درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی

احتمال شرطی و پیشامدهای مستقل

در سال‌های قبل با مفاهیم زیر از احتمال آشنا شدید.

احتمال شرطی

فرض کنیم در یک قرعه‌کشی اعداد 1 تا 20 به بیست نفر اختصاص داده شده‌اند و قرار است یک شماره به تصادف انتخاب و به‌عنوان برنده اعلام شود. اگر شمارهٔ 8 به‌دست شما افتاده باشد، با چه احتمالی شما برنده خواهید شد؟

اگر بدانید که یک شمارهٔ یک رقمی انتخاب خواهد شد، با چه احتمالی برنده خواهید شد؟

گاهی اوقات وقوع یک پیشامد بر احتمال وقوع پیشامدی دیگر تأثیر می‌گذارد. مثلاً احتمال برنده شدن شما با دانستن اینکه شمارهٔ انتخابی، یک رقمی است، متفاوت خواهد بود از حالتی که این موضوع را ندانیم. در واقع احتمال اول را احتمال برنده شدن شما و احتمال دوم را احتمال برنده شدن شما به‌شرطی که شمارهٔ انتخاب شده یک رقمی باشد، می‌خوانیم.

می‌دانیم که:

نسبت تعداد حالت‌های مطلوب به تعداد همه‌ٔ حالت‌های ممکن = احتمال رخ دادن یک پیشامد

حال با توجه به اینکه در $P(A|B)$ پیش فرض رخ دادن پیشامد $B$ در نظر گرفته شده است، در صورت و مخرج کسر بالا خواهیم داشت :

1- حالت‌های مطلوب، همهٔ حالت‌هایی است که $A$ رخ دهد، در حالی که $B$ رخ داده است؛ یعنی همهٔ حالت‌هایی که هم $A$ و هم $B$ رخ دهد، یا به عبارتی این تعداد برابر است با $n(A \cap B)$.
2- همهٔ حالت‌های ممکن در اینجا برابر همهٔ حالت‌هایی است که در آنها $B$ رخ داده باشد. به عبارتی این تعداد برابر با $n(B)$ است.

بنابراین داریم:

$P(A|B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}}$

که با تقسیم صورت و مخرج این عبارت به $n(S)$ این رابطه به‌صورت زیر بیان می‌شود:

$(1)\,\,\,\,\,\,P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$

توجه: شرط محاسبهٔ احتمال پیشامد $A$ به شرط وقوع پیشامد $B$ آن است که $P(B) \ne 0$. بنابراین اگر $P(B) = 0$، آنگاه $P(A|B)$ قابل تعریف نیست.

مثال: اعداد 1 تا 9 را روی نُه کارت می‌نویسیم و سه کارت را به تصادف انتخاب می‌کنیم. مطلوب است احتمال اینکه هر سه عدد زوج باشند به شرط اینکه مجموع آنها زوج باشد.

حل: برای اینکه مجموع سه عدد زوج باشند یا هر سه باید زوج باشند و یا اینکه دو عدد فرد و یکی زوج باشند. اما اعداد زوج چهار تا و اعداد فرد پنج تا هستند.

$:A$ پیشامد اینکه هر سه عدد زوج باشند.
$:B$ پیشامد اینکه مجموع اعداد سه کارت زوج باشند.

لذا تعداد حالت‌هایی که هر سه عدد زوج باشند برابر است با $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  4 \\ 
  3 
\end{array}} \right) = 4$ و تعداد حالت‌هایی که دو عدد فرد و یکی زوج باشند، برابر است با $\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  5 \\ 
  2 
\end{array}} \right) \times \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
  4 \\ 
  1 
\end{array}} \right) = 40$. بنابراین 44 حالت هست که مجموع سه عدد زوج باشند و در 4 حالت آن هر سه عدد زوج‌اند. پس:

$P(A|B) = \frac{{n(A \cap B)}}{{n(B)}} = \frac{4}{{44}} = \frac{1}{{11}}$

مثال: فرض کنید احتمال اینکه یک تیم فوتبال اصلی‌ترین رقیبش را ببرد، $\frac{1}{6}$ باشد. احتمال قهرمانی این تیم در حال حاضر $\frac{1}{4}$ و در صورتی که اصلی‌ترین رقیبش را ببرد، این احتمال به $\frac{1}{3}$ افزایش خواهد یافت. با چه احتمالی حداقل یکی از دو اتفاقِ «قهرمان شدن» یا «بردن اصلی‌ترین رقیب» برای این تیم اتفاق خواهد افتاد؟

پیشامد قهرمان شدن $A:$

$P(A|B) = \frac{1}{3}$ و $P(B) = \frac{1}{6}$ و $P(A) = \frac{1}{4}$ و

پیشامد برد اصلی‌ترین رقیب $B:$

حل: هدف محاسبهٔ $P(A \cup B)$ است و برای آن داریم:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

حال با توجه به رابطهٔ (1) داریم:

$P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B) = \frac{1}{{18}}$

و با جای‌گذاری مقادیر داریم:

$P(A \cup B) = \frac{{13}}{{36}}$

پیشامدهای مستقل

در مثال‌های قبل دیدیم که برخی پیشامدها بر احتمال وقوع پیشامدهای دیگر تأثیر می‌گذارند، ولی برخی پیشامدها بر احتمال وقوع یکدیگر تأثیری ندارند.

به‌عبارتی در این صورت وقوع $B$، احتمال وقوع $A$ را کم یا زیاد نمی‌کند. در واقع احتمال وقوع $A$ با شرط رخ‌دادن $B$ و بدون این شرط یکسان است. یعنی پیشامد $A$ از $B$ مستقل است، هرگاه $\left( {P(B) \ne 0} \right)\,\,\,\,\,\,\,P(A|B) = P(A)$. اما از آنجا که داریم $P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}$/، پس:

از این رابطه به وضوح نتیجه می‌شود که اگر $A$ نسبت $B$ مستقل باشد، $B$ نیز نسبت به $A$ مستقل است. لذا می‌توان گفت:

بنابراین دو پیشامد $A$ و $B$ مستقل نیستند اگر و تنها اگر

$P(A \cap B) \ne P(A)P(B)$

حال این سؤال مطرح می‌شود که آیا استقلال یا عدم استقلال دو پیشامد را همیشه می‌توان به‌طور شهودی تشخیص داد یا اینکه چه وقت باید از رابطهٔ ٭ برای تشخیص استقلال دو پیشامد استفاده کرد.

مثال: یک سکه و یک تاس را پرتاب می‌کنیم. این احتمال را که سکه پشت و تاس عددی زوج بیاید، محاسبه کنید.

حل: فرض کنیم

پیشامد رو شدن عددی زوج در پرتاب تاس $A:$
پیشامد پشت آمدن سکه $B:$

طبق آنچه گفته شد به سادگی دیده می‌شود که وقوع پیشامد $B$ بر $P(A)$ تأثیر نمی‌گذارد. بنابراین پیشامدهای $A$ و $B$ از هم مستقل‌اند و داریم:

$P(A \cap B) = P(A).P(B) = \frac{3}{6} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

مثال: خانواده‌ای دارای دو فرزند است. مطلوب است احتمال اینکه هر دو فرزند آنها پسر باشند.

حل: جنسیت فرزندان پیشامدهایی از هم مستقل‌اند، بنابراین می‌توان به‌صورت زیر عمل کرد.

$:A$ پیشامد پسر بودن فرزند اول
$:B$ پیشامد پسر بودن فرزند دوم

$ = P(A \cap B) = P(A).P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ احتمال پسر بودن هر دو

مثال: فرض کنید در یک سال احتمال قهرمانی تیم ملی فوتبال ایران در آسیا برابر 0/5 و احتمال قهرمانی تیم ملی والیبال ایران در آسیا برابر 0/8 باشد. با چه احتمالی حداقل یکی از این تیم‌ها قهرمان خواهد شد؟

حل:

$ \to P(A) = 0/5$ پیشامد قهرمانی تیم ملی فوتبال ایران $A:$
$ \to P(B) = 0/8$ پیشامد قهرمانی تیم ملی والیبال ایران $B:$

به وضوح دیده می‌شود که $A$ و $B$ از هم مستقل‌اند، پس $P(A \cap B) = P(A).P(B) = 0/4$ اما با توجه به نحوهٔ انتخاب $A$ و $B$، پیشامد قهرمانی حداقل یکی از آنها به‌صورت $A \cup B$ است و داریم:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0/5 + 0/8 - 0/4 = 0/9$

در مثال‌های قبل استقلالِ دو پیشامد به سادگی تشخیص داده شد و از آن در حل مسئله استفاده شد. اما آیا همیشه تشخیص مستقل یا وابسته بودن دو پیشامد به همین آسانی است؟

برای توضیح بیشتر به دو مثال بعد توجه کنید.

مثال: دو تاس را به ترتیب پرتاب می‌کنیم. مطلوب است محاسبهٔ احتمال اینکه:

الف) مجموع عددهای رو شده برابر 5 شود.
ب) مجموع عددهای رو شده برابر 7 شود.
پ) مجموع عددهای رو شده برابر 10 شود.

حل: با توجه به اصل ضرب می دانیم که در پرتاب دو تاس 36 حالت وجود دارد. $\left( {n(S) = 36} \right)$

الف) تمام حالت‌هایی که مجموع عددهای رو شده 5 شود به‌صورت زیر است:

$\left\{ {(1,4)\,,\,(4,1)\,,\,(2,3)\,,\,(3,2)} \right\}$

بنابراین احتمال اینکه مجموع عددهای رو شده برابر 5 شود، برابر است با: $\frac{4}{{36}} = \frac{1}{9}$.

ب) تمام حالت‌هایی که مجموع عددهای رو شده برابر 7 شود، به‌صورت زیر است:

$\left\{ {(1,6)\,,\,(6,1)\,,\,(2,5)\,,\,(5,2)\,,\,(3,4)\,,\,(4,3)} \right\}$

بنابراین احتمال اینکه مجموع عددهای رو شده برابر 7 شود، برابر است با: $\frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

پ) تمام حالت‌هایی که مجموع عددهای رو شده برابر 10 می‌شود، به‌صورت زیر است:

$\left\{ {(4,6)\,,\,(6,4)\,,\,(5,5)} \right\}$

بنابراین احتمال اینکه مجموع دو تاس برابر 10 شود برابر است با: $\frac{3}{{36}} = \frac{1}{{12}}$.

اگر پیشامد $B$ را رو شدن عدد 2 در پرتاب تاس اول در نظر بگیریم، بررسی می‌کنیم که این پیشامد نسبت به هر یک از پیشامدهای مطرح شده در قسمت‌های (الف) و (ب) و (پ) از مثال قبل مستقل است یا نه.

مثال: دو تاس را به ترتیب پرتاب می‌کنیم.

الف) آیا پیشامد اینکه مجموع دو تاس 5 شود (پیشامد $A$) و پیشامد اینکه در پرتاب اولین تاس عدد 2 ظاهر شود (پیشامد $B$)، مستقل از یکدیگرند؟
ب) آیا پیشامد اینکه مجموع دو تاس 7 شود (پیشامد $A$) و پیشامد اینکه در پرتاب اولین تاس عدد 2 ظاهر شود (پیشامد $B$)، مستقل از یکدیگرند؟
پ) آیا پیشامد اینکه مجموع دو تاس 10 شود (پیشامد $A$) و پیشامد اینکه در پرتاب اولین تاس عدد 2 ظاهر شود (پیشامد $B$)، مستقل از یکدیگرند؟

حل: در این مثال از آنجا که پیش‌فرض رو شدن عدد 2 در پرتاب تاس اول مفروض است، تمام حالات ممکن به‌صورت زیر خواهد بود و 6 عضو دارد.

$B = \left\{ {(2,1)\,,\,(2,2)\,,\,(2,3)\,,\,(2,4)\,,\,(2,5)\,,\,(2,6)} \right\}$

حال در هر حالت می‌خواهیم صحت رابطهٔ $P(A|B) = P(A)$ را بررسی کنیم. برای هر سه قسمت، $P(A)$ را در اولین مثال این درس محاسبه کردیم. کافی است $P(A|B)$ را در هر سه قسمت به‌دست آوریم.

الف) در این صورت تنها حالتی که مجموع 5 است، حالت $(2,3)$ است. پس احتمال اینکه مجموع 5 ظاهر شود، برابر $\frac{1}{6}$ است. بنابراین وقوع پیشامد $B$ احتمال وقوع پیشامد $A$ را از $\frac{1}{9}$ به $\frac{1}{6}$ افزایش می‌دهد. لذا در این حالت $A$ و $B$ مستقل نیستند.

ب) در این صورت تنها حالتی که مجموع 7 است، حالت $(2,5)$ است. پس احتمال اینکه مجموع 7 ظاهر شود، برابر $\frac{1}{6}$ است. بنابراین وقوع پیشامد $B$ احتمال وقوع پیشامد $A$ را تغییر نداده است. بنابراین در این حالت $A$ و $B$ مستقل از یکدیگرند.

پ) در صورتی که عدد رو شده در تاس اول 2 باشد، در هیچ حالتی مجموع دو تاس 10 نمی‌شود. بنابراین در این حالت احتمال اینکه مجموع دو تاس برابر 10 شود، صفر است. لذا در این حالت وقوع پیشامد $B$ احتمال وقوع پیشامد $A$ را از $\frac{1}{{12}}$ به صفر کاهش داده است.

پس در این حالت $A$ و $B$ مستقل نیستند.