درسنامه آموزشی فصل دوم ریاضی و آمار (3) کلاس دوازدهم ادبیات و علوم انسانی
درس 2: دنبالههای حسابی
فعالیت (صفحه 61 تا 63 کتاب درسی)
یک قطار باری از ایستگاهی در 60 کیلومتری بندرعباس بارگیری کرده است و مطابق نمودار مکان - زمان زیر با سرعتی ثابت به سمت طبس حرکت میکند.
الف) ضابطهٔ تابع و دامنه و برد آن را بهدست آورید.
ب) اگر راهبر این قطار به دلایلی مانند رعایت سرعت مجاز و امنیت قطار موظف باشد پس از حرکت، مسافت طی شده در هر «یک ساعت» را به مرکز بندرعباس گزارش دهد، این نقاط را به کمک نمودار (1) در نمودار (2) کامل کنید.
ج) ضابطه و دامنه و برد نمودار (2) چه تفاوتی با نمودار (1) دارند؟
د) جدول 1 را به کمک نقشهٔ داده شده کامل کنید.
| نام دو ایستگاه متوالی | مسافت | فاصله تا بندرعباس |
| ایستگاه بارگیری - تزرج | 125 | $60 + 125 = 185$ |
| تزرج - گلگهر | 145 | |
| گلگهر - سیرجان | ||
| سیرجان - میمند | ||
| میمند - بافق | ||
| بافق - جندق | ||
| جندق - طبس |
هـ) با فرض اینکه ${a_n}$ مسافت طی شدهٔ قطار $n$ ساعت پس از ترک ایستگاه بارگیری باشد، جدول 2 را به کمک نمودار (2) کامل کنید.
| $n = 5$ | $n = 4$ | $n = 3$ | $n = 2$ | $n = 1$ |
| ${a_3} = {a_2} + 90$ $ = ..........$ |
${a_2} = {a_1} + 90$ $ = 150 + 90 = 240$ |
${a_1} = 60 + 90 = 50$ | ||
| $n = 10$ | $n = 9$ | $n = 8$ | $n = 7$ | $n = 6$ |
و) با مقایسهٔ جدولهای 1و 2، کدام ایستگاهها محل تماس راهبر قطار بودهاند؟ چرا؟
ز) با توجه به جدول 2، ابتدا تساویهای زیر را کامل کنید.
$\left\{ \begin{gathered}
{a_3} = {a_2} + ............ \hfill \cr
{a_3} = {a_1} + ........ \times 90 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$\left\{ \begin{gathered}
{a_7} = {a_6} + ............ \hfill \cr
{a_7} = {a_1} + ........ \times 90 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$\left\{ \begin{gathered}
{a_{11}} = {a_{10}} + ............ \hfill \cr
{a_{11}} = {a_1} + ........ \times 90 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
$\left\{ \begin{gathered}
{a_8} = {a_2} + ........ \times 90 \hfill \cr
{a_8} = {a_5} + ........ \times 90 \hfill \cr
\end{gathered} \right.$
از روابط بالا میتوان نتیجه گرفت:
${a_n} = {a_1} + (............) \times 90$ (الف
(رابطهٔ بازگشتی) ${a_n} - {a_{n - 1}} = ............$
${a_n} - {a_m} = (............) \times 90$
ح) کدام ویژگی دنباله ${a_n}$ باعث برقراری روابط بالا شده است؟
ط) رابطهٔ (الف) در قسمت «ز» چه ارتباطی با ضابطهٔ تابع بهدست آمده در قسمت «الف» دارد؟
دنبالۀ حسابی
نکتهٔ قابل توجه در دنبالهٔ مطرح شده در فعالیت، یعنی دنبالهٔ «مسافت طی شده در هر گزارش»، این است که افزایش جملات دنباله منظم است؛ به گونهای که براساس هر دو جملهٔ متوالی، جملهٔ بعدی مشخص میشود. چنین دنبالههایی که هر جملهٔ آنها به جز جملهٔ اول، از اضافه شدن یک عدد ثابت به جملهٔ پیشین بهدست میآید، دنبالههای «حسابی» نامیده میشوند.
کار در کلاس (صفحه 64 کتاب درسی)
1) ضابطهٔ بازگشتی دنبالهٔ حسابی با جملهٔ اول ${a_1}$ و اختلاف مشترک $d$ را مشخص کنید.
2) مثبت یا منفی یا صفر بودن «اختلاف مشترک»، $d$، چه تأثیری در جملات دنبالهٔ حسابی دارد؟
3) جدول زیر را کامل کنید.
| ${a_n}$ | پنج جملهٔ اول | اختلاف مشترک | جملهٔ اول |
| $d$ | $a$ | ||
| ${a_n} = 2 + 3(n - 1)$ | $2\,,\,5\,,\,8\,,\,11\,,\,14$ | 3 | 2 |
| $4\,,\,1\,,\, - 2\,,\, - 5\,,\, - 8$ | |||
| $ - \frac{1}{2}$ | 4 | ||
| ${a_n} = - 3 + 5(n - 1)$ |
کار در کلاس (صفحه 64 کتاب درسی)
قنات یا کاریز، راِه آب یا کانالی است که در زیرزمین کنده شده است تا آبی را که از حفر چاه اصلی (نخستین چاه) به نام «مادرچاه» بهدست آمده است، به منطقهای دیگر انتقال دهد. برای حفر کانال، مطابق شکل زیر، از چاههای کمکی به نام «میله» استفاده میکنند. میلهها برای رساندن اکسیژن و نیز کمک به مقنّی در خارج کردن خاکهای حاصل از حفر کانال و بعدها برای کمک به لایروبی و تعمیر قنات حفر میشوند.
در یک منطقه، مقنّی پس از حفر چاه در عمق 30 متری سطح زمین، به آب زیرزمینی دست یافته و در این عمق شروع به حفر کانال قنات کرده است. با توجه به شیب ثابت زمین و حفر چاههای کمکی در فاصلههای یکسان از هم، عمق میلهٔ اول 29/5 متر و میلهٔ دوم 29 متر بوده و به همین ترتیب، عمق میلهها کاهش یافته است. اگر عمق آخرین میله 1/5 متر باشد، این مقنی در مجموع چند چاه حفر کرده است؟
فعالیت (صفحه 66 کتاب درسی)
دنبالهٔ حسابی ${a_n} = 3 + 2(n - 1)$ را در نظر بگیرید.
الف) با محاسبهٔ سه جملهٔ دیگر دنباله، نمودار زیر را کامل کنید.
ب) معادلهٔ خطی را که از دو نقطهٔ اول و دوم میگذرد، بهدست آورید. آیا نقاط دیگر دنباله در ضابطهٔ خط بهدست آمده صدق میکنند؟
ج) شیب خط بهدست آمده چه ارتباطی با $d$ (اختلاف مشترک دنبالهٔ حسابی) دارد؟
کار در کلاس (صفحه 67 کتاب درسی)
جدول زیر را کامل کنید.
| نمودار دنباله | چهار جملۀ اول دنباله | دنبالۀ ساخته شده از تابع | ضابطۀ تابع |
|
|
$1\,,\,3\,,\,5\,,\,7$ | ${a_n} = 2n - 1$ | $y = 2x - 1$ |
|
|
$y = - x + 4$ | ||
|
|
|||
|
|
$ - 2\,,\, - \frac{3}{2}\,,\, - 1\,,\, - \frac{1}{2}$ |
فعالیت (صفحه 68 کتاب درسی)
پس از مصرف بعضی از داروها، مانند آسپرین، سطح دارو در خون با سرعتی ثابت صفر میشود. اگر شخصی که سابقهٔ سکتهٔ قلبی دارد با مصرف یک قرص آسپرین، 250 میلیگرم دارو به بدنش وارد شود و پس از پایان هر یک ساعت 15 میلیگرم دارو در سطح خونش کاهش یابد:
|
|
|
الف) چند ساعت پس از مصرف دارو، سطح آن در بدنش 130 میلیگرم میشود؟
ب) نمودار «سطح دارو در بدن - زمان» مسئلهٔ بالا را رسم کنید.
ج) اگر پس از پنج ساعت از مصرف دارو این شخص قرص دیگری مصرف کند، پس از چند ساعت سطح دارو در بدن او 130 میلیگرم خواهد شد؟
کار در کلاس (صفحه 68 کتاب درسی)
درآمد کارمندی در یک شرکت خصوصی، ماهیانه 2,600,000 تومان است که % 10 آن به عنوان مالیات کسر میشود. اگر این شخص برای هر ساعت اضافه کاری 11 هزار تومان از شرکت دریافت کند و بابت این اضافه کاری مالیات پرداخت نکند، پس از روزانه چند ساعت اضافهکاری دریافتی خالص ماهیانهٔ او 3 میلیون تومان خواهد بود؟ (ماه را 30 روزه در نظر بگیرید.)
با توجه به فرض مسئله مبنی بر دریافت 11 هزار تومان اضافهکاری برای هر یک ساعت کار، میزان دریافتی این شخص پس از $k$ ساعت اضافهکاری از یک دنبالهٔ عددی پیروی میکند. بنابراین، اگر ${a_1}$ میزان دریافتی شخص پس از یک ساعت اضافهکاری باشد، جملهٔ آخر دنباله باید برابر با مبلغ …… تومان باشد؛ یعنی در رابطهٔ
${a_n} = {a_1} + (n - 1)d$
باید ......
مجموع $n$ جملۀ اول یک دنبالۀ حسابی
در فعالیت «محاسبهٔ تعداد چاههای قنات» مشخص شد که قنات موردنظر 58 چاه دارد که عمق آنها دنبالهٔ حسابی $30\,,\,29/5\,,\,29\,,\,...\,,\,1/5$ را تشکیل میدهد. فرض کنید یک مقنّی در هر روز بتواند 2 متر چاه حفر کند. میخواهیم بدانیم این مقنّی به چند روز کار نیاز دارد تا مجموع چاههای گفته شده را حفر کند.
الف) ابتدا باید بدانیم مجموع 58 چاه حفر شده چند متر است.
برای این کار، مجموع عمق چاهها را یک بار از عمیقترین تا کمعمقترین چاه و بار دیگر از کمعمقترین تا عمیقترین چاه با یکدیگر جمع میکنیم:
${S_{58}} = 30\,\,\,\, + \,\,\,\,29/5\,\,\,\, + \,\,\,\,29\,\,\,\, + \,\,\,\,.......\,\,\,\, + \,\,\,\,2/5\,\,\,\, + \,\,\,\,2\,\,\,\, + \,\,\,\,1/5$ : مجموع 58 چاه از مادر چاه تا آخرین میله
${S_{58}} = 1/5\,\,\, + \,\,\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,2/5\,\,\, + \,\,\,.......\,\,\,\,\, + \,\,\,\,\,29\,\, + \,\,\,\,29/5\,\, + \,\,\,30$ : مجموع 58 چاه از آخرین میله تا مادر چاه
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$
$\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2{S_{58}} = 31/5\,\, + \,\,31/5\,\, + \,\,.........\,\, + \,31/5\,\, + \,\,31/5$
$2{S_{58}} = 58 \times 31/5 \Rightarrow {S_{58}} = \frac{{58 \times 31/5}}{2} \Rightarrow {S_{58}} = 913/5m$
ب) با توجه به اینکه مقنّی روزانه 2 متر چاه حفر میکند:
روز $\frac{{913/5}}{2} = 456/75$ = تعداد روز برای پایان کار
بنابراین، مقنّی بدون حتی یک روز استراحت تقریباً به 15 ماه زمان نیاز دارد تا قنات موردنظر را تحویل دهد.
جمع کردن جملات یک دنباله به دو صورت محاسبهٔ مجموع ${a_1}$ تا ${a_n}$ و محاسبهٔ مجموع ${a_n}$ تا ${a_1}$ برای تعیین $S$، روش جالبی است که میتوانیم به کمک آن، مجموع $n$ جملهٔ اول یک دنبالهٔ حسابی را بهدست آوریم:
رابطهٔ بالا را در محاسبهٔ مجموع چاههای حفر شده میتوانیم مشاهده کنیم؛ زیرا:
${S_n} = \frac{n}{2}({a_1} + {a_n}) \Rightarrow {S_{58}} = \frac{{58}}{2}(30 + 1/5) = 913/5$
کار در کلاس (صفحه 70 کتاب درسی)
1) مجموع دنبالههای حسابی زیر را بهدست آورید.
199 و ...... و 9 و 4 و 1- (الف
${a_{n + 1}} = 5 + {a_n}\,\,,\,\,{a_1} = - 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{10}} = ?$ (ب
(راهنمایی: ابتدا به کمک رابطهٔ بازگشتی، جملات دنباله را مشخص کنید.)
2) مجموع سی جملهٔ اول اعداد فرد را بهدست آورید.
${a_1} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_n} = {a_1} + (n - 1)d = ........$
${a_{30}} = ............({a_1} + {a_{30}})$
3) یک طراح داخلی برای یک سالن سینما در ردیف اول 15 صندلی، در ردیف دوم 18 صندلی و در ردیف سوم 21 صندلی مشخص کرده است. اگر صندلیهای هر ردیف با همین نظم اضافه شوند، برای داشتن سالنی با 870 صندلی باید چند ردیف صندلی داشته باشیم؟
با توجه به معلوم بودن ${S_n} = 780$ برای بهدست آوردن $n$ یعنی تعداد ردیفها، از رابطهٔ
${S_n} = \frac{n}{2}(2{a_1} + (n - 1)d)$
با جایگذاری $d = .........$ در رابطهٔ بالا $n = .........$ بهدست میآید.
تمرین (صفحه 71 تا 72 کتاب درسی)
1) با نوشتن جملات رابطههای بازگشتی، مشخص کنید کدام یک دنبالهٔ حسابی است.
${a_{n + 1}} = \frac{1}{{{a_n}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = 2$ (الف
${a_{n + 1}} = {a_n} + 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = - 1$ (ب
${a_{n + 1}} = 5{a_n} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{a_1} = - 1$ (ج
${a_{n + 1}} - {a_n} = n$ (د
2) در یک دنبالهٔ حسابی، جملهٔ اول برابر 5- و اختلاف مشترک برابر 8 است. کدام جملهٔ دنباله برابر 555 است؟
3) یازدهمین جملهٔ یک دنبالهٔ حسابی 52 و جملهٔ نوزدهم آن 92 است. جملهٔ سیاُم این دنباله را مشخص کنید.
4) برای کاهش مصرف آب در کشاورزی یک منطقه، از آبیاری قطرهای استفاده میشود؛ به این صورت که یک میله که در آن سوراخهایی برای پخش آب تعبیه شده است، به کمک چرخهایی (مطابق شکل زیر) حول یک محور میچرخد. اگر فاصلهٔ اولین چرخ تا موتور 3 متر و بعد از آن، فاصلهٔ هر چرخ تا چرخ بعدی 5 متر باشد و در کل، 12 چرخ روی میله قرار داشته باشد، با این وسیله چه مساحتی آبیاری میشود؟ (آخرین چرخ دقیقاً در انتهای میله قرار دارد.)
5) در یک کارخانهٔ سنگ بری برای صیقل دادن سنگها از یک صفحه به وزن 12500 گرم استفاده میشود. اگر با توجه به مصرف هفتگی بهطور میانگین 1875 گرم از وزن صفحه کم شود، پس از شش هفته استفادهٔ مداوم وزن صفحه چقدر است؟
6) میان دو عدد $a$ و $b$، $n$ عدد را به گونهای قرار میدهیم که جملات دنباله از $a$ تا $b$ یک دنبالهٔ حسابی تشکیل دهند. ثابت کنید اختلاف مشترک جملات دنباله از رابطهٔ $d = \frac{{b - a}}{{n + 1}}$ بهدست میآید. (توجه داشته باشید که تعداد کل جملات ($n + 2$) جمله است.)
7) براساس رابطهٔ بهدست آمده در مسئلهٔ 6، سه عدد را به گونهای میان اعداد 10 و 18 قرار دهید که یک دنبالهٔ حسابی تشکیل دهند.
8) مجموع عددهای زیر را بهدست آورید.
401 و ..... و 9 و 5 و 1 (الف
13 و ..... و 81 و 85 و 89 (ب
9) باغداران برای چیدن میوهها از نردبانهایی استفاده میکنند که بخشی از آنها که روی زمین قرار میگیرد، برای تعادل بیشتر، عرض بیشتری دارد و انتهای نردبان که به درخت تکیه داده میشود، برای جابهجایی آسان تر و تکیهگاه بهتر، عرض کمتری دارد.
اگر عرض نخستین پلهٔ این نردبان 125 سانتیمتر و عرض آخرین پلهٔ آن 45 سانتیمتر در نظر گرفته شود و هر پله 10 سانتیمتر کوتاه تر از پلهٔ پیشین باشد، این نردبان چند پله خواهد داشت؟ برای ساخت پلهها به چند متر چوب احتیاج خواهیم داشت؟
10) ارزش امروزی قنات زارچ، طولانیترین قنات ایران - عمق مادرچاه قنات زارچ 84/6 متر است که از آن سه شاخه قنات خارج شده است. اگر تعداد میلههای هر سه شاخه قنات برابر و عمق پنجاه و ششمین چاه (میلهٔ 55ام) 78 متر باشد، با فرض اینکه شیب زمین ثابت و فاصلهٔ میان هر دو میله یکسان باشد و عمق آخرین چاه قنات (میله) 120 سانتیمتر درنظر گرفته شود:
الف) هر شاخه قنات دارای چند میله است؟
ب) مجموع طول چاههای حفرشده در این مسیر چقدر است؟ مجموع طول چاههای حفرشده در کل قنات چقدر است؟
ج) اگر میانگین هزینهٔ حفر یک متر چاه (شامل حفر، مصالح و دیوارچینی) 250 هزار تومان باشد، هزینهٔ حفر چاههای قنات در حال حاضر چقدر است؟
د) طبق محاسبات مهندسی، در قنات زارچ در مجموع طول کل کانال قنات 71 کیلومتر است. با توجه به میانگین هزینهٔ 350 هزار تومان برای حفر کانال قنات، ارزش کل قنات زارچ چقدر است؟ (راهنمایی: ${a_n}$ را عمق چاه $n$اُم تا کانال قنات و ${a_1}$ را عمق مادر چاه در نظر بگیرید.)
پاسخ:
الف) 696 چاه شامل یک مادرچاه و 695 میله
ب) مجموع طول چاهها در یک مسیر 29858/4 متر و مجموع طول چاهها در کل قنات 89406 متر
ج) 22351500000 تومان
د) 47201500000 تومان