درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 3: توابع مثلثاتی
توابعی نظیر تابع سینوس با ضابطهٔ $y=\sin x$ و تابع کسینوس با ضابطهٔ $y=\cos x$ نمونههایی از توابع مثلثاتیاند که در این درس با نمودار آنها آشنا میشوید.
رسم تابع سینوس
فعالیت (صفحه 88 تا 90 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
مجموعهٔ زوجهای مرتب حاصل در جدول زیر یک تابع بهصورت زیر مشخص میکند.
| مختصات نقطه | $y=\sin x$ | $x$ |
| (0.0) ..... ..... ..... ..... |
0 ..... ..... ..... ..... |
0 - $\frac{\pi }{2}$ $\frac{5\pi }{6}$ $\pi $ |
$f=\left\{ (0\,,\,0)\,,\,(\frac{\pi }{6}\,,\,....)\,,\,(....\,\,,\,....)\,,\,(....\,,\,....)\,,(....\,,\,....) \right\}$
2) نقاط حاصل در جدول بالا را در شکل زیر مشخص کنید.
3) با افزودن نقاط $(\frac{\pi }{4}\,,\,\frac{\sqrt{2}}{2})$، $(\frac{\pi }{3}\,,\,....)$، $(\frac{2\pi }{3}\,,\,\frac{\sqrt{3}}{2})$ و $(\frac{3\pi }{4}\,,\,....)$ به جدول بالا، شکل زیر بهدست میآید.
4) نقاط حاصل در شکل را به ترتیب به یکدیگر وصل میکنیم تا شکل زیر بهدست بیاید. با افزودن تعداد نقاط جدول فوق در بازه $\left[ 0\,,\,\pi \right]$ این شکل بهطور دقیقتری بهدست میآید. شکل حاصل نمودار تابع سینوس با ضابطهٔ $y=\sin x$ را در این بازه مشخص میکند.
5) مراحل بالا را برای رسم نمودار تابع سینوس در بازهٔ $\left[ \pi \,,\,2\pi \right]$ انجام دهید. برای این کار ابتدا جدول زیر را کامل کنید؛ سپس نقاط بهدست آمده در جدول را در صفحه مختصات مطابق شکل زیر مشخص و آنها را به ترتیب به یکدیگر وصل کنید.
| مختصات نقطه | $y=\sin x$ | $x$ |
| $(\pi \,,\,0)$ .... .... .... .... |
0 .... .... $\frac{-1}{2}$ .... |
$\pi $ $\frac{7\pi }{6}$ $\frac{3\pi }{2}$ $\frac{11\pi }{6}$ $2\pi $ |
6) با توجه به شکلهای فوق، نمودار تابع با ضابطه $y=\sin x$ در بازه $\left[ 0\,,\,2\pi \right]$ در شکل زیر رسم شده است. حال با توجه به این شکل جدول زیر را دربارهٔ مقدار این تابع در هر بازه تکمیل کنید.
| $\left[ \frac{3\pi }{2}\,,\,2\pi \right]$ | $\left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right]$ | $\left[ \frac{\pi }{2}\,,\,\pi \right]$ | $\left[ 0\,,\,\frac{\pi }{2} \right]$ |
| مقدار تابع سینوس از 0 به 1 افزایش مییابد. | |||
| مقدار تابع سینوس در ربع اول مثبت است. |
7) با توجه به رابطهٔ $\sin (x+2k\pi )=\sin x$، $k\in \mathbb{Z}$، که در درس قبل آشنا شدید میتوان گفت:
$\sin (x+2\pi )=\sin x$
یعنی مقدار تابع سینوس با اضافه کردن $2\pi $ رادیان به کمان آن تغییری نمیکند. بنابراین نمودار تابع سینوس در بازههای $\left[ 0\,,\,2\pi \right]$ و $\left[ 2\pi \,,\,4\pi \right]$ یکسان است.
همچنین داریم:
$\sin (x-2\pi )=\sin x$
یعنی مقدار تابع سینوس با کم کردن $2\pi $ رادیان از کمان آن تغییری نمیکند. در نتیجه نمودار تابع سینوس در بازههای $\left[ {0,2\pi } \right]$ و .......... یکسان است. در حالت کلی چون مقدار تابع سینوس با اضافه یا کم کردن مضارب زوج $\pi $ رادیان به کمان آن تغییر نمیکند، نمودار تابع سینوس در بازههای $\left[ 2k\pi \,\,,\,\,(2k+2)\pi \right]$، $k\in \mathbb{Z}$، یکسان است. به این ترتیب منحنی این تابع که در بازه $\left[ {0,2\pi } \right]$ رسم شده در بازههای $\left[ 2\pi \,,\,4\pi \right]$، $\left[ 4\pi ,\,.... \right]$، $\left[ -2\pi ,.... \right]$، $\left[ -4\pi ,.... \right]$ تکرار می شود.
در شکل زیر نمودار تابع سینوس در 2 تکرار رسم شده است. این نمودار را برای 4 تکرار کامل کنید.
8) با توجه به شکل بالا جاهای خالی را دربارهٔ ویژگیهای تابع سینوس با ضابطهٔ $y=\sin x$ کامل کنید.
الف- دامنهٔ تابع سینوس .......... و برد آن .......... است.
ب- مقدار تابع سینوس در طولهای $x=k\pi $، $k\in \mathbb{Z}$، برابر .......... است.
پ- حداکثر مقدار تابع سینوس برابر با .......... است که در نقاطی به طولهای $x=\frac{\pi }{2}$، $x=.....$، $x=.....$، $x=.....$ و در حالت کلی $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi $، $k\in \mathbb{Z}$، بهدست میآید.
ت- حداقل مقدار تابع سینوس برابر با .......... است که در نقاطی به طولهای $x=\frac{3\pi }{2}$، $x=.....$، $x=.....$، $x=.....$ و در حالت کلی $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi $، $k\in \mathbb{Z}$ بهدست میآید.
کار در کلاس (صفحه 90 کتاب درسی)
هر یک از توابع با ضابطههای داده شده دارای کدام نمودار است؟
$y=2\sin x$ (1
$y=\sin (x-\frac{\pi }{2})$ (2
$y=\sin x+1$ (3
$y=-\sin x+1$ (4
رسم تابع کسینوس
فعالیت (صفحه 91 تا 93 کتاب درسی)
1) جدول زیر را کامل کنید.
| مختصات نقطه | $y=\cos x$ | $x$ |
| (0,1) | 1 | 0 |
| $(\frac{\pi }{4}\,\,,\,\,0/7)$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}\simeq 0/7$ | $\frac{\pi }{4}$ |
| ....... | ....... | $\frac{\pi }{2}$ |
| ....... | ....... | $\frac{3\pi }{4}$ |
| ....... | ....... | $\pi $ |
به این ترتیب مجموعه زوجهای مرتب زیر بهدست می آید.
$f=\left\{ (0\,,\,1)\,,\,(.....\,,\,.....)\,,\,(.....\,,\,.....)\,,\,(.....\,,\,.....)\,,\,(.....\,,\,.....) \right\}$
آیا این مجموعه یک تابع را مشخص میکند؟
2) نقاط جدول بالا را در این شکل زیر مشخص کنید.
3) نقاط به طولهای $x=\frac{\pi }{6}\,,\,\frac{\pi }{3}\,,\,\frac{2\pi }{3}\,,\,\frac{5\pi }{6}$ را به جدول بالا اضافه کنید تا شکل زیر به دست آید. ($\sqrt{3}\simeq 1/7$)
| $\frac{5\pi }{6}$ | $\frac{2\pi }{3}$ | $\frac{\pi }{3}$ | $\frac{\pi }{6}$ | $x$ |
| ..... | $\frac{-1}{2}$ | ..... | ..... | $y=\cos x$ |
4) نقاط شکل بالا را به ترتیب به یکدیگر وصل میکنیم تا شکل مقابل بهدست آید. این شکل نمودار تابع کسینوس با ضابطه $y=\cos x$ را در بازهٔ $\left[ 0\,,\,\pi \right]$ مشخص میکند.
5) جدول زیر را کامل کنید تا نمودار تابع کسینوس در بازهٔ $\left[ \pi ,\,2\pi \right]$ بهصورت شکل زیر بهدست آید.
| $2\pi $ | $\frac{7\pi }{4}$ | $\frac{3\pi }{2}$ | $\frac{5\pi }{4}$ | $\pi $ | $x$ |
| 1 | ..... | ..... | ..... | 1- | $y$ |
6) با توجه به مراحل بالا نمودار تابع کسینوس با ضابطهٔ $y=\cos x$ در بازهٔ $\left[ 0\,,\,2\pi \right]$ در شکل زیر رسم شده است. با توجه به این شکل جدول زیر را کامل کنید.
| $\left[ \frac{3\pi }{2}\,,\,2\pi \right]$ | $\left[ \pi ,\frac{3\pi }{2} \right]$ | $\left[ \frac{\pi }{2},\pi \right]$ | $\left[ 0\,,\,\frac{\pi }{2} \right]$ |
| مقدار تابع کسینوس از 1 به 0 کاهش مییابد. | |||
| مقدار تابع کسینوس در ربع اول مثبت است. |
7) تابع کسینوس دارای نمودار یکسانی در بازههای $\left[ 0\,,\,2\pi \right]$، $\left[ 2\pi \,,\,4\pi \right]$، $\left[ -2\pi \,,\,0 \right]$ و $\left[ -4\pi \,,\,-2\pi \right]$ است. در شکل زیر نمودار تابع کسینوس در بازهٔ $\left[ 0\,,\,4\pi \right]$ رسم شده است. شکل را کامل کنید.
8) با توجه به شکل صفحهٔ قبل جاهای خالی را در خصوص ویژگیهای تابع با ضابطهٔ $y=\cos x$ کامل کنید.
الف- دامنهٔ تابع کسینوس .......... و برد آن .......... است.
ب- مقدار تابع کسینوس در طولهای .......... برابر با صفر است.
پ- حداکثر مقدار تابع کسینوس .......... است که در طولهای $x=2k\pi $، $k\in \mathbb{Z}$، بهدست میآید.
ت- حداقل مقدار تابع کسینوس .......... است که در طولهای ............ بهدست میآید.
کار در کلاس (صفحه 93 کتاب درسی)
شکل زیر نمودار تابع با ضابطهٔ $y=3\cos x$ را نشان میدهد. بهطور مشابه هر یک از توابع با ضابطههای داده شده را در بازهٔ $\left[ 0\,,\,2\pi \right]$، با استفاده از نمودار تابع کسینوس رسم کنید.
$y=\cos (x+\frac{\pi }{2})$ (1
$y=\cos x-1$ (2
$y=1-\frac{1}{2}\cos x$ (3
$y=\cos (x-\frac{\pi }{2})+1$ (4
تمرین (صفحه 93 تا 94 کتاب درسی)
1) آیا نمودارهای هر جفت از توابع با ضابطههای زیر بر هم منطبقاند یا خیر؟
$y=\sin x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y=\cos (x-\frac{\pi }{2})$ (الف
$y=\cos x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y=\sin (\frac{\pi }{2}+x)$ (ب
$y=\cos x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y=\cos (2\pi -x)$ (پ
$y=\sin x\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,y=\sin (5\pi -x)$ (ت
2) نمودار هر یک از توابع با ضابطههای زیر را در دستگاه مختصات در بازههای داده شده رسم کنید.
$y=\frac{1}{2}\sin x\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\left[ 0\,,\,2\pi \right]$ (الف
$y=2\cos x+1\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\left[ -2\pi \,,\,2\pi \right]$ (ب
$y=1-\sin x+\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\left[ -2\pi \,,\,2\pi \right]$ (پ
$y=-1+\cos x\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\left[ -4\pi \,,\,4\pi \right]$ (ت
$y=1+\sin (x+\frac{\pi }{4})\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left[ 0\,,\,2\pi \right]$ (ث
$y=\cos (x-\frac{\pi }{2})\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\left[ 2\pi \,,\,4\pi \right]$ (ج
3) با توجه به نمودار توابع سینوس و کسینوس، مشخص کنید هریک از دو نمودار زیر کدام یک از ضابطههای داده شده را دارند. نمودار تابع با سایر ضابطهها را نیز رسم کنید.
|
|
|
$y=2\cos x+1$ (الف
$y=2\sin x-1$ (ب
$y=2-\cos x$ (پ
$y=\sin x-2$ (ت
خواندنی
اصوات بهصورت مخلوطی از موجهای سینوسی شکل با بسامدهای مختلف میتوانند نمایش داده شوند.
4) با ذکر دلیل مشخص کنید کدام یک از گزاره های زیر درست و کدام نادرستاند.
الف) شکل زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y=\frac{1}{2}\sin x$ را نشان میدهد.
ب) شکل زیر، نمودار تابع با ضابطهٔ $y=\cos x-\frac{1}{2}$ را نشان میدهد.
پ) برای رسم نمودار تابع با ضابطهٔ $y=1+\sin x$ کافی است نمودار تابع سینوس را به اندازهٔ یک واحد در راستای محور $x$ها انتقال دهیم.
ت) برای رسم نمودار تابع با ضابطهٔ $y=-\cos x$ کافی است نمودار تابع کسینوس را نسبت به محور $x$ها قرینه کنیم.