درسنامه آموزشی فصل اول ریاضی (3) کلاس دوازدهم علوم تجربی

در سال گذشته با اعمال جبری روی توابع آشنا شدیم، در این درس می‌خواهیم مفهوم ترکیب توابع را بررسی کنیم.

همان‌طور که دیدیم، می‌توان با داشتن زمان، دمای غذا را به‌دست آورد و با داشتن دما، تعداد باکتری‌ها قابل محاسبه است.

آیا به نظر شما می‌توان با داشتن زمان و بدون داشتن دما، تعداد باکتری‌ها را به‌دست آورد؟

به بیان دیگر آیا می‌توان تابعی ساخت که $n$ را برحسب $t$ مشخص کند؟

برای به‌دست آوردن چنین تابعی به‌صورت زیر عمل می‌کنیم:

$n\left( {d(t)} \right) = n(4t + 2) = 20{(4t + 2)^2} - 80(4t + 2) + 500 = .......... = 320{t^2} + 420\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,0 \leqslant t \leqslant 3$

$n\left( {d(t)} \right)$ تعداد باکتری‌های موجود در غذای یخچالی را نشان می‌دهد که به میزان $t$ ساعت از یخچال بیرون مانده است.

اگر $f$ و $g$ دو تابع باشند به‌طوری که برد تابع $f$ و دامنهٔ تابع $g$ اشتراک ناتهی داشته باشند، تابع $g\left( {f(x)} \right)$ را با نماد $(gof)(x)$ نمایش می‌دهیم و تابع $gof$ را تابع مرکب می‌نامیم، به عبارت دیگر:

$(gof)(x) = g\left( {f(x)} \right)$

بنابراین دامنهٔ تابع $gof$ را می‌توان به‌صورت زیر نوشت:

${D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}|f(x) \in {D_g}} \right\}$

به‌صورت مشابه دامنهٔ تابع $fog$ به‌صورت زیر است:

${D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}|g(x) \in {D_f}} \right\}$

و همچنین:

$(fog)(x) = f\left( {g(x)} \right)$

مثال: اگر $g = \left\{ {(1,2),(3, - 1),(2,0),( - 1,4),(5, - 7)} \right\}$ و $f = \left\{ {(0, - 1),(5,2),(3,5),( - 2,4)} \right\}$، تابع $gof$ را در صورت امکان بنویسید.

$\left. \begin{gathered}
  (gof)(0) = g\left( {f(0)} \right) = g( - 1) = 4 \hfill \\
  (gof)(5) = g\left( {f(5)} \right) = g(2) = 0 \hfill \\
  (gof)(3) = g\left( {f(3)} \right) = g(5) =  - 7 \hfill \\
  (gof)( - 2) = g\left( {f( - 2)} \right) = g(4) \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \to gof = \left\{ {(0,4),(5,0),(3, - 7)} \right\}$

مثال: اگر $f(x) = x - 2$ و $g(x) = {x^2} - 1$، دامنهٔ و ضابطهٔ تابع $gof$ را به‌دست آورید.

${D_f} = \mathbb{R},{D_g} = \mathbb{R},{D_{gof}} = $
$\left\{ {x \in {D_f}|f(x) \in {D_g}} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|(x - 2) \in \mathbb{R}} \right\} = \mathbb{R}$

$(gof)(x) = g\left( {f(x)} \right) = {\left( {f(x)} \right)^2} - 1 = {(x - 2)^2} - 1$

مثال: اگر $g(x) = 2{x^2} - 1\,,\,f(x) = \sqrt {x - 1} $، دامنه و ضابطهٔ توابع $fog$ و $gof$ را به‌دست آورید.

${D_f} = \left[ {1, + \infty } \right),{D_g} = \mathbb{R}$

${D_{gof}} = \left\{ {x \in {D_f}|f(x) \in {D_g}} \right\} = \left\{ {x \in \left[ {1, + \infty } \right)|\sqrt {x - 1}  \in \mathbb{R}} \right\} = \left[ {1, + \infty } \right)$

عبارت $\sqrt {x - 1}  \in \mathbb{R}$ به این معنی است که $\sqrt {x - 1} $ در اعداد حقیقی با معنی باشد یعنی $x - 1 \geqslant 0$ که بازهٔ $\left[ {1, + \infty } \right)$ به‌دست می‌آید.

$(gof)(x) = g\left( {f(x)} \right) = 2{\left( {f(x)} \right)^2} - 1 = $
$2{(\sqrt {x - 1} )^2} - 1 = 2(x - 1) - 1 = 2x - 3$

${D_{fog}} = \left\{ {x \in {D_g}|g(x) \in {D_f}} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - 1 \in \left[ {1, + \infty } \right)} \right\}$

عبارت $2{x^2} - 1 \in \left[ {1, + \infty } \right)$ به این معنی است که عبارت $2{x^2} - 1$ متعلق به بازهٔ $\left[ {1, + \infty } \right)$ باشد، یعنی $2{x^2} - 1 \geqslant 1$، بنابراین:

${D_{fog}} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|2{x^2} - 1 \geqslant 1} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} \geqslant 1} \right\} = \left( { - \infty , - 1} \right] \cup \left[ {1, + \infty } \right)$

$(fog)(x) = f\left( {g(x)} \right) = \sqrt {g(x) - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 1 - 1}  = \sqrt {2{x^2} - 2} $

اگر دامنه و ضابطهٔ توابع $gof$ و $fog$ را با هم مقایسه کنید چه نتیجه‌ای می‌گیرید؟

تذکر: دامنهٔ توابع مرکب را همیشه با توجه به تعاریف آن به‌دست می‌آوریم نه از روی ضابطهٔ آن. مثلاً در اینجا می‌بینیم که دامنهٔ تابع $gof$ با توجه به ضابطهٔ آن $\mathbb{R}$ است در صورتی که برابر $\left[ {1, + \infty } \right)$ است.

«تبدیل نمودار توابع»

یادآوری: همان‌طور که در پایهٔ یازدهم دیدیم برای رسم نمودار تابع با ضابطهٔ $y = kf(x)$ کافی است عرض هر نقطه از نمودار تابع با ضابطهٔ $y = f(x)$ را با حفظ طول آن نقطه، $k$ برابر کنیم.

مثال: در شکل زیر نمودار تابع $f$ و با کمک آن نمودار توابع $y = \frac{1}{2}f(x)$، $y =  - f(x)$ و $y = 2f(x)$ رسم شده است.

از آنجایی که ریشه‌های معادلهٔ $f(x) = 0$ و $kf(x) = 0$ یکسان است بنابراین محل تلاقی نمودار توابع $f$ و $kf$ با محور $x$ها یکسان است.

رسم نمودار $\left| f \right|$:

برای رسم نمودار $y = \left| {f(x)} \right|$ کافی است نمودار $f = (x)$ را رسم کنیم و در قسمت‌هایی که نمودار $f$ زیر محور $x$هاست، قرینهٔ نمودار $f$ را نسبت به محور $x$ها رسم کنیم.

مثال: در شکل زیر نمودار تابع $y = \left| {{x^2} - 1} \right|$ رسم شده است.

رسم نمودار $f(kx)$ با استفاده از نمودار $f(x)$:

مثال: تابع $f(x) = x + 3$ را با دامنه $\left[ { - 4,0} \right]$ در نظر می‌گیریم و چگونگی رسم نمودار توابع $y = f(2x)$ و $y = f(\frac{x}{2})$ را بررسی می‌کنیم. ضابطهٔ تابع $y = f(2x)$ به‌صورت $f(2x) = 2x + 3$ است و دامنهٔ آن به شکل زیر مشخص می‌شود:

$:D = \left[ { - 2,0} \right]$ دامنهٔ $ - 4 \leqslant 2x \leqslant 0 \to  - 2 \leqslant x \leqslant 0 \to f(2x)$

همچنین ضابطهٔ تابع $y = f(\frac{x}{2})$ به‌صورت $f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2} + 3$ است و دامنهٔ آن به شکل زیر مشخص می شود:

$:D = \left[ { - 8,0} \right]$ دامنهٔ $ - 4 \leqslant \frac{x}{2} \leqslant 0 \to  - 8 \leqslant x \leqslant 0 \to f(\frac{x}{2})$

برخی از نقاط نمودار این سه تابع در جدول‌های زیر نوشته شده است:

0	1-	2-	3-	4-	$x$
3	2	1	0	1-	$f(x) = x + 3$

0	0/5-	1-	1/5-	2-	$x$
3	2	1	0	1-	$f(2x) = 2x + 3$

0	2-	4-	6-	8-	$x$
3	2	1	0	1-	$f(\frac{x}{2}) = \frac{x}{2} + 3$

همان‌طور که ملاحظه می‌شود برد توابع $f(2x)$ و $f(\frac{x}{2})$ با برد تابع $f(x)$ یکسان است.

مثال: در شکل‌های زیر نمودار توابع $y = \sin x$ و $y = \sin 2x$ و $y = \sin \frac{x}{2}$ در بازهٔ $\left[ { - 2\pi ,2\pi } \right]$ رسم شده‌اند. همان‌طور که می‌بینیم نمودار تابع $y = \sin 2x$ با انقباض نمودار تابع $y = \sin x$ در امتداد محور $x$ها و نمودار تابع $y = \sin \frac{x}{2}$ با انبساط نمودار تابع $y = \sin x$ در امتداد محور $x$ها به‌دست آمده است.

همان‌طور که ملاحظه شد برای رسم نمودار $y = f(2x)$ طول هر نقطهٔ نمودار $y = f(x)$ را در $\frac{1}{2}$ و برای رسم نمودار $y = f(\frac{1}{2}x)$ طول هر نقطه را در 2 ضرب می‌کنیم.