درسنامه آموزشی فصل چهارم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 1: واحدهای اندازه گیری زاویه
یادآوری
- اگر محیط دایرهای را به 360 کمان مساوی تقسیم کنیم، اندازهٔ زاویهٔ مرکزی روبهروی هر کدام از این کمانها 1 درجه است. اندازهٔ هر کمان با زاویهٔ مرکزی روبهروی آن کمان برحسب درجه برابر است.
- دایرهٔ مثلثاتی دایرهای است به شعاع واحد که جهت مثبت آن برخلاف گردش عقربههای ساعت است. به این جهت، جهت مثلثاتی میگوییم. معمولاً مرکز این دایره مبدأ مختصات است.
شکل زیر یک دایرهٔ مثلثاتی را نمایش میدهد که به 24 قسمت مساوی تقسیم شده است. در جاهای خالی زاویهٔ مناسب را روی شکل مشخص کنید.
برای اندازهگیری زاویه، واحد دیگری وجود دارد که در ادامه با آن آشنا میشوید.
در فعالیت زیر رابطهٔ بین اندازهٔ زاویهٔ مرکزی رو بهرو به یک کمان و طول کمان روبهروی آن مشخص میشود.
فعالیت (صفحه 72 تا 74 کتاب درسی)
1) یک شیء دایرهای شکل انتخاب کنید و نخی را دور آن بپیچید و سپس باز کنید؛ طول نخ را با خطکش اندازه بگیرید. طول این نخ چه کمیتی از دایره را مشخص میکند؟ با استفاده از این مقدار شعاع دایره را بهدست آورید.
2) قطعه نخی را به اندازهٔ شعاع دایره برش دهید و آن را از نقطهٔ $A$ روی آن دایره قرار دهید تا نقطهٔ $B$ حاصل شود (شکل زیر). اندازه $\widehat{AOB}$ را با نقاله اندازهگیری کنید. این زاویه تقریباً چند درجه است؟
3) دوباره این قطعه نخ را از نقطهٔ $B$ روی دایره قرار دهید تا نقطهٔ $C$ حاصل شود و این کار را ادامه دهید تا نقاط $D$، $E$، $F$ و $G$ روی دایره بهدست آیند (شکل زیر). در این حالت $\widehat{BOC}$، $\widehat{COD}$، $\widehat{DOE}$، $\widehat{EOF}$ و $\widehat{FOG}$ با زاویه ……… برابر و هر یک تقریباً ……… درجه است. آیا دو نقطهٔ $G$ و $A$ برهم منطبق میشوند؟
به این ترتیب 6 زاویهٔ مرکزی حاصل میشود که طول کمان روبهروی هر یک از آنها با ……… دایره برابر است. به هر یک از این زاویهها یک رادیان میگوییم.
در تمام دایرههای زیر اندازهٔ زاویهٔ مشخص شده 1 رادیان است. در هر کدام با استفاده از نقاله اندازهٔ زاویه را برحسب درجه مشخص کنید.
به عبارت دیگر اگر اندازهٔ $\widehat{AOB}$، 1 رادیان باشد، در شکل زیر داریم:
$OA=\overset\frown{AB}$
$O{A}'=\overset\frown{{A}'{B}'}$
$O{A}''=\overset\frown{{A}''{B}''}$
4) جدول زیر را کامل کنید.
| شکل |
|
|
|
|
|
|
|
| طول کمان $A{{B}_{i}}$ $1\le i\le 7$ |
$r$ | $\frac{3}{2}r$ | $2r$ | $4r$ | $6r$ | ||
| اندازهٔ زاویه $\angle AO{{B}_{i}}$ $1\le i\le 7$ |
1 رادیان | $\frac{3}{2}$ رادیان | 2 رادیان | 3 رادیان | 5 رادیان |
همان طور که می بینید در هر ستون با تقسیم طول کمان به اندازهٔ شعاع دایره ($r$)، اندازهٔ زاویهٔ مرکزی مربوط به آن برحسب رادیان بهدست میآید.
با توجه به جدول بالا میتوان گفت:
اگر $l$ طول کمان روبهروی زاویه، $r$ اندازهٔ شعاع دایره و $\alpha $ اندازهٔ زاویه برحسب رادیان باشد، آنگاه رابطهٔ بالا را بهصورت زیر میتوان نوشت:
$\alpha =\frac{l}{r}$
در رابطهٔ بالا $l$ و $r$ هم واحدند.
کار در کلاس (صفحه 74 کتاب درسی)
با استفاده از رابطهٔ بالا جدول زیر را کامل کنید:
| 10 متر | 50 متر | 90 سانتیمتر | 200 سانتیمتر | 500 سانتیمتر | $l$ | |||
| 20 سانتیمتر | 10 متر | 1 متر | 0/5 متر | 5 متر | 5 سانتیمتر | $r$ | ||
| 20 رادیان | 10 رادیان | 3 رادیان | 1/5 رادیان | 1 رادیان | $\alpha $ |
یادآوری
می دانیم نسبت محیط هر دایره به اندازهٔ قطر آن عددی ثابت است که آن را با $\pi $ نمایش میدهند و به آن عدد پی میگویند. مقدار تقریبی این عدد 3/14 است. حال جدول زیر را کامل کنید:
| $\pi $ رادیان | 3/14 رادیان | 3 رادیان | 2 رادیان | 1 رادیان | 0/5 رادیان | زاویه برحسب رادیان |
| دقیقاً ${{180}^{{}^\circ }}$ | تقریباً .... | تقریباً .... | تقریباً .... | تقریباً ${{57}^{{}^\circ }}$ | تقریباً .... | زاویه برحسب درجه |
بنابراین، اندازهٔ زاویهٔ مرکزی روبهرو به کمان نیم دایره برابر است با ……… درجه یا ……… رادیان. به عبارت دیگر اندازهٔ زاویه نیم صفحه برابر است با ……… رادیان. در نتیجه:
$\frac{\pi }{180}$ رادیان = یک درجه
به این ترتیب:
کار در کلاس (صفحه 75 کتاب درسی)
1) مطابق نمونه هریک از زاویهها را از درجه به رادیان تبدیل کنید:
$\frac{\pi }{6}$ رادیان ${{30}^{{}^\circ }}\xrightarrow{\frac{\pi }{180}}$
${{45}^{^{{}^\circ }}}\to .......$
${{90}^{^{{}^\circ }}}\to .......$
${{36}^{^{{}^\circ }}}\to .......$
${{60}^{^{{}^\circ }}}\to .......$
${{180}^{^{{}^\circ }}}\to .......$
2) حال جدول زیر را با استفاده از این رابطه کامل کنید:
| ${{120}^{{}^\circ }}$ | ${{24}^{{}^\circ }}$ | ${{5}^{{}^\circ }}$ | $D$ (درجه) | |||
| $\frac{5\pi }{4}$ | $\frac{2\pi }{5}$ | $\frac{\pi }{7}$ | $\frac{\pi }{36}$ | $R$ (رادیان) |
3) در شکل زیر در هریک از جاهای خالی زاویهٔ مناسب را برحسب رادیان مشخص کنید.
خواندنی
روز چهاردهم مارس بهعنوان روز جهانی عدد پی نامگذاری شده است؛ زیرا اولین سه رقم این عدد تاریخ 14 مارس را بهصورت 3/14 نشان میدهد. این تاریخ مصادف با سالروز تولد آلبرت انیشتین نیز است. تاکنون حدود 13 تریلیون رقم بعد از ممیز عدد پی محاسبه شده است. با توجه به اصم بودن این عدد و بیقاعده بودن ارقام اعشاری آن امکان یافتن هر نوع عددی از جمله تاریخ تولد، شماره حساب بانکی، شماره تلفن و نظایر آنها در بین ارقام آن وجود دارد. مثلاً تاریخ تولد مرحوم پروفسور محمود حسابی 3 اسفند 1281 است که میتوان آن را بهصورت نمایش 6 رقمی 811203 نوشت. از طریق سامانهٔ mypiday.com میتوان این را در بین ارقام اعشاری عدد پی یافت. شکل زیر ارقام عدد پی را تا رسیدن به این نمایش نشان میدهد. حال شما از طریق این سامانه تاریخ تولد خودتان را در بین ارقام عدد پی بیابید.
«عکس»
فعالیت (صفحه 76 کتاب درسی)
ایستگاه فضایی بینالمللی را مطابق شکل زیر در نظر بگیرید که در فاصلهٔ تقریبی 400 کیلومتری بالای سطح کره زمین قرار دارد. اگر این ایستگاه توسط ایستگاه زمینی از نقطهٔ $A$ تا نقطهٔ $B$ که با مرکز زمین زاویه ${{45}^{{}^\circ }}$ میسازند، رصد شود، این ایستگاه چه مسافتی را در مدار خود از ${A}'$ به ${B}'$ پوشش میدهد؟ شعاع تقریبی کرهٔ زمین را 6400 کیلومتر فرض کنید.
1) ابتدا زاویهٔ مرکزی ${{45}^{{}^\circ }}$ را به رادیان تبدیل کنید.
رادیان $=\alpha ={{45}^{{}^\circ }}\times ........=\frac{\pi }{4}$ اندازهٔ زاویهٔ مرکزی $A\hat{O}B$ برحسب رادیان
2) شعاع مدار دایرهای شکل که ایستگاه فضایی روی آن قرار دارد، برابر است با $r=.........$
3) طول کمان روبهروی ${A}'\hat{O}{B}'$ با فرض $\pi \simeq 3/14$ و با استفاده از رابطه $\alpha =\frac{l}{r}$ بهطور تقریبی برابر است با:
$=l=\frac{\pi }{4}\times ....\simeq 5338km$ طول کمان ${A}'{B}'$
تمرین (صفحه 76 کتاب درسی)
1) هریک از زاویههای $-{{12}^{{}^\circ }}$، ${{36}^{{}^\circ }}$، ${{72}^{{}^\circ }}$، $-{{105}^{^{{}^\circ }}}$ و ${{315}^{^{{}^\circ }}}$ را به رادیان تبدیل کنید و روی دایرهٔ مثلثاتی نشان دهید.
2) هریک از زاویههای $\frac{-\pi }{18}$ رادیان، $\frac{-2\pi }{5}$ رادیان، $\frac{3\pi }{4}$ رادیان، $\frac{7\pi }{8}$ رادیان، $\frac{6\pi }{5}$ رادیان را به درجه تبدیل کنید و بهطور تقریبی روی دایرهٔ مثلثاتی نشان دهید.
3) زاویهٔ $D$ برابر با $\frac{\pi }{20}$ رادیان است. اندازهٔ این زاویه چند درجه است؟
4) دایرهای به شعاع 10 سانتیمتر مفروض است. اندازه زاویهٔ مرکزی مقابل به کمانی به طول 8 سانتیمتر از این دایره چند رادیان است؟
5) درستی یا نادرستی هر یک از جملات زیر را با ذکر دلیل بررسی کنید.
الف- اگر زاویه بین دو ساق مثلث متساویالساقینی 1 رادیان باشد، آنگاه اندازه قاعدهٔ این مثلث کوچکتر از اندازهٔ هر یک از ساقهای آن است.
ب- در دایرهای به شعاع 1 سانتیمتر طول کمان روبهروی زاویه $\frac{6\pi }{5}$ رادیان در ربع دوم دایرهٔ مثلثاتی قرار دارد.
ت- زاویههای $\frac{2\pi }{3}$ رادیان، $\frac{\pi }{9}$ رادیان، $\frac{7\pi }{36}$ رادیان، زوایای یک مثلث را تشکیل میدهند.