درسنامه آموزشی فصل سوم ریاضی (2) کلاس یازدهم علوم تجربی
درس 1: آشنایی با برخی از انواع توابع
در سال گذشته با مفهوم تابع آشنا شدیم. به دستور یا قانون بیانگر تابع، ضابطهٔ آن تابع گفته میشود. برای مشخص کردن یک تابع، باید دامنهٔ تابع و ضابطهٔ آن را داشته باشیم. بنا به قرارداد، اگر ضابطهٔ تابعی داده شده باشد، اما دامنهٔ آن صریحاً گفته نشده باشد، بزرگترین مجموعهای که آن تابع در آن قابل تعریف است، بهعنوان دامنه در نظر گرفته میشود.
توابع گویا
فعالیت (صفحه 48 تا 49 کتاب درسی)
حسین در پایهٔ یازدهم درس میخواند. او در روستای کوچکی زندگی میکند که در چند کیلومتری یکی از جادههای پر تردد ایران قرار دارد. مردم این روستا تا چند سال پیش به کشاورزی و باغداری مشغول بودند، اما چند سالی است که به دلیل کم آبی، کشاورزی رونقی ندارد و در نتیجه مردم این روستا درآمد کافی ندارند. حسین تصمیم گرفت این وضع را تغییر دهد. برای این منظور با خود اندیشید که باید فضای روستا را زیباتر کند و با تبلیغاتی مناسب، بخشی از افرادی که قصد گردشگری دارند و معمولاً از جادهٔ اصلی کنار روستا میگذرند را به روستای خود جلب کند. او با خود فکر کرد این گردشگران بابت پذیرایی محلی و تجربهٔ خوشایند یک زندگی روستایی، هزینه خواهند پرداخت و به این ترتیب چرخهٔ اقتصادی مردم روستا پر رونق خواهد شد.
پس از چند هفته تحقیق و پرسوجو، حسین به این نتیجه رسید که برای شروع کار به حدوداً ده میلیون تومان نیاز دارد که البته او به تنهایی این پول را نداشت. برای همین، تصمیم گرفت ابتکار خود را با دیگران مطرح کند و از آنها هم برای این کار مفید یاری بخواهد. به این ترتیب افراد روستا میتوانستند با سرمایهگذاری به نسبت مساوی در راهاندازی این کار اقتصادی سهیم شوند.
1) الف- اگر حسین تنها شخص شرکت کننده در این طرح بود، او به تنهایی میبایست $\frac{1}{1}$ از ده میلیون تومان را بپردازد، اما اگر یک داوطلب دیگر هم پیدا میشد، هر کدام باید $\frac{1}{2}$ از ده میلیون تومان را بپردازند. جدول زیر را کامل کنید.
| 10 | 9 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | تعداد افراد داوطلب |
| $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{1}$ | سهم مشارکت هر داوطلب |
ب- اگر تعداد داوطلبانی که میخواهند در این کار اقتصادی شرکت، $n$ نفر باشد، سهم مشارکت هر نفر چقدر خواهد شد؟
پ- رابطهٔ بین تعداد افراد داوطلب و سهم مشارکت آنها یک تابع است. ضابطهٔ این تابع چیست؟
$f(x)=\frac{....}{....}$
2) در شکل زیر، بخشی از نمودار تابع سهم مشارکت رسم شده است. با انتخاب گزینهٔ مناسب در عبارت زیر، تعیین کنید که این نمودار چه چیزی را نشان میدهد؟
«با افزایش تعداد داوطلبان، سهم مشارکت هر داوطلب کاهش $\square $ افزایش $\square $ مییابد».
فعالیت (صفحه 49 کتاب درسی)
در نمودارهای زیر تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{1}{x}$ با دو دامنهٔ متفاوت رسم شده است. مشخص کنید که هر کدام از این نمودارها مربوط به کدام دامنه است؟
${{D}_{f}}=(0,+\infty )$ -الف
${{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}$ -ب
|
|
|
تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{1}{x}$ و همچنین توابع زیر نمونههایی از توابع گویا هستند.
$f(x)=\frac{x}{x+5}$
$f(x)=\frac{x+3}{x-10}$
$f(x)=\sqrt{5}x$
$f(x)=2$
کار در کلاس (صفحه 50 کتاب درسی)
یکی از معیارهای بررسی موفقیت یک بازیکن بسکتبال، بررسی «عملکرد پرتابهای آزاد» اوست. به این منظور، نسبت پرتابهای آزاد موفق هر بازیکن را به همهٔ پرتابهای آزاد حساب میکنند. وحیده که عضو تیم بسکتبال مدرسه است، یک بازیکن موفق است، زیرا در مسابقات امسال، تا امروز، از 10 پرتاب آزاد، 7 پرتاب او موفق بوده است. بنابراین 70 درصد پرتابهای آزاد او موفق بوده است. او دوست دارد عملکردش بهتر از این باشد.
الف- اگر تا پایان مسابقات همهٔ پرتابهای آزاد وحیده موفق باشد، ضابطهٔ تابع عملکرد پرتابهای آزاد او به کدام صورت زیر است؟
$f(x)=x+0/7$
$f(x)=\frac{x}{0/7+x}$
$f(x)=\frac{7+x}{10+x}$
ب- آیا تابع عملکرد پرتابهای آزاد وحیده، یک تابع گویاست؟
پ- توضیح دهید که پس از چند پرتاب آزاد موفق پیاپیِ دیگر، درصد موفقیت عملکرد وحیده 80 درصد خواهد شد؟
$f(x)=\frac{80}{100}\to ............$
کار در کلاس (صفحه 50 کتاب درسی)
دامنهٔ هر یک از توابع گویای داده شده را بهدست آورید.
$f(x)=\frac{x}{x+5}$
${{D}_{f}}=$
$g(x)=\frac{3}{x-4}$
${{D}_{g}}=$
تساوی دو تابع
بنابراین در صورت رسم نمودارهای دو تابع مساوی در یک دستگاه مختصات، باید نمودارهای آنها دقیقاً بر هم منطبق شوند.
به نمودار دو تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{2x}{x}$ و $g(x)=2$ دقت کنید.
میبینیم که نمودارهای این دو تابع کاملاً بر هم منطبق نیستند. در واقع با اینکه ضابطهٔ دو تابع شبیه هم هستند و در صورت ساده شدن $x$ ضابطههای دو تابع برابر میشوند ولی دامنهٔ دو تابع با هم متفاوتاند، زیرا داریم:
${{D}_{f}}=\mathbb{R}-\left\{ 0 \right\}$
${{D}_{g}}=\mathbb{R}$
در نتیجه این دو تابع با هم برابر نیستند.
تذکر: همواره دامنهٔ تابع را قبل از ساده کردن ضابطهٔ آن محاسبه میکنیم.
کار در کلاس (صفحه 51 کتاب درسی)
1) آیا دو تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{{{x}^{2}}}{x}$ و $g(x)=x$ با هم برابرند؟ چرا؟
2) نمودار زیر مربوط به کدام یک از توابع زیر است؟ مسئله چند جواب دارد؟
| الف | ب | پ | ت | ث |
| ${{D}_{g}}=\mathbb{R}$ $g(x)=2x$ |
${{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}$ $g(x)=2x$ |
${{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}$ $g(x)=2x$ |
${{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 1 \right\}$ $g(x)=\frac{2{{x}^{2}}-2x}{x-1}$ |
${{D}_{g}}=\mathbb{R}-\left\{ 2 \right\}$ $g(x)=\frac{2{{x}^{2}}-4x}{x-2}$ |
توابع رادیکالی
کار در کلاس (صفحه 52 کتاب درسی)
بر اساس مشاهدات دانشمندان، اگر $S$ تندی جابهجایی یک سونامی بر حسب کیلومتر بر ساعت باشد، میتوان آن را از رابطهٔ $S=356\sqrt{d}$ محاسبه کرد که در آن $d$ میانگین عمق دریا بر حسب کیلومتر است.
الف- جدول زیر را کامل کنید. ($\sqrt{3}\simeq 1/7\,\,,\,\,\sqrt{2}\simeq 1/4$)
| 4 | 3 | 2 | 1 | $d$ |
| 498/4 | $S=356\sqrt{d}$ |
ب- عبارت زیر را کامل کنید.
چون هر عدد، تنها ……… ریشهٔ دوم مثبت دارد، پس رابطهٔ سونامی یک تابع …… .
پ- کدام یک از اعداد 5- و 5 عضو دامنهٔ تابع سونامی است؟
مطالعهٔ توابع رادیکالی مانند $S=356\sqrt{d}$ به دلیل نقش کاربردی آنهاست. در این کتاب با برخی از توابع رادیکالی آشنا میشویم. همانطور که هنگام کار با تابع رادیکالی سونامی دیدید، دامنهٔ این نوع توابع ممکن است همهٔ اعداد حقیقی نباشد.
سادهترین تابع رادیکالی تابع با ضابطهٔ $f(x)=\sqrt{x}$ است. دامنهٔ این تابع مجموعهٔ همهٔ اعداد حقیقی نامنفی و نمودار آن بهصورت زیر است.
خواندنی
سونامی (آبلرزه) به لرزش شدید آب دریا گفته میشود. این اتفاق ممکن است در پی زمین لرزههای زیر دریا، لغزیدن صخره، انفجار آتشفشانی و یا هر حادثهٔ دیگری که انرژی زیادی در دریا آزاد میکند، رخ دهد. آبی که به لرزه درآمده است، به شکل موجهای عظیم به کرانهها میرسد و ویرانی به بار میآورد. سونامی زمانی شروع میشود که حجم عظیمی از آب، به سرعت مرتفع شود. تندی موجهای سونامی بسته به محل رویداد، ممکن است به بیش از 800 کیلومتر در ساعت برسد!
یکی از بزرگترین سونامیها در سال 1383 در نزدیکی سوماترای اندونزی روی داد و باعث ویرانی عظیمی شد و حدود 200 هزار نفر را به کام مرگ کشانید.
در کتابهای تاریخ ادعا شده است که قسمت بزرگی از بندر باستانی سیراف ناگهان بر اثر زمین لرزهای به زیر آب رفته است. پاسخ دقیق این سؤال را که «آیا یک سونامی سیراف را ویران کرده و به زیر آب برده است؟» باید با کمک پژوهشهای باستان شناسی و زمین شناسی یافت. با توجه به اینکه میانگین عمق خلیج فارس حدود 50 متر است، نظر شما چیست؟
فعالیت (صفحه 53 کتاب درسی)
1) در شکل زیر با کمک انتقال نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)=\sqrt{x}$، نمودار مربوط به هر یک از توابع زیر رسم شده است. مشخص کنید که هر نمودار، مربوط به کدام تابع است. سپس دامنهٔ آنها را تعیین کنید.
$g(x)=\sqrt{x-2}\,\,\,\,\,{{D}_{g}}=.......$ -الف
$h(x)=\sqrt{x}+2\,\,\,\,\,{{D}_{h}}=.......$ -ب
$k(x)=\sqrt{x+2}\,\,\,\,\,{{D}_{k}}=.......$ -پ
$l(x)=\sqrt{x}-2\,\,\,\,\,{{D}_{l}}=.......$ -ت
2) میخواهیم نمودار تابع با ضابطهٔ $y=-2+\sqrt{x+3}$ را رسم کنیم.
الف- (مرحلهٔ اول) نمودار تابع با ضابطهٔ $y=\sqrt{x}$ در بالا را در نظر بگیرید.
ب- (مرحلهٔ دوم) حال، نمودار تابع با ضابطهٔ $y=\sqrt{x+3}$ را رسم کنید.
پ- (مرحلهٔ سوم) در پایان، نمودار تابع با ضابطهٔ $y=-2+\sqrt{x+3}$ را رسم کنید.
با توجه به شکل میبینید که دامنهٔ این تابع $\left[ -3,+\infty \right)$ است.
3) نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)=1+\sqrt{x+1}$ را رسم کنید؛ سپس دامنهٔ آن را بیابید.
توابع پلهای و تابع جزء صحیح
فعالیت (صفحه 54 کتاب درسی)
هزینهٔ پارکینگ خودرو
در یک پارکینگ، هزینهٔ پارک خودرو به این صورت محاسبه میشود:
| زمان | هزینه (هزار تومان) | |
| از هنگام ورود | تا کمتر از 2 ساعت | 3 |
| از 2 ساعت | تا 2/5 ساعت | 4 |
| از بیشتر از 2/5 ساعت | تا کمتر از 3 ساعت | 5 |
| از 3 ساعت | تا 5 ساعت | 6 |
الف- ضابطهٔ تابع هزینهٔ پارکینگ خودرو چیست؟
$f(x)=\left\{ \begin{align} & 3\,\,\,\,\,\,0\le x\lt 2 \\ & 4\,\,\,\,\,\,2\le x\le ... \\ & 5\,\,\,\,\,\,................. \\ & 6\,\,\,\,\,\,................. \\ \end{align} \right.$
ب- نمودار این تابع را رسم کنید.
به توابعی مانند تابع هزینهٔ پارکینگ، توابع پلهای میگویند. توابع پلهای در تجارت یا خرید و فروش نقش تعیین کنندهای دارند. مشهورترین تابع پلهای، تابع جزء صحیح است.
برای مثال داریم:
$\left[ 4 \right]=4$
$\left[ 6/1 \right]=6$
$\left[ 0 \right]=0$
$\left[ -4/3 \right]=-5$
$\left[ -3 \right]=-3$
همانطور که در مثال دیدیم، جزء صحیح هر عدد غیر صحیح، برابر است با اولین عدد صحیح سمت چپ آن روی محور اعداد.
کار در کلاس (صفحه 55 کتاب درسی)
1) با کمک گرفتن از محور اعداد، جزء صحیح اعداد خواسته شده را بهدست آورید.
$\left[ -3/4 \right]=$
$\left[ -2 \right]=$
$\left[ -1/9 \right]=$
$\left[ 0/4 \right]=$
$\left[ -0/4 \right]=$
$\left[ 4/25 \right]=$
$\left[ 3 \right]=$
$\left[ 2/3 \right]=$
$\left[ 1/7 \right]=$
$\left[ 1/2 \right]=$
2) حاصل عبارتهای زیر را بهدست آورید.
$\left[ \frac{41}{37} \right]=$
$\left[ -\frac{13}{51} \right]=$
فعالیت (صفحه 55 کتاب درسی)
1) اگر $\left[ x \right]=2$، آنگاه $x$ برابر چه اعدادی میتواند باشد؟ مجموعه جواب را بهصورت بازه بنویسید.
2) برای رسم نمودار یک تابع جزء صحیح باید توجه کنیم که اعداد هر بازه ای از دامنه، به چه عددی نسبت داده می شود. برای مثال اگر $0\le x\lt 1$، آنگاه $\left[ x \right]=0$؛ پس مقدار تابع با ضابطهٔ $f(x)=\left[ x \right]$ برای همهٔ اعداد عضو بازهٔ $\left[ 0,1 \right)$ برابر صفر می شود. در شکل زیر بخشی از نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)=\left[ x \right]$ رسم شده است. نمودار این تابع را در بازهٔ $\left[ -4,4 \right)$ تکمیل کنید.
3) الف- به دلخواه نقطهای مانند $a$ را روی محوراعداد داده شده مشخص کنید.
ب- نقطهٔ $a+3$ را روی این محور مشخص کنید.
پ- نقاط $\left[ a \right]$ و $\left[ a+3 \right]$ را روی محور مشخص کنید.
ت- چه رابطهای بین $\left[ a \right]$ و $\left[ a+3 \right]$ برقرار است؟
$\left[ a+3 \right]=\left[ a \right]+....$
ث- چه نتیجهای میگیرید؟
«اگر $a$ عددی حقیقی و $n$ عددی صحیح باشد، آنگاه $\left[ a+n \right]=\left[ a \right]+....$»
تمرین (صفحه 56 کتاب درسی)
1) نمودار تابع با ضابطهٔ $f(x)=\frac{1}{x}$ و با دامنهٔ ${{D}_{f}}=\left[ -5,5 \right]-\left\{ 0 \right\}$ را رسم کنید.
2) دامنهٔ تابع گویای با ضابطهٔ $f(x)=\frac{x+3}{x-3}$ را بهدست آورید.
3) در هر مورد آیا دو تابع داده شده با هم برابرند؟
$f(x)=\left\{ \begin{align} & -1\,\,\,\,\,\,x\lt 0 \\ & 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,x\gt 0 \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g(x)=\frac{\left| x \right|}{x}$ -الف
$f(x)=x-2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,g(x)=\frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}$ -ب
4) تابعی گویا بنویسید که دامنهاش برابر $\mathbb{R}-\left\{ -1 \right\}$ شود. پاسخ خود را با جواب دوستانتان مقایسه کنید.
5) نمودار تابع ضابطهٔ $g(x)=-3+\sqrt{x-4}$ را رسم کنید.
6) حاصل عبارتهای زیر را حساب کنید.
$\left[ 300/4002 \right]$
$\left[ -103/003 \right]$
$\left[ -2309/54 \right]$
7) تابع پلهای روبهرو را رسم کنید.
$f(x)=\left\{ \begin{align} & 3\,\,\,\,\,\,x\in \left[ 0,1 \right) \\ & 0\,\,\,\,\,\,x\in \left[ 1,5 \right) \\ & 2\,\,\,\,\,\,x\in \left( 6,7 \right] \\ \end{align} \right.$
8) تابع با ضابطهٔ $f(x)=\left[ x \right]+2$ و دامنهٔ ${{D}_{f}}=\left[ -3,3 \right)$ را رسم کنید.