد ارسطو است و عدد 4 زوج است»، چه استنباطی دارید؟ کاملاً واضح است که صدق یک گزارهٔ مرکب که از ترکیب دو گزارهٔ ساده با لفظ یا حرف ربط «و» تشکیل شده است، درستی هر دو گزاره را طلب می‌کند. به نظر شما گزارهٔ دومی چه ارزشی دارد؟ توجه دارید که افلاطون شاگرد ارسطو نبوده است!

هرگاه بخواهیم دو گزاره مانند $p$ و $q$ را با لفظ «و» ترکیب کنیم، از نماد «$ \wedge $» بین دو گزاره استفاده می‌کنیم و آن را ترکیب عطفی دو گزاره می‌نامیم و می‌نویسیم $p \wedge q$؛ و آن را به‌صورت «$p$ و $q$» می‌خوانیم. ارزش ترکیب عطفی دو گزاره با توجه به جدول زیر تعیین می‌شود:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، ترکیب عطفی دو گزاره فقط وقتی دارای ارزش درست است که هر دو گزاره ارزش درست داشته باشد و اگر حداقل یکی از دو گزاره نادرست باشند، «$p \wedge q$» نادرست است.

2) ترکیب فصلی دو گزاره: اگر شخصی به شما بگوید؛ «آن حیوان، پرنده است یا مهره‌دار است»؛ صدقِ گفتهٔ او را در چه صورتی تأیید می‌کنید؟ اگر پس از بررسی معلوم شود که حیوان مورد نظر نه پرنده بوده است و نه از تیرهٔ مهره‌داران بوده است، آیا گزارهٔ مذکور دارای ارزش درست بوده است؟ در واقع صدق یک گزارهٔ مرکب که از ترکیب دو گزارهٔ ساده با «یا» تشکیل شده است، در صورتی تأیید می‌شود که حداقل یکی از دو گزارهٔ ساده، ارزش درست داشته باشند.

هرگاه بخواهیم دو گزاره مانند $p$ و $q$ را با لفظ «یا» با هم ترکیب کنیم، از نماد «$ \vee $» استفاده می‌کنیم و آن را ترکیب فصلی دو گزاره نامیده و می‌نویسیم $p \vee q$ و آن را به صورت «$p$ یا $q$» می‌خوانیم. ارزش ترکیب فصلیِ دو گزاره با توجه به جدول زیر تعیین می‌شود:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، ترکیب فصلی دو گزاره تنها وقتی نادرست است که ارزش هر دو گزاره نادرست باشد و اگر حداقل یکی از دو گزاره، ارزش درست داشته باشد، در این صورت ارزش ترکیب فصلیِ آنها درست است.

3) ترکیب شرطی دو گزاره

هرگاه بخواهیم از گزارهٔ $p$ گزارهٔ $q$ را نتیجه بگیریم، از نماد «$ \Rightarrow $» استفاده می‌کنیم و می‌نویسیم: «$p \Rightarrow q$» و آن را به‌صورت‌های زیر می‌خوانیم:

(اگر $p$ آنگاه $q$)، ($p$ نتیجه می‌دهد $q$ را)، ($q$ از $p$ نتیجه می‌شود)

در گزارهٔ شرطیِ «$p \Rightarrow q$»، را مقدم و $q$ را تالی می‌نامیم.

ارزش گزارهٔ شرطی «$p \Rightarrow q$» با توجه به جدول زیر تعیین می‌گردد:

همان‌طور که ملاحظه می‌کنید، گزارهٔ شرطی $p \Rightarrow q$ فقط زمانی دارای ارزش نادرست است که مقدم؛ یعنی $p$ درست بوده ولی تالی یعنی $q$ دارای ارزش نادرست باشد (از یک گزارهٔ درست نتیجه‌ای نادرست حاصل شود) و در بقیهٔ موارد ارزش «$p \Rightarrow q$» درست است.

به‌ویژه وقتی که ارزش مقدمِ گزارهٔ شرطی یعنی $p$، نادرست باشد، همواره «$p \Rightarrow q$» دارای ارزش درست بوده و درست یا نادرست بودن $q$ تأثیری در ارزش گزارهٔ «$p \Rightarrow q$» ندارد؛ بنابر این در هر یک از دو حالت مذکور، گزارهٔ شرطی به انتفای مقدم دارای ارزش درست است.

مثال:

1) گزاره‌های «اگر ${3^2} = 6$ آنگاه، 5 اول است» و «اگر 8 فرد است، آنگاه $2 \gt 4$» هر دو به انتفای مقدم درست هستند.

2) گزارهٔ «اگر 17 اول است آنگاه 18 اول است» نادرست است.

3) گزارهٔ «اگر ${2^4} = {4^2}$ آنگاه ${3^2} \gt {2^3}$» درست است.

تذکر: در تعیین ارزش گزاره‌های شرطی، در صورتی که ارزش تالی درست باشد، نمی‌توانیم ایرادی از کل گزارهٔ شرطی بگیریم؛ زیرا نتیجهٔ شرط، درست است و اگر از مقدم ایراد بگیریم، گوینده به راحتی می‌تواند با کلمه «اگر» که روی مقدم بیان می‌شود، ایراد را رفع کند! و چنانچه ارزش تالی نادرست باشد و مقدم نیز دارای ارزش نادرست باشد، درست بودن گزاره $p \Rightarrow q$ فاقد ایراد است. (از بیان گزاره‌ای نادرست به نتیجه‌ای نادرست رسیدن، عجیب نیست!)

4) ترکیب دو شرطی: هرگاه بخواهیم از گزارهٔ $p$، گزاره $q$ را نتیجه بگیریم گزارهٔ $q$، گزارهٔ $p$ را نتیجه بگیریم، از نماد «$ \Leftrightarrow $» استفاده کرده و می‌نویسیم «$p \Leftrightarrow q$» و آن را به‌صورت‌های «$p$ نتیجه می‌دهد $q$ را و $q$ نتیجه می‌دهد $p$ را»، «اگر $p$ آنگاه $q$ و اگر $q$ آنگاه $p$»، «اگر $p$ انگاه $q$ و برعکس»، «$p$ شرط لازم و کافی است برای $q$» و «$p$ اگر و تنها اگر $q$» می‌خوانیم. در واقع گزارهٔ دو شرطی $(p \Leftrightarrow q)$ همان گزارهٔ $\left[ {(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)} \right]$ است.

تذکر: هم ارزش بودنِ دو گزارهٔ $p$ و $q$ را با نماد ${p \equiv q}$ نشان می‌دهیم؛ در این صورت:

$(p \Leftrightarrow q) \equiv \left[ {(p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)} \right]$

بنابراین با توجه به ارزش گزاره‌های شرطی و عطفی ارزش گزاره‌های دو شرطی طبق جدول زیر به‌دست می‌آید.